《合情推理》
问题
设计意图
师生互动：
1
请大家看大屏幕上的图片，这是一起交通事故遇害者留下的唯一线索，大家感觉他想告诉我们什么？
比起声音，脑筋急转弯，推理故事，警察分析案情的神秘色彩更能够迅速有效地抓住学生注意力，引导学生进入猜想的意境．而且这个问题的答案不唯一，教师不需要对学生的猜想做出评价
??师：提出问题，展示图片生：思考后回答
2
同学们刚刚都不约而同的进行了一次推理……（给出推理的含义）
推理是人们思维活动的过程，给出推理的含义，将学生的思维升华到理论高度．
师：展示含义生：理论升华
3
老师这里还有一些图片，根据这些图片你能得出怎样的推理？
通过生活中的实例引导学生感受合情推理，归纳推理的含义
师：提出问题，展示图片生：思考
，推理，回答
4
爱因斯坦曾说过，发现问题比解决问题更重要，而观察就是发现问题的重要方法之一，结合刚才的例子，我们可以从哪些角度去观察呢？
发现问题比解决问题更重要，引导学生感受可以观察不同对象的共性与个性，变化处与不变处的相互关系，观察对象的局部与整体，为总结归纳推理的含义做理论基础．
?师：提出引导性问题生：思考后回答
5
我们再来看一个著名的数学猜想,大家观察等式左边和右边的数有什么特点？
了解了观察的着眼点后给出数学中著名的哥德巴赫猜想，引导学生同步体会数学家的猜想经历
师：展示得出哥德巴赫猜想的等式生：观察，总结，回答
6
大家觉得满足条件的最小偶数是多少？
进一步归纳整理所猜想的规律，强化质数的概念，感受科学的严谨性，学生回答后再举出相关例子，归纳推理整理成文字
?师：提出引导性问题，根据学生回答给出评价生：思考，感受，回答
7
哪位同学能谈一谈对哥德巴赫的了解？
提到哥德巴赫猜想就不得不提到我国著名数学家陈景润，给学生展示课下文学积累的机会，使学生感受数学的魅力，体会站在巨人肩膀上前行的动力与使命感．
?师：展示教师查找的相关资料，结合学生回答的给出更多关于哥德巴赫和陈景润的信息生：回答，观看，感受
8
哥德巴赫猜想是数学皇冠上的一颗明珠，他的推理过程也是归纳推理．通过前面这些例子大家能否用精简的语言来概括一下什么样的推理才是归纳推理？
?引导学生体会科学探索的必然经历：感受到，思考后，总结出，再应用．
?师：提出引导性问题，学生回答后给出评价生：思考后回答
?
9
同学们总结的很好，课本上是这样为我们概括的……
将学生的注意力转移到课本上
师：板书生：齐读概念
10
知道了合情推理和归纳推理的科学含义，同学们能不能再举出一些归纳推理的例子？
将学生的思绪放宽到生活中的各个领域以及各学科的具体知识中
师：提出问题，针对学生回答给出评价生：思考后回答
11
下面我们应用归纳推理进行一些简单推理例题填写下表，你觉得凸多面体的面数F，顶点数V和棱数E之间有什么关系？
立体几何中著名的欧拉公式，在培养归纳推理能力的同时借此了解欧拉磨练归纳猜想的能力感受数学的魅力，体会站在巨人肩膀上前行的动力与使命感．，
?师：引导学生进入归纳猜想的思维空间生：填表，归纳规律，得出猜想，交流结论
例题根据下列图案中圆圈的排列规则，(1)猜想第五个图形由多少个圆圈组成，是怎样排列的，(2)第n个图形中共有多少个圆圈？
??公务员考试类型题，一问一问渗透，第二问如果需要可以小组讨论，最后由学生到前面阐述自己的推理过程，锻炼学生的表达能力
???师：引导学生进入另一种归纳猜想的思维空间生：归纳规律，得出猜想，交流结论：
例题通过数列的前几项，尝试猜想这个数列的通项公式
?应用归纳推理巩固数列的相关知识，并与下一个例题相互对比，凸显出归纳推理的或然性
?师：引导学生复习巩固数列相关知识生：回忆数列相关知识，归纳规律，得出猜想，交流结论，
例题
在上一例题的衬托下，使学生惊觉：归纳推理的结论不一定正确，归纳推理具有或然性，并重新审视刚刚做过的所有例题
?师：提出与上一题相对比的问题生：惊觉归纳推理的或然性
12给出费马数，哥尼斯堡七桥问题，四色定理等数学史
增强学生战胜困难的意志品质和锲而不舍钻研精神，体会科学需要大胆猜想小心求证，养成扎实严谨的科学态度．
师生共勉锲而不舍的钻研精神，体会科学需要大胆猜想，小心求证的精神，培养扎实严谨的科学态度．
13重新审视归纳推理的含义，基础，关键，作用，及归纳推理的或然性．
?升华归纳推理的含义?
师：提出问题生：重新审视归纳推理?
