第二章 2.2 第1课时
A组·素养自测
一、选择题
1．下列不等式中正确的是( )
A．a＋≥4
B．a2＋b2≥4ab
C．≥
D．x2＋≥2
2．不等式(x－2y)＋≥2成立的条件为( )
A．x≥2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
B．x>2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
C．x≤2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
D．x<2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
3．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是( )
A．10
B．25
C．5
D．2
4．已知0
A．
B．
C．
D．
5．设0A．
B．b
C．2ab
D．a2＋b2
6．已知a>0，b>0，A＝，B＝，C＝，则A，B，C的大小关系为( )
A．A≤B≤C
B．A≤C≤B
C．B≤C≤A
D．C≤B≤A
二、填空题
7．若a<1，则a＋与－1的大小关系是____.
8．已知a>b>c，则与的大小关系是____.
9．设x>0，则的最小值为____.
三、解答题
10．当x取什么值时，x2＋取得最小值？最小值是多少？
11．已知x，y都是正数，且x≠y，求证：(1)＋>2；(2)<.
B组·素养提升
一、选择题
1．(2019·广东湛江一中高二上第二次大考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，当3x＋4y取得最小值时，x＋2y的值为( )
A．
B．2
C．
D．5
2．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是( )
A．
B．
C．
D．
3．(多选题)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( )
A．ab<1
B．1<
C．ab<
D．4．(多选题)下列结论正确的是( )
A．当x>0时，＋≥2
B．当x>2时，x＋的最小值是2
C．当x<时，y＝4x－2＋的最小值为5
D．当x>0，y>0时，＋≥2
二、填空题
5．已知x＋3y＝1(x>0，y>0)，则xy的最大值是____.
6．当x>0时，若2x＋(a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝____.
7．已知3a＋2b＝1，a>0，b>0，则＋的最小值为____.
三、解答题
8．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：
(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)＋＋≥1.
9．已知实数a，b满足a>0，b>0，a＋b＝2，且＋≥m恒成立，求实数m的最大值．
第二章 2.2 第1课时
A组·素养自测
一、选择题
1．下列不等式中正确的是( D )
A．a＋≥4
B．a2＋b2≥4ab
C．≥
D．x2＋≥2
[解析] a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则<，故C错；由基本不等式可知D项正确．
2．不等式(x－2y)＋≥2成立的条件为( B )
A．x≥2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
B．x>2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
C．x≤2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
D．x<2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
[解析] 因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即x－2y＝1，故选B．
3．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是( D )
A．10
B．25
C．5
D．2
[解析] a＋b≥2＝2，等号在a＝b＝时成立，故选D．
4．已知0A．
B．
C．
D．
[解析] 由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时取等号．
5．设0A．
B．b
C．2ab
D．a2＋b2
[解析] ∵ab<2，∴ab<，∴2ab<.
∵>>0，a＋b＝1，
∴>，∴a2＋b2>.
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2
＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大．
6．已知a>0，b>0，A＝，B＝，C＝，则A，B，C的大小关系为( D )
A．A≤B≤C
B．A≤C≤B
C．B≤C≤A
D．C≤B≤A
[解析] 由基本不等式可知，A≥B，≤＝，所以B≥C，当a＝b时等号成立．故选D．
二、填空题
7．若a<1，则a＋与－1的大小关系是__a＋≤－1__.
[解析] 因为a<1，即a－1<0，
所以－＝(1－a)＋≥2＝2(当且仅当1－a＝，即a＝0时取等号)．即a＋≤－1.
8．已知a>b>c，则与的大小关系是__≤__.
[解析] 因为a>b>c，
所以a－b>0，b－c>0.
≤＝.当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立．所以≤.
9．设x>0，则的最小值为__2－1__.
[解析] 由x>0，可得x＋1>1.
令t＝x＋1(t>1)，则x＝t－1，则＝＝t＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当t＝，即x＝－1时，等号成立．
三、解答题
10．当x取什么值时，x2＋取得最小值？最小值是多少？
[解析] x2＋≥2＝2，当且仅当x2＝，即x＝±1时等号成立．
∴x＝1或－1时，x2＋取得最小值，最小值为2.
11．已知x，y都是正数，且x≠y，求证：(1)＋>2；(2)<.
[证明] (1)∵x>0，y>0，∴>0，>0，
∴＋≥2＝2，∴＋≥2.
