第三章 3.1 3.1.2 第2课时
A组·素养自测
一、选择题
1．下列函数中，与函数y＝x－1相等的是( )
A．y＝
B．y＝
C．y＝t－1
D．y＝－
2．设函数f(x)＝若f[f()]＝4，则b＝( )
A．1
B．
C．
D．
3．函数y＝＋1的图象是下列图象中的( )
4．已知函数f(x)＝，则不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞)
B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(1,3)
5．函数f(x)＝的值域是( )
A．R
B．(0,2)∪(2，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．[0,2]∪[3，＋∞)
6．某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3
km)，以后每1
km价为1.8元(不足1
km按1
km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为下列图中的( )
二、填空题
7．已知函数f(x)＝，若f[f(0)]＝a，则实数a＝___.
8．函数y＝－x(x≥2)的值域为____.
9．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝____.
三、解答题
10．若方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根，求m的取值范围．
11．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1
(3)求函数f(x)的值域．
B组·素养提升
一、选择题
1．设函数f(x)＝，则f[]的值为( )
A．
B．－
C．
D．18
2．设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a＝( )
A．－4或－2
B．－4或2
C．－2或4
D．－2或2
3．(多选题)著名的Dirichlet函数D(x)＝
则与D[D(x)]相等的有( )
A．D(2)
B．D(3)
C．D()
D．D(π)
4．(多选题)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30
s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置不可能是图1中的( )
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
二、填空题
5．设函数f(x)＝，若f(x0)＝8，则x0＝____.
6．已知f(x)＝，则不等式xf(x)＋x≤2的解集是____.
7．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是___.
三、解答题
8．已知函数f(x)＝
(1)求f(－3)，f[f()]的值；
(2)若f(a)＝2，求a的值．
9．为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水收费标准如下：每户每月用水不超过6吨时每吨3元，当用水超过6吨但不超过15吨时，超过部分每吨5元，当用水超过15吨时，超过部分每吨10元．
(1)求水费y(元)关于用水量x(吨)之间的函数关系式；
(2)若某户居民某月所交水费为93元，试求此用户该月的用水量．
第三章 3.1 3.1.2 第2课时
A组·素养自测
一、选择题
1．下列函数中，与函数y＝x－1相等的是( C )
A．y＝
B．y＝
C．y＝t－1
D．y＝－
[解析] A项y＝＝|x－1|，与y＝x－1的对应关系不同；B项，函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，与函数y＝x－1的定义域不同；D项，y＝－＝－|x－1|，与y＝x－1的对应关系不同，不是相等函数，故选C．
2．设函数f(x)＝若f[f()]＝4，则b＝( D )
A．1
B．
C．
D．
[解析] f[f()]＝f(3×－b)＝f(－b)．当－b<1，即b>时，3×(－b)－b＝4，解得b＝(舍)．当－b≥1，即b≤时，2×(－b)＝4，解得b＝.故选D．
3．函数y＝＋1的图象是下列图象中的( A )
[解析] 当x＝0时，y＝＋1＝2.
故排除B，D；
当x＝2时，y＝＋1＝－1＋1＝0.故排除C．选A．
4．已知函数f(x)＝，则不等式f(x)>f(1)的解集是( A )
A．(－3,1)∪(3，＋∞)
B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(1,3)
[解析] 画出函数f(x)的图象如图所示，令f(x)＝f(1)，得x＝－3,1,3，所以当f(x)>f(1)时，必有x∈(－3,1)∪(3，＋∞)．故选A．
5．函数f(x)＝的值域是( D )
A．R
B．(0,2)∪(2，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．[0,2]∪[3，＋∞)
[解析] 当0≤x≤1时，2x2∈[0,2]；当x≥2时，x＋1≥3，所以函数f(x)的值域是[0,2]∪[3，＋∞)，故选D．
6．某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3
km)，以后每1
km价为1.8元(不足1
km按1
km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为下列图中的( B )
[解析] 由已知得y＝.故选B．
二、填空题
7．已知函数f(x)＝，若f[f(0)]＝a，则实数a＝____.
[解析] 依题意知f(0)＝3×0＋2＝2，则f[f(0)]＝f(2)＝22－2a＝a，求得a＝.
8．函数y＝－x(x≥2)的值域为__(－∞，－1]__.
[解析] 令t＝，则x＝t2＋1，由x≥2，知t≥1，于是y＝－t2＋t－1＝－(t－)2－(t≥1)，当t＝1时，
y＝－1，故函数y＝－x(x≥2)的值域为(－∞，－1]．
9．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝__－__.
[解析] 当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，所以f(x＋1)＝(x＋1)·[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)，又f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝f(x＋1)＝－.
三、解答题
10．若方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根，求m的取值范围．
[解析] 令f(x)＝.
