§5.1
相交线
1、
教学目标
根据大纲要求，结合本教材特点和学生认知能力，将教学目标确定为：
1.
知识与技能目标：
1
理解邻补角与对顶角的概念，能指出哪组角是邻补角或对顶角。
2
熟练应用本节所学的两个性质求解角的度数。
2.过程与方法目标：在教学过程中，让学生逐步形成独立思考，主动探索的习惯，逐渐提升学生的观察力。
2、
教学中的重点
重点：理解运用本节的两个性质，为以后学习更加复杂的图形时而应用自如打下基础。
3、
教学过程
课程导入：利用剪刀的结构特点，让同学们观察在利用剪刀剪布的过程中，剪刀的把手所成的角与剪刀刃所成角的变化情况。
结论：握紧手把时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小，直到把布剪开。
如果把剪刀的构造看作是两条相交的直线，这就关系到相交先所成角的问题。
把剪刀的构造看作是两条相交的直线，那么就有如下图所示，任意两条相交直线构成了四个角，让同学们思考将它们两两配对可以怎么分？（提示：两个角之间的关系有两种，相邻和不相邻）
2
1
3
4
⑴相邻：∠1与∠2；∠2与∠3；∠3与∠4；∠4与∠1.
观察它们各组中两个角的的关系。由观察易知，每组中两个角的和均为180°，有互补关系，那么就得到邻补角的定义。
邻补角：（以∠1与∠2为例）∠1与∠2有一条公共边OC，它们的另一条边互为反向延长线（∠1与∠2互补），我们就称具有这种关系的角互为邻补角（∠1与∠2互为邻补角）。
⑵不相邻：∠1与∠3；∠2与∠4.
观察它们各组中两个角的的关系。由观察易知，每组中两个角均与相同的角互补，从而得到这两个角相等，那么我们就得到对顶角的定义。
对顶角：（以∠1与∠3为例）∠1与∠3有公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3两边的反向延长线，我们就称具有这种关系的角互为对顶角（∠1与∠2互为对顶角）。
由邻补角和对顶角的定义可得到以下性质：
1.与相同的角互为邻补角的角相等。
2.对顶角相等。
它们的证明都可以通过对图形观察得出。
特殊情形：对于上述图形中，两条相交的直线式任取的，现在考虑当∠1等于90°时的情况。
两条相交线相互垂直时，我们称其中的一条直线称为另外一条直线的垂线，交点为垂足（画图示意说明）。举例：生活中常见的，窗，房子等等。
例1：如图所示，直线AB与CD相交与点O，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度数。
先请一位同学进行大概的思路分析，然后再集体作答。
解：由邻补角的定义，可得
∠2=180°－∠1=180°－40°=140°；
由对顶角相等，可得
2
∠3=∠1=40°，
1
3
∠4=∠2=140°.
4
4、
板书设计
1、邻补角
2、对顶角
3、性质（1）（2）
4、相交线
5、导入分析
相邻
不相邻
例题
111
111《看图时的错觉》教学设计
一、教学目标
1.
知识技能：让学生观察图形，并借助数学用具检验其猜想.
2.
数学思考：能正确分析，从而培养学生的推理能力和实践能力，并能有条理的阐述自己的观点.
3.
解决问题：通过小组活动，让学生学会与人合作，通过合作探究的方式来解决实际问题.
4.
情感态度：树立应用数学的意识，强调要把观察和实践检验相结合，培养探究精神以及相互协作的态度，并利用对数学审美意识的培养提升学习数学的兴趣.
二、教学重难点
教学重点：理解判断事物的依据：观察、猜想、验证.
教学难点：把实际问题模型数学化，寻找合适、严密的验证方法.
三、教学过程
1.课堂引入——图片欣赏
设计意图：以“神奇”图片引入内容，激发学生兴趣.
小结：图片用了绚丽的特效，给我们带来了视觉上的错觉，让我们误以为奇幻的空间真实存在.其实不仅仅在图片中，我们数学世界里，也有许多奇妙之处，让我们一同领略一番，共同探究《看图时的错觉》（板书课题）
2.活动一（观察、猜想、验证）
先让学生观察书上3副图，猜想出结论，再让学生利用现有的数学工具去验证其猜想，得出正确结论.
