第三章 3.2 3.2.1 第2课时
1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )
A．y＝2x＋1
B．y＝x2＋1
C．y＝3－x
D．y＝x2＋2x＋1
2．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．f(－2)，0
B．0,2
C．f(－2)，2
D．f(2)，2
3．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为( )
A．3,5
B．－3,5
C．1,5
D．5，－3
4．(2019·湖南衡阳高一期末测试)已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为___.
5．已知函数f(x)＝，求f(x)的最大值．
第三章 3.2 3.2.1 第2课时
1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( C )
A．y＝2x＋1
B．y＝x2＋1
C．y＝3－x
D．y＝x2＋2x＋1
[解析] 函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数．
2．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( C )
A．f(－2)，0
B．0,2
C．f(－2)，2
D．f(2)，2
[解析] 由图象可知，当x＝－2时，f(x)取最小值f(－2)，当x＝1时，f(x)取最大值f(1)＝2，故选C．
3．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为( B )
A．3,5
B．－3,5
C．1,5
D．5，－3
[解析] ∵函数f(x)在[－2,2]上单调递减，
∴f(x)min＝f(2)＝－3，f(x)max＝f(－2)＝5.
4．(2019·湖南衡阳高一期末测试)已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为__2__.
[解析] 设任意x1，x2∈[2,6]，且x1
∵x1，x2∈[2,6]，∴x2－1>0，x1－1>0，
又∵x1∴<0，
∴f(x2)－f(x1)<0，
∴f(x2)∴f(x)＝，x∈[2,6]为减函数，
∴f(x)max＝f(2)＝2.
5．已知函数f(x)＝，求f(x)的最大值．
[解析] 当1≤x≤2时，f(x)＝2x＋6，
∴f(x)在[1,2]上单调递增，
∴f(x)max＝f(2)＝10.
当－4≤x<1时，
f(x)＝7－x，
∴f(x)在[－4,1)上单调递减，
∴f(x)max＝f(－4)＝11.
综上可知f(x)max＝f(－4)＝11.第三章 3.2 3.2.1 第2课时
A组·素养自测
一、选择题
1．函数y＝的单调减区间是( )
A．(－∞，1)，(1，＋∞)
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．{x∈R|x≠1}
D．R
2．函数f(x)＝的单调递增区间为( )
A．(－∞，0)，[0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．[0，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
3．若函数f(x)＝|x＋2|在[－4,0]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
4．若函数y＝2ax－b
在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．1
B．－1
C．1或－1
D．0
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
6．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1)
D．(0,1]
二、填空题
7．函数f(x)＝x－在[1,2]上的最大值是____.
8．函数y＝x2－2x－1的值域是__.
9．已知函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则f(2)____f(x2－4x＋6)．(填“≥”“≤”或“＝”)
三、解答题
10．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域和值域；
(2)判断函数f(x)在区间(2,5)上的单调性，并用定义来证明所得结论．
11．已知函数f(x)＝x＋＋2，其中x∈[1，＋∞)．
(1)试判断它的单调性；
(2)试求它的最小值．
B组·素养提升
一、选择题
1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )
A．y＝＋2
B．y＝3x－2
C．y＝x2
D．y＝1－x
2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A．45.606万元
B．45.6万元
C．45.56万元
D．45.51万元
3．(多选题)已知f(x)＝－，则( )
A．定义域为[0,1]
B．f(x)max＝，
f(x)无最小值
C．f(x)min＝1,
f(x)无最大值
D．f(x)max＝1,
f(x)min＝－1
4．(多选题)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是( )
A．f(x)在区间[－1,0]上的最小值为1
B．f(x)在区间[－1,2]上既有最小值，又有最大值
C．f(x)在区间[2,3]上有最小值，最大值5
D．当01时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1
二、填空题
5．已知函数f(x)＝2x－3，当x≥1时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值范围是____.
6．已知函数f(x)在区间[－1,1]上是单调函数且f(0)7．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是____.
三、解答题
8.已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间[－1，]的最大值．
9．(2019·北京海淀区联考)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]，求函数f(x)的最小值．
第三章 3.2 3.2.1 第2课时
A组·素养自测
一、选择题
1．函数y＝的单调减区间是( A )
A．(－∞，1)，(1，＋∞)
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．{x∈R|x≠1}
D．R
[解析] 单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表述不当．
2．函数f(x)＝的单调递增区间为( A )
A．(－∞，0)，[0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．[0，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
[解析] 分段函数求单调区间可借助图象来求，图象不熟悉就借助定义分段求．
3．若函数f(x)＝|x＋2|在[－4,0]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 作出函数f(x)＝|x＋2|＝的图象如图所示，
由图象可知M＝f(x)max＝f(0)＝f(－4)＝2，m＝f(x)min＝f(－2)＝0，所以M＋m＝2.故选B．
4．若函数y＝2ax－b
在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( C )
A．1
B．－1
C．1或－1
D．0
[解析] 当a>0时，最大值为4a－b，最小值为2a－b，差为2a，∴a＝1；当a≤0时，最大值为2a－b，最小值为4a－b，差为－2a，∴a＝－1.
