第二章 2.2 第2课时
1．若x>2，则x＋的最小值为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
2．设x>0，y>0，x＋y＝4，则＋的最小值为___.
3．已知x>0，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为___.
4．建造一个容积为8
m3，深为2
m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2,80元/m2，那么水池的最低总造价为____元．
第二章 2.2 第2课时
1．若x>2，则x＋的最小值为( C )
A．2
B．4
C．6
D．8
[解析] 令t＝x－2，则t>0，
x＋＝t＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当t＝，即t＝2，x＝4时，
函数f(x)＝x＋(x>2)的最小值为6.
2．设x>0，y>0，x＋y＝4，则＋的最小值为____.
[解析] ∵x＋y＝4，∴＋＝(＋)(x＋y)＝(5＋＋)，又x>0，y>0，则＋≥2＝4(当且仅当＝时取等号)，则＋≥×(5＋4)＝.
3．已知x>0，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为____.
[解析] xy＝x·4y≤()2＝，当且仅当x＝4y＝时取等号．
4．建造一个容积为8
m3，深为2
m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2,80元/m2，那么水池的最低总造价为__1
760__元．
[解析] 设池底一边长为x
m，总造价为y元．
则y＝4×120＋2(2x＋2×)×80＝320(x＋)＋480(x>0)．
因为x＋≥2＝4，当且仅当x＝即x＝2时取等号，所以ymin＝480＋320×4＝1
760(元)．第二章 2.2 第2课时
A组·素养自测
一、选择题
1．若x∈{x|－2A．－2
B．－
C．－1
D．－
2．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( )
A．x＝
B．x≤
C．x>
D．x≥
3．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．a≤2
B．a≥2
C．a≥3
D．a≤3
4．设x，y为正数，则(x＋y)(＋)的最小值为( )
A．6
B．9
C．12
D．15
5．若对所有正数x，y，不等式x＋y≤a都成立，则a的最小值是( )
A．
B．2
C．2
D．8
6．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为( )
A．2
B．4
C．8
D．16
二、填空题
7．已知x、y都是正数，
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是____；
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是____.
8．已知正数a、b满足＋＝3，则ab的最小值为____.
9．已知x>0，y>0，若＋>m＋2恒成立，则实数m的取值范围是____.
三、解答题
10．若正数a、b满足：＋＝1，求＋的最小值．
11．某公司今年3月欲抽调一批销售员推销A产品，根据过去的经验，每月A产品销售数量y(万件)与销售员的数量x(人)之间的函数关系式为y＝(x>0)．在该月内，销售员数量为多少时，销售的数量最大？最大销售量为多少？(精确到0.1万件)
B组·素养提升
一、选择题
1．已知m，n∈R，且m2＋n2＝100，则mn的最大值是( )
A．100
B．50
C．20
D．10
2．已知00，则y＝＋的最小值为( )
A．(a＋b)2
B．(a－b)2
C．a＋b
D．a－b
3．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
4．(多选题)已知集合U＝R，A＝{p|p＝a＋，a>2}，B＝{q|q＝－x2＋8，x∈R}，则下列正确的是( )
A．A∩B＝{x|4≤x≤8}
B．A∪B＝R
C．A?B
D．?UA?B
二、填空题
5．已知x≥，则f(x)＝的最小值是____.
6．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为____.
7．(2019·湖南湘潭高二期末)一批救灾物资随51辆汽车从某市以v
km/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400
km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于
km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要____h.
三、解答题
8．(2019·福建厦门双十中学高二上第二次月考)设a>0，b>0，且a＋b＝＋.
(1)求a＋b的最小值；
(2)证明：a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
9．某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量(也即该产品的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
第二章 2.2 第2课时
A组·素养自测
一、选择题
1．若x∈{x|－2A．－2
B．－
C．－1
D．－
[解析] 因为x∈{x|－20，所以x(2＋x)＝－(－x)(2＋x)≥－2＝－1，当且仅当x＝－1时，等号成立．
2．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( B )
A．x＝
B．x≤
C．x>
D．x≥
3．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( D )
A．a≤2
B．a≥2
C．a≥3
D．a≤3
[解析] 由于x>1，所以x－1>0，>0，
于是x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，
当＝x－1即x＝2时等号成立，
即x＋的最小值为3，要使不等式恒成立，应有a≤3，故选D．
4．设x，y为正数，则(x＋y)(＋)的最小值为( B )
A．6
B．9
C．12
D．15
[解析] x，y为正数，(x＋y)(＋)＝1＋4＋＋≥9，当且仅当y＝2x时等号成立．选B．
5．若对所有正数x，y，不等式x＋y≤a都成立，则a的最小值是( A )
A．
B．2
C．2
D．8
[解析] 因为x>0，y>0，
所以x＋y＝
≤＝·，
当且仅当x＝y时等号成立，
所以使得x＋y≤a对所有正数x，y都成立的a的最小值是.故选A．
6．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为( C )
A．2
B．4
C．8
D．16
[解析] 因为点A在直线mx＋ny＋1＝0上，
所以－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.