①图1中甲、乙、丙图的线段a与b哪一条长？
②图2中的圆A大还是圆B大？
③图3中的四边形是正方形吗？
3.活动二（小结）
（1）学生自己总结，抽同学回答
(充分发挥学生主观能动性，用提问并以肯定方式鼓励学生参与)
（2）教师补充
图形或事物错综复杂，我们难免会受到一些条件的干扰，这就导致错觉不可避免.所以我们要对事物作出某种判断，总是基于对这个事物的观察、猜想、验证.
板书：判断事物的依据
4.活动三（回顾）
回顾前3个小题中的所涉及的错觉，并提出相应错觉的名称：
“缪勒-莱尔错觉、菲克错觉、艾宾浩斯错觉、厄任斯坦错觉”
（设计意图：一方面向学生补充错觉的知识背景，另一方面告知学生用自己名字命名的科学成果是了不起的成就，可以激发学生学习兴趣和对知识的向往）
除了我们课本上所学的错觉外，生活中也有精彩绝伦的错觉，引导学生回忆课前引入图片，并提问：你能列举出生活中的哪些错觉？回答完毕予以肯定，同时介绍生活中的其他错觉.
5.活动四（常见的错觉）
★介绍生活中的错觉
“波根多夫错觉、奥尔比逊错觉、桑德错觉”
（学生观察、猜想、验证）
★“深度错觉”
（和学生互动，通过提问的方式了解深度错觉）
问题1：如图4，黑色的面朝上还是朝下？
问题2：如图5，试描述你看见的图形形状.
★“贾斯特罗错觉”
（PPT和几何教学geogebra软件演示，小组合作动手操作，形象、直观地体验贾斯特罗错觉）
★生活中的其他错觉
形式：观看课件
动手操作
小组合作
介绍几个生活中有趣的错觉，让学生直观感受并思考其原理，最后逐一讲解.
6.活动五（思考：消失的正方形）
把知识拉回到数学本身，让学生体验“观察、猜想、验证”的过程.
分组探究：数一数、量一量、剪一剪、拼一拼、议一议、说一说
形式：分组合作
动手操作
小组讨论
学生展示：畅所欲言
7.活动六（课堂小结）
本堂课你有什么收获？
抽学生回答问题，并予以肯定.
8.活动七（作业布置）
试一试自己设计一张能让人产生错觉的图片，说不定这张图片就能以你的名字命名.
四、板书设计
五、教学反思
在本堂课中，学生学习的积极性高、兴趣浓，能够正确的理解并运用“观察、猜想、验证”的数学思想，知道了通过观察得到的结论不一定准确，还需要通过科学、有效的方法去验证.但是对具体验证方法的选择和运用还存在不足，大多数七年级学生还处于形象思维到抽象思维的过渡阶段，因此，遇到实际问题，还需要老师的引导和帮助.所以，在今后的教学中还应多培养学生抽象思维能力，让学生能对具体问题独立探究.
图4
图5
动图
看图时的错觉
判断事物的依据：《相交线》教学设计
第一课时
教材分析
本节课研究的相交线是平面内两条直线的两种位置关系中的一种情形，这部分内容学生在前两个学段已有所接触，并且学生在上一学期已经学习了直线、射线、线段和角的有关知识，因此，本节课是在学生已有知识和经验的基础上，来进一步研究平面内两条直线相交的情形。在本节课中首先探究了两直线相交所成的角的位置和大小关系，给出了邻补角和对顶角的概念，得出了“对顶角相等”的结论.在本节课中，除了让学生重点掌握以上的基础知识外，还应通过大量的识图，来培养学生的图形感，同时，还应在解决问题的过程中注意学生推理能力的培养，这也是教学的难点。
由于本节课的内容较易理解，因此在教学过程中，可尝试利用探究式教学，引导学生自己观察，分析特征，猜想结论，然后推理论证。
教学目标
1知识与技能
(1)理解对顶角、邻补角的概念，能从图形中辨别邻补角和对顶角；
(2)掌握对顶角相等的性质；
（3）会用对顶角相等的性质进行有关简单的推理和计算。
2过程与方法
经历质疑、猜想、归纳等活动，培养学生观察、转化、说理能力和数学语言规范表达能力.
