第三章 3.2 3.2.1 第1课时
A组·素养自测
一、选择题
1．如图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上不单调
2．下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．f(x)＝3－x
B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝2x
D．f(x)＝－
3．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是( )
A．(－∞，)
B．(，＋∞)
C．(－∞，]
D．[，＋∞)
4．下列命题正确的是( )
A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1
B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1C．若f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为减函数
D．若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)5．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间是( )
A．
B．[－1，＋∞)
C．
D．(－∞，＋∞)
6．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－3)
B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
二、填空题
7．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是____.
8．若函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝____.
9．已知函数f(x)＝(k≠0)在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是___.
三、解答题
10．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
11．求证：函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0)上是增函数．
B组·素养提升
一、选择题
1．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(2x)>f(1)的实数x的取值范围是( )
A．(－∞，1)
B．(1，＋∞)
C．(，＋∞)
D．(－∞，)
2．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是( )
A．f(x1)＜f(x2)
B．f(x1)＞f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．不能确定
3．(多选题)已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上( )
A．f(0)＜0
B．f(0)>0
C．是减函数
D．是增函数
4．(多选题)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5，下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是( )
A．函数f(x)在R上不具有单调性
B．当a＝1时，f(x)在(－∞，0)上递减
C．若f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，则a的值为－1
D．若f(x)在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是[0，]
二、填空题
5．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间为____.
6．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是____.
7．若在[1，＋∞)上函数y＝(a－1)x2＋1与y＝都单调递减，则a的取值范围是____.
三、解答题
8．求证：函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
9．函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.
求证：f(x)是R上的增函数．
第三章 3.2 3.2.1 第1课时
A组·素养自测
一、选择题
1．如图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( C )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上不单调
[解析] 若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．
2．下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递减的是( A )
A．f(x)＝3－x
B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝2x
D．f(x)＝－
[解析] 根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性可知：f(x)＝3－x在(0，＋∞)上单调递减；f(x)＝x2－3x在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增；f(x)＝2x，f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增．
3．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是( B )
A．(－∞，)
B．(，＋∞)
C．(－∞，]
D．[，＋∞)
[解析] f(x)＝(3a－1)x＋b为增函数，应满足3a－1＞0，即a＞，故选B．
4．下列命题正确的是( D )
A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1C．若f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为减函数
D．若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)[解析] A错误，x1，x2只是区间(a，b)上的两个值，不具有任意性；B错误，无穷并不代表所有、任意；C错误，例如函数y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上分别递减，但不能说y＝在(－∞，1)∪(1，＋∞)上递减；D正确，符合单调性定义．
5．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间是( C )
A．
B．[－1，＋∞)
C．
D．(－∞，＋∞)
[解析] y＝x2＋x＋1＝2＋，其对称轴为x＝－，在对称轴左侧单调递减，∴当x≤－时单调递减．
6．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( C )
A．(－∞，－3)
B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
[解析] 因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.
二、填空题
7．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是__(－∞，1)和(1，＋∞)__.
[解析] 由图象可知，f(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．
8．若函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝__13__.
[解析] 由条件知x＝－2是函数f(x)图象的对称轴，所以＝－2，m＝－8，则f(1)＝13.
9．已知函数f(x)＝(k≠0)在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是__(－∞，0)__.
[解析] 函数f(x)是反比例函数，若k>0，函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数；若k<0，函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数，所以有k<0.
三、解答题
10．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
[解析] y＝－x2＋2|x|＋3
＝
＝
函数图象如图，
由图象可知，在(－∞，－1)和[0,1]上，函数是增函数，
在[－1,0]和(1，＋∞)上，函数是减函数．
11．求证：函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0)上是增函数．
[证明] 对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，有f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
因为x1＜x2＜0，所以x2－x1＞0，x1＋x2＜0，xx＞0.
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
所以函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．
对于任意的x3，x4∈(0，＋∞)，且x3＜x4，有
f(x3)－f(x4)＝.
因为0＜x3＜x4，所以x4－x3＞0，x4＋x3＞0，xx＞0.
所以f(x3)－f(x4)＞0，即f(x3)＞f(x4)．
所以函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
B组·素养提升
一、选择题
1．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(2x)>f(1)的实数x的取值范围是( D )
A．(－∞，1)
B．(1，＋∞)
C．(，＋∞)
D．(－∞，)
[解析] ∵f(x)在R上为减函数且f(2x)>f(1)．
∴2x<1，∴x<.
2．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是( D )
A．f(x1)＜f(x2)
B．f(x1)＞f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．不能确定
[解析] ∵x1，x2不在同一单调区间内，∴大小关系无法确定．
3．(多选题)已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上( AC )
A．f(0)＜0
B．f(0)>0
C．是减函数
D．是增函数
[解析] ∵y＝ax和y＝－在(0，＋∞)都是减函数，∴a＜0，b＜0，f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a＜0，故选AC．
4．(多选题)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5，下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是( BD )
A．函数f(x)在R上不具有单调性
B．当a＝1时，f(x)在(－∞，0)上递减
C．若f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，则a的值为－1
D．若f(x)在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是[0，]
[解析] 当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在R上是减函数，A错误；当a＝1时，f(x)＝2x2－8x＋5，其单调递减区间是(－∞，2]，因此f(x)在(－∞，0)上递减，B正确；由f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]得a的值不存在，C错误；在D中，当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a≠0时，由得0二、填空题
5．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间为__[0，]__.
[解析] y＝－(x－3)|x|＝.作出其图象如图，观察图象知递增区间为[0，]．
6．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是__(－∞，40]∪[64，＋∞)__.
[解析] 对称轴为x＝，则≤5或≥8，得k≤40或k≥64.
7．若在[1，＋∞)上函数y＝(a－1)x2＋1与y＝都单调递减，则a的取值范围是__(0,1)__.
[解析] 由于两函数在[1，＋∞)上递减应满足所以0三、解答题
8．求证：函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
[证明] 任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).
因为24，x1x2－4>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
9．函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.
求证：f(x)是R上的增函数．
[证明] 设x1，x2∈R，且x10，
所以f(x2－x1)>1.
所以f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0.
所以f(x1)所以f(x)是R上的增函数．第三章 3.2 3.2.1 第1课时
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )
A．[0,1]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
2．下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是( )
A．y＝|x|
B．y＝3－x
C．y＝
D．y＝－x2＋4
3．(2020·山东潍坊市高一期中测试)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，若a∈R，则( )
A．f(a)>f(2a)
B．f(a2)C．f(a2＋a)D．f(a2＋1)4．判断并证明：函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．
第三章 3.2 3.2.1 第1课时
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( C )
A．[0,1]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
[解析] 结合图象分析可知，函数图象在区间[－3,1]是上升的，故其增区间是[－3,1]．
2．下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是( A )
A．y＝|x|
B．y＝3－x
C．y＝
D．y＝－x2＋4
[解析] 因为－1<0，所以一次函数y＝－x＋3在R上单调递减，反比例函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减．
3．(2020·山东潍坊市高一期中测试)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，若a∈R，则( D )
A．f(a)>f(2a)
B．f(a2)C．f(a2＋a)D．f(a2＋1)[解析] ∵a2＋1－a＝(a－)2＋>0，
∴a2＋1>a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴f(a2＋1)4．判断并证明：函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．
[解析] 函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．
证明：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＝－＋＝.
由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0.
又由x1于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．