第三章 3.1 3.1.1 第2课时
1．下列表格中的x与y能构成函数的是( )
2．(2020·山东莒县一中高一期末测试)下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．y＝x与y＝
B．y＝x2与y＝
C．y＝1与y＝(x＋1)0
D．y＝|x|与y＝()2
3．已知函数f(x)的定义域[－2,3]，则函数f(x＋1)的定义域为____.
4．若函数f(x)＝x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b>1)，则a＋b的值为___.
第三章 3.1 3.1.1 第2课时
1．下列表格中的x与y能构成函数的是( C )
[解析] A中，0既是非负数又是非正数；B中，0又是偶数；D中，自然数也是整数，也是有理数，故选C．
2．(2020·山东莒县一中高一期末测试)下列各组函数中，表示同一函数的是( A )
A．y＝x与y＝
B．y＝x2与y＝
C．y＝1与y＝(x＋1)0
D．y＝|x|与y＝()2
[解析] 选项B、C、D中两函数的定义域不同，只有A中的两函数是同一函数．
3．已知函数f(x)的定义域[－2,3]，则函数f(x＋1)的定义域为__[－3,2]__.
[解析] 由题意得－2≤x＋1≤3，
∴－3≤x≤2，故函数f(x＋1)的定义域为[－3,2]．
4．若函数f(x)＝x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b>1)，则a＋b的值为____.
[解析] ∵f(x)＝x2－x＋a＝(x－1)2＋a－，∴当x∈[1，b]时，f(x)min＝f(1)＝a－，f(x)max＝f(b)＝b2－b＋a.又f(x)在[1，b]上的值域为[1，b]，
∴解得
∴a＋b＝＋3＝.第三章 3.1 3.1.1 第2课时
A组·素养自测
一、选择题
1．函数f(x)＝x＋的定义域是( )
A．[2，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，2]
D．(－∞，2)
2．函数y＝的定义域是( )
A．{x|x>0}
B．{x|x<0}
C．{x|x<0，且x≠－1}
D．{x|x≠0，且x≠－1}
3．函数f(x)＝x＋1，x∈{－1,1,2}的值域是( )
A．{0,2,3}
B．[0,3]
C．[0,3)
D．[1,3)
4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝x2＋x＋1
5．已知函数y＝f(x)与函数y＝＋是相等的函数，则函数y＝f(x)的定义域是( )
A．[－3,1]
B．(－3,1)
C．(－3，＋∞)
D．(－∞，1]
6．若函数f(x)＝()2与g(x)＝x(x∈D)是相等函数，则D是( )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．[0，＋∞)
D．(－∞，0]
二、填空题
7．函数y＝的定义域用区间表示为____.
8．函数f(x)＝＋的值域是___.
9．若函数y＝f(x)的定义域为[－1,1)，则f(2x－1)的定义域为____.
三、解答题
10．求下列函数的值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[1,5]；
(2)y＝－1；
(3)y＝.
11．已知函数y＝x2＋2x－3，分别求它在下列区间上的值域．
(1)x∈R；
(2)x∈[0，＋∞)；
(3)x∈[－2,2]；
(4)x∈[1,2]．
B组·素养提升
一、选择题
1．函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，则M∩N＝( )
A．[－1，＋∞)
B．[－1，)
C．(－1，)
D．(－∞，)
2．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程g[f(x)]＝x的解集为( )
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
A．{1}
B．{2}
C．{3}
D．?
3．(多选题)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中不能表示以A为定义域，B为值域的函数的是( )
4．(多选题)下列函数中，(0，＋∞)为该函数值域的子集的是( )
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝x2＋x＋1
二、填空题
5．若函数f(x)＝ax2－1，a为正常数，且f[f(－1)]＝－1，则a的值是____.
6．函数y＝(1≤x≤3)的值域为____.
7．已知函数f(x＋3)的定义域为[－4,5]，则函数f(2x－3)的定义域为____.
三、解答题
8．已知函数f(x)＝x＋.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
9．已知函数f(x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得该函数在x∈[1，m]时，f(x)的取值范围也是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
第三章 3.1 3.1.1 第2课时
A组·素养自测
一、选择题
1．函数f(x)＝x＋的定义域是( C )
A．[2，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，2]
D．(－∞，2)
[解析] 要使函数式有意义，则2－x≥0，即x≤2.所以函数的定义域为(－∞，2]．
2．函数y＝的定义域是( C )
A．{x|x>0}
B．{x|x<0}
C．{x|x<0，且x≠－1}
D．{x|x≠0，且x≠－1}
[解析] ∵∴∴
故选C．
3．函数f(x)＝x＋1，x∈{－1,1,2}的值域是( A )
A．{0,2,3}
B．[0,3]
C．[0,3)
D．[1,3)
[解析] x＝－1时，f(－1)＝0；x＝1时，f(1)＝2；x＝2时，f(2)＝3.所以函数f(x)的值域为{0,2,3}．
4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( B )
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝x2＋x＋1
[解析] A选项中，y的值可以取0；C选项中，y可以取负值；对D选项，x2＋x＋1＝(x＋)2＋，故其值域为[，＋∞)，只有B选项的值域是(0，＋∞)．故选B．
5．已知函数y＝f(x)与函数y＝＋是相等的函数，则函数y＝f(x)的定义域是( A )
A．[－3,1]
B．(－3,1)
C．(－3，＋∞)
D．(－∞，1]
[解析] 由于y＝f(x)与y＝＋是相等函数，故二者定义域相同，所以y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤1}．故写成区间形式为[－3,1]．故选A．
6．若函数f(x)＝()2与g(x)＝x(x∈D)是相等函数，则D是( C )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．[0，＋∞)
D．(－∞，0]
[解析] 函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，即D＝[0，＋∞)．故选C．
二、填空题
7．函数y＝的定义域用区间表示为__(－∞，－4)∪(－4，4)∪(4,6]__.