3情感态度价值观
通过小组讨论
，培养合作精神；让学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣；在解题中感受生活中数学的存在，体验数学中充满了探索和创造。
教学重点与难点
重点:邻补角、对顶角的概念,对顶角相等的性质.
难点：写出规范的推理过程和理解对顶角相等的性质的探索
教学方法
通过创设情境，以问题为载体给学生提供探索的空间，引导学生积极探索。教学环节的设计与展开，都以问题的解决为中心，使教学过程成为在教师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中形成自己的观点。
教学过程
一、创设情境?引入新课
（设计说明：在现实生活中发现并提出简单的问题，吸引学生的注意力，激发学生自主学习的兴趣和积极性。从而自然引入新课。）
问题：在我们生活的世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线，大家对它们也不陌生，（播放图片）请找出图片中的相交线、平行线，你能再找出一些身边的相交线、平行线的实例吗?
比如：教室种黑板面相邻的两条边、相对的两条边，操场上的双缸，方格纸上的横线和竖线等等，都相交线、平行线的形象。
由此引入本章内容：
第五章
相交线与平行线
（教学说明：这样做，一方面可以通过实例，让学生了解相交线、平行线等图形是我们生活中经常见到的，对今后的学习和工作都是有用的，另一方面可以通过画面，培养学生的空间想象力。通过学生举例活动，启发学生广泛的联想，让学生知道，相交线、平行线的概念是从实物中抽象出来的，通过学生熟悉的事物，激发学生的学习兴趣。）
二、新知探究
1.?观察张开的剪刀，引入两条相交直线所成的角
（设计说明：由实际问题引导学生初步感知相交线形成的角及特点，同时明确本节课要学习的内容。）
问题：张开的剪刀是一个什么样的几何图形?你能画出这个图形吗?（多媒体展示张开的剪刀）
张开的剪刀可看作两条相交直线。（学生在练习本上画出几何图形）
学生观察、思考、回答问题
1，
两条直线相交形成小于平角的角有几个?
2，
两两相匹共能组成几对角？
3，
各对角关系如何?
教师点评:如果把剪刀的构造看作两条相交的直线,以上就关系到两条相交直线所成的角的问题,本节课就是探究两条相交线所成的角及其特征.
（教学说明：用现实生活中的例子引出两条直线相交所成角的问题，自然而贴切，同时在这个过程中，让学生对两线相交所成角的关系有了初步的认识，这就为研究对顶角相等作了铺垫。）
2．认识邻补角和对顶角，探索它们性质
（设计说明：本环节分两步，层层设疑，不断激活学生思维；在引导学生思考、层层释疑的基础上，完成对邻补角和对顶角的位置及数量关系的探究。自然得出相关结论。）
探究一
1、
邻补角和对顶角的位置关系
当两条直线相交时，仔细观察你所画的图形，所形成的四个角中
1.∠1与∠2有怎样的位置关系？
∠1和∠2的顶点和边所在的位置有什么特点？
2.∠1
与∠3有怎样的位置关系？
∠1和∠3的顶点和边所在的位置有什么特点?
学生观察图形、思考,全班交流
当学生直观地感知角有“相邻”、“对顶”关系时,
教师引导学生用几何语言准确地表达,如:
∠1和∠2有公共顶点O，有一条公共边OC,另一边互为反向延长线.
∠1和3有公共的顶点O,∠1的两边分别是∠3两边的反向延长线.
引导学生概括形成邻补角、对顶角概念.
两个角有一个公共顶点,有一条公共边,而且另一边互为反向延长线，这两个角叫做邻补角.
两个角有一个公共顶点,
而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线,这两个角叫对顶角.