作其图象，如图所示
由图可知111．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域．
[解析] 因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
－5
0
3
4
3
0
－5
…
描点，连线，得函数图象如图．
(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图象，容易发现当x1(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
B组·素养提升
一、选择题
1．设函数f(x)＝，则f[]的值为( A )
A．
B．－
C．
D．18
[解析] ∵x>1时，f(x)＝x2＋x－2，
∴f(2)＝22＋2－2＝4，
∴＝
∴f[]＝f()，
又∵x≤1时，f(x)＝1－x2，
∴f()＝1－()2＝1－＝，
故选A．
2．设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a＝( B )
A．－4或－2
B．－4或2
C．－2或4
D．－2或2
[解析] 当a≤0时，由f(a)＝－a＝4，得a＝－4；
当a>0时，由f(a)＝a2＝4，得a＝2或a＝－2(舍去)．
所以a＝－4或a＝2.
3．(多选题)著名的Dirichlet函数D(x)＝
则与D[D(x)]相等的有( AB )
A．D(2)
B．D(3)
C．D()
D．D(π)
[解析] 因为D(x)∈{0,1}，所以D(x)为有理数，所以D[D(x)]＝1，而D(2)＝D(3)＝1，D()＝D(π)＝0，所以A，B都符合．
4．(多选题)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30
s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置不可能是图1中的( ABC )
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
[解析] 由题图知固定位置到点A距离大于到点C距离，所以N，M点不可能；若是P点，则从最高点到C点依次递减，与题中图2矛盾，因此不可能是P点，故选ABC．
二、填空题
5．设函数f(x)＝，若f(x0)＝8，则x0＝__－或4__.
[解析] 当x0≤2时，x＋2＝8，∴x＝6，∴x0＝±，
∵x0≤2，∴x0＝－.
当x0>2时，2x0＝8，x0＝4.
综上可知x0＝－或4.
6．已知f(x)＝，则不等式xf(x)＋x≤2的解集是__{x|x≤1}__.
[解析] 当x≥0时，f(x)＝1，由xf(x)＋x≤2，知x≤1，
∴0≤x≤1；
当x＜0时，f(x)＝0，知x≤2，∴x＜0.
综上，不等式的解集为{x|x≤1}．
7．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是__(－∞，1]__.
[解析] 由题意知f(x)＝
画出图象为
由图易得函数f(x)的值域为(－∞，1]．
三、解答题
8．已知函数f(x)＝
(1)求f(－3)，f[f()]的值；
(2)若f(a)＝2，求a的值．
[解析] (1)因为－3<－1，所以f(－3)＝－3＋2＝－1.
因为－1<<2，所以f()＝2×＝3.
又3>2，所以f[f()]＝f(3)＝.
(2)当a≤－1时，由f(a)＝2，得a＋2＝2，a＝0，舍去；
当－1当a≥2时，由f(a)＝2，
得＝2，a＝2或a＝－2(舍去)．
综上所述，a的值为1或2.
9．为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水收费标准如下：每户每月用水不超过6吨时每吨3元，当用水超过6吨但不超过15吨时，超过部分每吨5元，当用水超过15吨时，超过部分每吨10元．
(1)求水费y(元)关于用水量x(吨)之间的函数关系式；
(2)若某户居民某月所交水费为93元，试求此用户该月的用水量．
[解析] (1)y＝
(2)因为93>63，所以63＋10(x－15)＝93?x＝18.
即此用户该月的用水量为18吨．第三章 3.1 3.1.2 第2课时
1．已知函数f(x)中，f(1)＝0，且对任意n∈N
，都有f(n＋1)＝f(n)＋3，则f(3)＝( )
A．0
B．3
C．6
D．9
2．函数f(x)＝，若f(x)＝3，则x的值为( )
A．1
B．1或
C．
D．
3．函数f(x)＝的值域是( )
A．R
B．[0，＋∞)
C．[0,3]
D．[0,2]∪{3}
4．已知函数f(x)＝.求f[f()]的值．
第三章 3.1 3.1.2 第2课时
1．已知函数f(x)中，f(1)＝0，且对任意n∈N
，都有f(n＋1)＝f(n)＋3，则f(3)＝( C )
A．0
B．3
C．6
D．9
[解析] f(3)＝f(2)＋3＝f(1)＋6＝6.
2．函数f(x)＝，若f(x)＝3，则x的值为( D )
A．1
B．1或
C．
D．
[解析] 当x≤－1时，由x＋2＝3，得x＝1(舍)；当－13．函数f(x)＝的值域是( D )
A．R
B．[0，＋∞)
C．[0,3]
D．[0,2]∪{3}
[解析] 作出y＝f(x)的图象，如图所示．由图象知，f(x)的值域是[0,2]∪{3}，故选D．
4．已知函数f(x)＝.求f[f()]的值．
[解析] f()＝×2－3＝－2，
f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，
∴f[f()]＝f(－2)＝－1.