[解析] 要使函数有意义，需满足
即
∴定义域为(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]．
8．函数f(x)＝＋的值域是__(，]__.
[解析] ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，≥，
∴0＜≤，＜f(x)≤.
9．若函数y＝f(x)的定义域为[－1,1)，则f(2x－1)的定义域为__[0,1)__.
[解析] 由y＝f(x)的定义域为[－1,1)，
则－1≤2x－1＜1，
解得0≤x＜1，
所以f(2x－1)的定义域为[0,1)．
三、解答题
10．求下列函数的值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[1,5]；
(2)y＝－1；
(3)y＝.
[解析] (1)∵1≤x≤5，∴2≤2x≤10，
∴3≤2x＋1≤11，所以函数的值域为{y|3≤y≤11}．
(2)∵≥0，∴－1≥－1.
∴函数y＝－1的值域为[－1，＋∞)．
(3)y＝＝
＝＝－.
∵≠0，∴y≠.
∴函数y＝的值域为.
11．已知函数y＝x2＋2x－3，分别求它在下列区间上的值域．
(1)x∈R；
(2)x∈[0，＋∞)；
(3)x∈[－2,2]；
(4)x∈[1,2]．
[解析] (1)∵y＝(x＋1)2－4，∴y≥－4，
∴值域为[－4，＋∞)．
(2)∵y＝x2＋2x－3的图象如图所示，当x＝0时，y＝－3，
∴当x∈[0，＋∞)时，值域为[－3，＋∞)．
(3)根据图象可得当x＝－1时，y＝－4；
当x＝2时，y＝5.
∴当x∈[－2,2]时，值域为[－4,5]．
(4)根据图象可得当x＝1时，y＝0；
当x＝2时，y＝5.
∴当x∈[1,2]时，值域为[0,5]．
B组·素养提升
一、选择题
1．函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，则M∩N＝( B )
A．[－1，＋∞)
B．[－1，)
C．(－1，)
D．(－∞，)
[解析] ∵M＝{x|x<}，N＝{x|x≥－1}，
∴M∩N＝{x|－1≤x<}．故选B．
2．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程g[f(x)]＝x的解集为( C )
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
A．{1}
B．{2}
C．{3}
D．?
[解析] 由题意可知，当x＝1时，g[f(1)]＝g(2)＝2，不满足方程；
当x＝2时，g[f(2)]＝g(3)＝1，不满足方程；
当x＝3时，g[f(3)]＝g(1)＝3，满足方程，故选C．
3．(多选题)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中不能表示以A为定义域，B为值域的函数的是( ACD )
[解析] A、C、D的值域都不是[1,2]，故选ACD．
4．(多选题)下列函数中，(0，＋∞)为该函数值域的子集的是( ABC )
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝x2＋x＋1
[解析] A中y＝的值域为[0，＋∞)；B中函数的值域为(0，＋∞)；C中y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；D中y＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋的值域为[，＋∞)．
二、填空题
5．若函数f(x)＝ax2－1，a为正常数，且f[f(－1)]＝－1，则a的值是__1__.
[解析] f(－1)＝a－1，∴f[f(－1)]＝f(a－1)＝a(a－1)2－1＝－1，
∴a(a－1)2＝0，
又∵a>0，∴(a－1)2＝0，∴a＝1.
6．函数y＝(1≤x≤3)的值域为__[，8]__.
[解析] ∵1≤x≤3，∴1≤x2≤9，
∴≤≤1，∴≤≤8，
∴函数y＝(1≤x≤3)的值域为[，8]．
7．已知函数f(x＋3)的定义域为[－4,5]，则函数f(2x－3)的定义域为__[1，]__.
[解析] ∵函数f(x＋3)的定义域为[－4,5]，∴－4≤x≤5，－1≤x＋3≤8，即函数f(x)的定义域为[－1,8]．
∴－1≤2x－3≤8，解得1≤x≤，∴函数f(2x－3)的定义域为[1，]．
三、解答题
8．已知函数f(x)＝x＋.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
[解析] (1)要使函数有意义，必须使x≠0，
∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋.
9．已知函数f(x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得该函数在x∈[1，m]时，f(x)的取值范围也是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
[解析] f(x)＝x2－x＋＝(x－1)2＋1的图象是一条抛物线，它的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1,1)，开口向上，若存在实数m，使该函数在x∈[1，m]时，f(x)的取值范围也是[1，m]，则需m>1，且f(m)＝m，
即m2－m＋＝m，即m2－4m＋3＝0，
解得m＝3或m＝1(舍去m＝1)．
故存在实数m＝3满足条件．