探究二
二
邻补角和对顶角的数量关系
问题1：
用量角器分别量一量∠1、∠2的度数,你发现两角的度数有什么关系?
学生通过度量得出两角和为180?
能不能用所学知识说明为什么邻补角和为1800？
学生归纳邻补角的性质，教师板书：邻补角互补
问题2
(1)
用量角器分别量一量∠1、∠3的度数，你发现两角度数有什么关系？
学生通过度量得出两角相等
(2)能不能用所学知识说明为什么邻补角和为180?，为什么对顶角相等?
学生先独立思考说出推理过程后交流，可以同时找学生板演，然后师生共同订正规范。
在图1中,∠1的邻补角是∠2和3,所以∠1与∠2互补,∠3与∠2互补,根据“同角的补角相等得出∠1=∠3,同理∠2=∠4
学生归纳对顶角的性质,教师板书：对顶角相等
强调对顶角概念与对顶角性质不能混淆:
对顶角的概念是确定两角的位置关系,对顶角性质是确定为对顶角的两角的数量关系.并提醒学生今后只要看到对顶角就应想到它们相等。
（教学说明：本环节的内容既是这节课的重点又包含了这节课的难点，为此在本环节中设计了两大步，利用问
题串引导学生进行探究。首先让学生根据文字叙述画出两线相交的图形，在此基础上研究分析图形中角与角之间的位置关系，并引导学生概括描述出了邻补角、对顶角的概念，在这一过程中学生经历了从文字到图形到符号再到文字的不同语言的转化过程，这不仅加深了学生对邻补角、对顶角概念的理解，同时也锻炼了学生用不同几何语言表达问题的能力；由于学生年龄小，学习几何的时间较短，直接理论性的推理证明对学生来说还有一定的困难，因此在探究角的数量关系时，先让学生通过观察、度量、探究出结论，然后再推理证明，这样不仅降低了问题的难度，同时让学生积累了一些研究图形的经验和方法。而初步应用的设计不仅加深了学生对概念、性质的理解，还让学生进一步体会到这些知识在生活中的应用。）
三、例题解析
如图，直线a、b相交于点O,
∠1=40０，
求∠2、∠3、∠4的度数
多媒体展示例题，引导学生观察图形，先寻找已知角和未知角之间的位置关系，再寻找已知角和未知角之间的数量关系，利用所学的知识点进行解答，培养学生分析问题解决问题的能力。
如图,直线a、b相交于点O.
变式1:
若∠1＋∠2=80°,求各角的度数.
变式2:
若∠1：∠2=2:7,求各角的度数.
（设计说明:通过设计变式问题，提高思维度，使学生的推理能力得到深化和提高。）
4、
习题反馈
（设计说明：通过形式不同的练习加强学生对知识的理解，训练学生灵活应用知识解决问题的能力）
练习
1.（1）下列各图图中∠1、∠2是邻补角的是（
）
（2）下列各图中∠1、∠2是对顶角的是（
）
（3）
下列各图中∠1、∠2是邻补角的是（
）
（4）下列各图中∠1、∠2是对顶角是(
)
2.如图,∠AOC的对顶角是(
),
邻补角是(
)
3.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=80０，∠1=30０，求∠2的度数。
1
（教学说明：第1题主要考察学生对邻补角、对顶角的理解，其中只有第四个图中的∠1、∠2是对顶角，在教学中，可以进一步利用第四个图引导学生不重复、不遗漏的找出图中所有的对顶角和邻补角，从而训练学生分解图形的能力，进一步巩固学生对邻补角、对顶角的认识和理解，培养学生的识图能力。第2题理解邻补角、对顶角的定义
，明确一个角的对顶角有一个，一个角的邻补角有两个。第3题可以先让学生分析题意，说明思路后，再独立写出解题过程，通过这一问题可再次强化对顶角的概念与性质，并培养学生的说理能力，发展学生的符号感，逐步培养学生用几何语言交流的能力。）
五、归纳小结
（设计说明：围绕这个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习内容。）
本节课你学习了什么