由于当且仅当＝，即x＝y时取“＝”，但x≠y，因此不能取“＝”．
∴＋>2.
(2)∵x>0，y>0，x≠y，∴x＋y>2，∴<1，
∴<，
∴<.
B组·素养提升
一、选择题
1．(2019·广东湛江一中高二上第二次大考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，当3x＋4y取得最小值时，x＋2y的值为( B )
A．
B．2
C．
D．5
[解析] ∵x＋3y＝5xy，x>0，y>0，
∴＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)·(＋)＝＋＋≥＋2·＝5，
当且仅当＝，即x＝2y＝1时取等号，
∴当3x＋4y取得最小值时，x＝2y＝1，∴x＋2y的值为2，故选B．
2．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由x2＋3xy－1＝0可得y＝(－x)．
因为x>0，所以x＋y＝＋≥2＝2＝(当且仅当＝，即x＝时，等号成立)．故x＋y的最小值为.
3．(多选题)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( ABC )
A．ab<1
B．1<
C．ab<
D．[解析] ∵ab≤2，a≠b，∴ab<1，
又∵>，a＋b＝2，
∴>1，∴ab<1<.
4．(多选题)下列结论正确的是( AD )
A．当x>0时，＋≥2
B．当x>2时，x＋的最小值是2
C．当x<时，y＝4x－2＋的最小值为5
D．当x>0，y>0时，＋≥2
[解析] 在A中，当x>0时，>0，＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，结论成立；在B中，当x>2时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，但x>2取不到1，因此x＋的最小值不是2，结论错误；在C中，因为x<，所以5－4x>0，则y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2×＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时取等号，结论错误；显然D正确，故选AD．
二、填空题
5．已知x＋3y＝1(x>0，y>0)，则xy的最大值是____.
[解析] ∵x＋3y≥2，
∴2≤1，即xy≤，
等号成立的条件为x＝3y＝，即x＝，y＝.
6．当x>0时，若2x＋(a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝__18__.
[解析] ∵a>0，且2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时，2x＋取得最小值，
∴＝3，解得a＝18.
7．已知3a＋2b＝1，a>0，b>0，则＋的最小值为__8＋4__.
[解析] ∵3a＋2b＝1，∴＋＝(3a＋2b)＝8＋＋≥8＋2＝8＋4，当且仅当a＝，b＝时取到最小值．
三、解答题
8．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：
(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)＋＋≥1.
[证明] 证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)(当且仅当a＝b＝c时取等号)，
即＋＋≥a＋b＋c.
又a＋b＋c＝1，所以＋＋≥1.
9．已知实数a，b满足a>0，b>0，a＋b＝2，且＋≥m恒成立，求实数m的最大值．
[解析] ∵a>0，b>0，a＋b＝2，
令a＋1＝m，b＋1＝n，则m>1，n>1，
∴a＝m－1，b＝n－1，m＋n＝4，
∴＋＝＋
＝m＋n－4＋＋＝≥＝1，
∴m≤1，所以实数m的最大值为1.第二章 2.2 第1课时
1．若x2＋y2＝4，则xy的最大值是( )
A．
B．1
C．2
D．4
2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a－b<0
B．0<<1
C．<
D．ab>a＋b
3．对于任意正数a，b，A是a，b的算术平均数，G是a，b的几何平均数，则A与G的大小关系是____.
4．已知x>0，y>0，且xy＝100，则x＋y的最小值为___.
5．已知a，b∈R，求证：ab≤()2.
第二章 2.2 第1课时
1．若x2＋y2＝4，则xy的最大值是( C )
A．
B．1
C．2
D．4
[解析] x2＋y2＝4≥2xy，
∴xy≤2，
∴xy的最大值为2，故选C．
2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( C )
A．a－b<0
B．0<<1
C．<
D．ab>a＋b
[解析] 由基本不等式知≤，
∵a>b>0，∴<，故选C．
3．对于任意正数a，b，A是a，b的算术平均数，G是a，b的几何平均数，则A与G的大小关系是__A≥G__.
4．已知x>0，y>0，且xy＝100，则x＋y的最小值为__20__.
[解析] x＋y≥2＝2＝20(当且仅当x＝y＝10时取等号)．
5．已知a，b∈R，求证：ab≤()2.
[证明] ∵()2－ab＝－ab
＝＝≥0，
∴()2≥ab，即ab≤()2.