因为m>0，n>0，所以＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8，当且仅当m＝，n＝时取等号．故选C．
二、填空题
7．已知x、y都是正数，
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是__2__；
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是____.
[解析] (1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2；当且仅当x＝y＝时取最小值．
(2)xy≤2＝2＝，
即xy的最大值是.
当且仅当x＝y＝时xy取最大值．
8．已知正数a、b满足＋＝3，则ab的最小值为__4__.
[解析] ＋＝3≥2?≥2?ab≥4.
当且仅当＝，即a＝6，b＝时取等号．
9．已知x>0，y>0，若＋>m＋2恒成立，则实数m的取值范围是__m<6__.
[解析] 因为x>0，y>0，所以＋≥8，当且仅当＝时，“＝”成立．所以m＋2<8，解得m<6.
三、解答题
10．若正数a、b满足：＋＝1，求＋的最小值．
[解析] 正数a、b满足＋＝1，则＝1－＝，则＝，由正数a、b满足＋＝1，则＝1－＝，则＝，＋＝＋≥2＝2，当且仅当a＝b＝3时取等号，故＋的最小值为2.
11．某公司今年3月欲抽调一批销售员推销A产品，根据过去的经验，每月A产品销售数量y(万件)与销售员的数量x(人)之间的函数关系式为y＝(x>0)．在该月内，销售员数量为多少时，销售的数量最大？最大销售量为多少？(精确到0.1万件)
[解析] 依题意得y＝(x∈N
)．
因为x＋≥2＝80，
当且仅当x＝，即x＝40时上式等号成立，
所以ymax＝≈11.1(万件)．
所以当销售员为40人时，销售量最大，最大销售量约为11.1万件．
B组·素养提升
一、选择题
1．已知m，n∈R，且m2＋n2＝100，则mn的最大值是( B )
A．100
B．50
C．20
D．10
[解析] 由m2＋n2≥2mn得mn≤＝50，当且仅当m＝n＝±5时等号成立．
2．已知00，则y＝＋的最小值为( A )
A．(a＋b)2
B．(a－b)2
C．a＋b
D．a－b
[解析] y＝＋＝[x＋(1－x)]＝a2＋b2＋＋≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，当且仅当x＝时取等号．
3．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( B )
A．2
B．4
C．6
D．8
[解析] (x＋y)(＋)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝1＋a＋2，
当且仅当＝，即y＝x时取等号．
依题意得1＋a＋2≥9，
即(－2)(＋4)≥0，又＋4>0，
∴≥2，解得a≥4，故a的最小值为4，故选B．
4．(多选题)已知集合U＝R，A＝{p|p＝a＋，a>2}，B＝{q|q＝－x2＋8，x∈R}，则下列正确的是( ABD )
A．A∩B＝{x|4≤x≤8}
B．A∪B＝R
C．A?B
D．?UA?B
[解析] 由a>2，故p＝a＋＝(a－2)＋＋2≥4，当且仅当a＝3时取等号．
所以A＝{p|p≥4}，B＝{q|q≤8}．
二、填空题
5．已知x≥，则f(x)＝的最小值是__1__.
[解析] f(x)＝＝＋
＝＋
≥2＝1.
当且仅当＝，即x＝3时取“＝”．
6．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为__36__.
[解析] ∵正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，
∴＋＋＝(x＋y＋z)(＋＋)＝1＋4＋9＋＋＋＋＋＋≥14＋2＋2＋2＝36，
当且仅当x＝，y＝，z＝时取等号．故答案为36.
7．(2019·湖南湘潭高二期末)一批救灾物资随51辆汽车从某市以v
km/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400
km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于
km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要__10__h.
[解析] 当最后一辆汽车出发，第一辆汽车走了＝小时，最后一辆车走完全程共需要小时，所以一共需要＋小时，结合基本不等式，计算最值，可得＋≥2＝10，故最小值为10小时．
三、解答题
8．(2019·福建厦门双十中学高二上第二次月考)设a>0，b>0，且a＋b＝＋.
(1)求a＋b的最小值；
(2)证明：a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
[解析] 由a＋b＝＋＝，且a>0，b>0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，知a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.
(2)证明：由(1)知a2＋b2≥2ab＝2，且a＋b≥2，因此a2＋b2＋a＋b≥4，①
假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则a2＋b2＋a＋b<4，②
①②两式矛盾，故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
9．某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量(也即该产品的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
[解析] (1)由题意知，当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k?k＝2，∴x＝3－，
每件产品的销售价格为1.5×(元)，
∴2020年该产品的利润y＝1.5x·－8－16x－m＝－＋29(m≥0)．
(2)∵m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，∴y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1，即m＝3时，ymax＝21.故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．