（教学说明：通过对问题的思考，引导学生回顾知识，将其纳入自己的知识结构）
板书
相
交
线
1.什么是邻补角？
邻补角有什么性质？
2.什么是对顶角？
对顶角有什么性质？
六、布置作业
课本习题5.1
第8页2；
第9页7、8
达标测试
（设计说明:考查学生对邻补角、对顶角的理解，以及对对顶角相等的性质的掌握。训练利用邻补角、对顶角的概念识别邻补角与对顶角，以及利用它们的性质进行推理计算，拓展学生思维，提高学生的学习兴趣。）
一、判断题
1、有公共顶点且相等的两个角是对顶角。
（
）
2、两条直线相交，有两组对顶角。
（
）
3、两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，
那么其余的三个角也是直角。
（
）
二、选择题
1、如右图直线AB、CD交于点O，OE为射线，那么（
）
A、∠AOC和∠BOE是对顶角；
B、∠COE和∠AOD是对顶角；
C、∠BOC和∠AOD是对顶角；
D、∠AOE和∠DOE是对顶角。
2、如右图中直线AB、CD交于O，
OE是∠BOC的平分线且∠BOE=50度，
那么∠AOE=（
）度
（A）80；（B）100；（C）130（D）150
三、解答题
直线AB、CD相交于点O,OE是∠AOD的平分线，已知∠AOC=500，求∠DOE
的度数。
ｂ
a
1
２１１１１
４３３
３
D
1
B
C
A
A
A
O
A
E
2
A
D
O
C
B
E
B
C
E
D
A
A
A
A
O课题：5.1.1相交线（第1课时）
一、教学目标
1.知道什么是邻补角，会在图形中识别邻补角.
2.知道什么是对顶角，会在图形中识别对顶角.
二、教学重点和难点
1.重点：邻补角、对顶角的概念.
2.难点：在图形中识别邻补角、对顶角.
三、教学过程
（一）创设情境，导入新课
（师出示下图）
师：（指第一个图）这个图画的是什么？
生：两条直线相交.
师：（指第二个图）这个图画的是什么？
生：两条直线平行.
师：（指图）两条直线在同一平面内有两种位置关系：相交或者平行.从今天起我们学习第五章相交线与平行线（板书：第五章相交线与平行线）.我们先学习相交线.（擦掉平行线图，并板书课题：5.1.1相交线）
（二）尝试指导，讲授新课
师：（边讲边标上字母）直线AB、CD相交于点O，（指准图）这两条直线相交，形成了四个角，是哪四个角？
生：∠AOC、∠AOD、∠BOD、∠BOC（师标上∠1、∠2、∠3、∠4，如下图）.
师：（指图）∠1、∠2、∠3、∠4之间有什么位置关系呢？（遮住∠3、∠4）我们首先来看∠1与∠2的位置关系.请大家认真观察，说说∠1与∠2有什么样的位置关系？
生：……（多让几位同学说）
师：（指准图）∠1与∠2有一条公共边OA，换句话说，∠1与∠2是相邻的（板书：相邻）.
师：∠1加∠2等于多少度？
生：180°.
师：∠1加∠2等于180°，说明∠1与∠2互为补角（板书：互为补角）.
师：（指图）像∠1、∠2这样既相邻又互为补角的两个角叫做邻补角.（板书：∠1与∠2是邻补角）邻补角说的是两个角相互的关系，（指图）∠1是∠2的邻补角，反过来说，∠2也是∠1的邻补角.
师：（揭开∠3与∠4）∠2还与哪个角是邻补角？
生：∠2与∠3是邻补角.（师板书：∠2与∠3是邻补角）
师：为什么说∠2与∠3是邻补角呢？
生：……（多让几位同学说）
师：（指准图）∠2与∠3有公共边OD，它们是相邻的，同时∠2与∠3互为补角，所以∠2与∠3是邻补角.
师：图中还有哪两个角是邻补角？
生：∠3与∠4是邻补角，∠1与∠4是邻补角.（师板书：∠3与∠4是邻补角，∠1与∠4是邻补角）
（三）试探练习，回授调节
1.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.