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( C )
A．－1
B．0
C．1
D．2
[解析] f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，
∴函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，
∴f(x)在[0,1]上单调递增．
又∵f(x)min＝f(0)＝a＝－2，
∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
6．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( D )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1)
D．(0,1]
[解析] f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，
∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴a≤1.
∵g(x)＝在区间[1,2]上为减函数，
∴a>0，∴0二、填空题
7．函数f(x)＝x－在[1,2]上的最大值是__1__.
[解析] 函数f(x)＝x－在[1,2]上是增函数，∴当x＝2时，f(x)取最大值f(2)＝2－1＝1.
8．函数y＝x2－2x－1的值域是__[－2，＋∞)__.
[解析] 因为二次函数图象开口向上，所以它的最小值为＝－2.故值域为[－2，＋∞)．
9．已知函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则f(2)__≤__f(x2－4x＋6)．(填“≥”“≤”或“＝”)
[解析] ∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，且f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，∴f(2)≤f(x2－4x＋6)．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域和值域；
(2)判断函数f(x)在区间(2,5)上的单调性，并用定义来证明所得结论．
[解析] (1)f(x)＝＝＝1＋，
定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠1}．
(2)由函数解析式可知该函数在(2,5)上是减函数，下面证明此结论．
证明：任取x1，x2∈(2,5)，
设x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为2所以x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0，
所以f(x1)>f(x2)．
故函数在(2,5)上为减函数．
11．已知函数f(x)＝x＋＋2，其中x∈[1，＋∞)．
(1)试判断它的单调性；
(2)试求它的最小值．
[解析] (1)f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
理由如下：设1≤x1f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋(－)＝(x1－x2)(1－)＝(x1－x2)，
∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，
∴2x1x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0.
即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知，f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴当x＝1时，f(x)有最小值.
B组·素养提升
一、选择题
1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( A )
A．y＝＋2
B．y＝3x－2
C．y＝x2
D．y＝1－x
[解析] B、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A．
2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( B )
A．45.606万元
B．45.6万元
C．45.56万元
D．45.51万元
[解析] 设在甲地销售量为a辆，则在乙地销售量为15－a辆，设利润为y万元，则y＝5.06a－0.15a2＋2(15－a)(0≤a≤15且a∈N)，
则y＝－0.15a2＋3.06a＋30，可求ymax＝45.6万元．
3．(多选题)已知f(x)＝－，则( AD )
A．定义域为[0,1]
B．f(x)max＝，
f(x)无最小值
C．f(x)min＝1,
f(x)无最大值
D．f(x)max＝1,
f(x)min＝－1
[解析] 要使f(x)有意义，应满足，∴0≤x≤1，显然f(x)在[0,1]上单调递增，所f(x)max＝1，f(x)min＝－1.故选AD．
4．(多选题)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是( BCD )
A．f(x)在区间[－1,0]上的最小值为1
B．f(x)在区间[－1,2]上既有最小值，又有最大值
C．f(x)在区间[2,3]上有最小值，最大值5
D．当01时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1
[解析] 函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1.在选项A中，因为f(x)在区间[－1,0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1,0]上的最小值为f(0)＝2，A错误；在选项B中，因为f(x)在区间[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以f(x)在区间[－1,2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1,2]上的最大值为f(－1)＝5，B正确；在选项C中，因为f(x)在区间[2,3]上单调递增，所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；在选项D中，当01时，由图象知f(x)在区间[0，a]上的最小值为1，D正确．
二、填空题
5．已知函数f(x)＝2x－3，当x≥1时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值范围是__(－∞，－1]__.
[解析] ∵f(x)＝2x－3在[1，＋∞)上单调递增，
∴f(x)≥f(1)＝－1.
∵m≤f(x)恒成立，∴m≤－1.
6．已知函数f(x)在区间[－1,1]上是单调函数且f(0)[解析] 由题意知函数f(x)在区间[－1,1]上是单调增函数，所以不等式f(x)即－1≤x<.
7．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是__1＜a≤3__.
[解析] 画f(x)＝x2－6x＋8的图象，
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，∴1＜a≤3.
三、解答题
8.已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间[－1，]的最大值．
[解析] f(x)＝|x|(x＋1)＝的图象如图所示．
(1)f(x)在(－∞，－]和[0，＋∞)上是增函数，在[－，0]上是减函数，
因此f(x)的单调增区间为(－∞，－]，[0，＋∞)，单调减区间[－，0]．
(2)∵f(－)＝，f()＝，∴f(x)在区间[－1，]的最大值为.
9．(2019·北京海淀区联考)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]，求函数f(x)的最小值．
[解析] f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，x∈[－1,1]．
当a≥1时，函数f(x)的图象如图(1)中实线所示，函数f(x)在区间[－1,1]上是减函数，最小值为f(1)＝3－2a；当－1当a≤－1时，函数f(x)的图象如图(3)中实线所示，函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，最小值为f(－1)＝3＋2a.
综上所述，f(x)min＝