(1)如图，∠1与∠2是邻补角；
（ ）
(2)如图，∠1与∠2是邻补角；
（ ）
(3)如图，∠1与∠2是邻补角；
（ ）
第(1)题图 第(2)题图 第(3)题图
(4)两个角有一条公共边，这两个角一定是邻补角；
（ ）
(5)两个角互为补角，这两个角一定是邻补角；
（ ）
(6)两个角有一条公共边并且互为补角，这两个角一定是邻补角.（ ）
2.如图，填空：
(1)∠AOC的邻补角是∠ ，
∠BOC的邻补角是∠ ；
(2)∠AOD邻补角是∠ ，
∠BOD的邻补角是∠ .
3.如图，填空：
(1)∠1与∠ 是邻补角，
∠1又与∠ 是邻补角；
(2)∠2与∠ 是邻补角，
∠2又与∠ 是邻补角；
(3)如果∠1＝40°，那么∠2＝ °，
∠4＝ °，∠3＝ °.
（四）尝试指导，讲授新课
师：（指准图）我们已经知道，∠1与∠2是邻补角，∠1与∠4也是邻补角，那么∠1与∠3是什么关系的角呢？∠1与∠3是对顶角（板书：∠1与∠3是对顶角）.和邻补角一样，对顶角说的也是两个角相互之间的关系，（指图）∠1是∠3的对顶角，反过来说，∠3也是∠1的对顶角.
师：请大家仔细观察∠1与∠3，你认为什么样的两个角才是对顶角呢？
生：……（多让几位同学发表看法）
师：（指准图）∠1与∠3是对顶角，从图中可以看出，首先，∠1与∠3是两条直线相交形成的（板书：两直线相交）；第二，∠1与∠3是相对的两个角（板书：相对）.像∠1与∠3这样由两直线相交形成且相对的两个角叫对顶角.
师：图中还有哪两个角是对顶角？
生：∠2与∠4是对顶角.（师板书：∠2与∠4是对顶角）
（五）试探练习，回授调节
4.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.
(1)如图，∠1与∠2是对顶角； （ ）
(2)如图，∠1与∠2是对顶角； （ ）
(3)如图，∠1与∠2是对顶角； （ ）
(4)如图，∠1与∠2是对顶角； （ ）
第(1)题图 第(2)题图 第(3)题图 第(4)题图
(5)有同一顶点并且相对的两个角是对顶角； （ ）
(6)由两直线相交形成并且相对的两个角是对顶角.
（ ）
5.如图，填空：
(1)∠AOB与∠ 是对顶角；
(2)∠COD与∠ 是对顶角；
(3)∠BOC的对顶角是∠ ；
(4)∠AOE的对顶角是∠ .
6.如图，填空：
(1)∠AOE的对顶角是∠ ，
∠AOE的邻补角是∠ 、∠ ；
(2)∠DOE的对顶角是∠ ，
∠DOE的邻补角是∠ 、∠ .
（六）归纳小结，布置作业
师：本节课我们学习了邻补角和对顶角的概念.（指准图）像∠1与∠2这样既相邻又互补的两个角叫做邻补角，像∠1与∠3这样由两条直线相交形成并且相对 的两个角叫做对顶角.
师：邻补角、对顶角说的都是两个角之间的关系.如果老师说∠1是邻补角，或者说∠1是对顶角，你觉得教师这样说对吗？为什么？
生：……（多让几位同学发表看法）
师：说到邻补角、对顶角指的一定是两个角是邻补角或对顶角，这就好比我们不能说扎西是兄弟，卓玛是姐妹，我们一定需要说清扎西与谁是兄弟，卓玛与谁是姐妹.兄弟、姐妹说的是两个人之间的关系，同样邻补角、对顶角说的是两个角之间的关系.
（作业：P7习题1.2.(1)(2)）
四、板书设计
第五章相交线与平行线
5.1.1相交线
相邻，互为补角
两直线相交，相对
∠1与∠2是邻补角
∠1与∠3是对顶角
∠2与∠3是邻补角
∠2与∠4是对顶角
∠3与∠4是邻补角
∠1与∠4是邻补角