填空
14课本例一：归纳猜想
深度认识归纳猜想后，用归纳进行简单的推理复习等差数列，使知识螺旋式上升
师：提出问题，根据学生回答板书归纳，猜想生：大胆猜想，小心求证合作交流，板书证明
15课本例二
深度认识归纳猜想后，用归纳进行简单的推理复习等差数列，使知识螺旋式上升
师：提出课下延伸思考题生：得出猜想，对证明做前期基础的思考
16
留出其它课下延伸思考题：人教A版选修1-2,35页习题2.1A组第2题，B组第1题
课下延伸思考，巩固本节课知识，为下一节课做好铺垫
师：布置思考题生：记录
17
同学们针对这节课的学习谈一谈各自的收获
整理本节课的知识点，交流体会
师：对学生回答给出评价生：交流收获
18教师对本节课重点在学生总结的基础上给出关键总结
再次强调本节课重点
师：总结生：记录
教后反思：
教学内容分析与说明本节授课是人教A版选修1一2第二章“推理与证明”中的第一节《合情推理》的第一课时归纳推理..由于归纳推理的思想始终贯穿整个高中数学的学习中，因此，本节课的重点在于让学生得到归纳推理的概念，了解归纳推理的一般步骤和作用，结合实例了解归纳推理的含义，了解归纳推理的作用.掌握归纳推理的一般步骤，会利用归纳进行一些简单的归纳推理;通过本节内容的学习，包括欣赏一些伟大猜想产生的过程，体会并认识如何利用归纳推理去猜测和发现一些新事实，得出新结论，探索和提供归纳推理在解决一些问题的思路和方向中的作用;感受数学的应用价值．
本节课的教学内容对学生来说并不乏认知基础，因为从小学（甚至幼儿园）起，学生们就接触过很多运用归纳推理进行探索的实例，本节课的核心就是引导学生“从理性上认识归纳推理”，具体地说，说是使学生了解归纳推理的含义（即什么是归纳推理）、归纳推理的思维过程（即初步了解怎样进行归纳推理，但不是具体的操作性的技能）、归纳推理的特点（即思维形式、结论的或然性及科学发现活动中的创造性），其中最为重要的是归纳推理概念的形成过程．
本节课的主要层次为：现实生活与理论研究中都存在大量需要进行推理问题?什么是推理？?介绍一种常用推理方法(归纳推理)?什么是归纳推理？?怎样进行归纳推理？（归纳推理的思维过程）?归纳推理的可靠性？?不可靠为什么还要学习？?归纳推理的创造性．这个问题链正好突出了本节课的教学重点：归纳推理的概念、归纳推理的思维过程及归纳推理的特点．
通过数学实例和历史上著名的费马数，使学生体会到归纳推理的结论不一定正确，需要大胆猜想，小心求证．通过大量数学家数学史的介绍使学生感受数学的魅力，体会站在巨人肩膀上前行的动力与使命感．
PAGE
-
5
-2.1.1
合情推理
教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.
教学重点：能利用归纳进行简单的推理.
教学难点：用归纳进行推理，作出猜想.
教学过程：
一、新课引入：
1.
哥德巴赫猜想：观察4=2+2,
6=3+3,
8=5+3,
10=5+5,
12=5+7,
12=7+7,
16=13+3,
18=11+7,
20=13+7,
……,
50=13+37,
……,
100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和.
1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想.
1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.
2.
费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对，，，，的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数，任何形如的数都是素数.
后来瑞士数学家欧拉，发现不是素数，推翻费马猜想.
3.
四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.
二、讲授新课：
1.
教学概念：
①
概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.
简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.
②
归纳练习：(i)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？
(ii)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？
(iii)观察等式：，能得出怎样的结论？
③
讨论：(i)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？
(ii)归纳推理有何作用？
（发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段）
(iii)归纳推理的结果是否正确？（不一定）
2.
教学例题：
出示例题：已知数列的第1项，且，试归纳出通项公式.
（分析思路：试值n=1，2，3，4
→
猜想
→如何证明：将递推公式变形，再构造新数列）
②
思考：证得某命题在n＝n时成立；又假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立.
由这两步，可以归纳出什么结论？
（目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关系）
③
练习：已知，推测的表达式.
3.
小结：①归纳推理的药店：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子：哥德巴赫猜想的提出；数列通项公式的归纳.
三、巩固练习：
1.
练习：教材P381、2题.
2.
作业：教材P44
习题A组
1、2、3题.
-
1
-2.2.1
综合法和分析法
【教学目标】加强不等式证明的训练，要求学生初步掌握用综合法和分析法证明不等式．
【教学重点】综合法和分析法证明不等式．
【教学难点】综合法和分析法证明不等式．
【教学过程】
一、复习引入：
1.直接证明是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性.常见的直接证明方法有综合法与分析法.
2.综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维模式。
二、讲解新课：
综合法
1.综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论.
2.综合法是从原因推导到结果的思维方法，综合法又叫做由因导果法.
分析法
1.分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.
2.分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法，分析法又叫做执果索因法.
例题分析
例1.
已知：是不全相等的正数,
求证:
证明：综合法
同理：
因为是不全相等的正数,所以上述三个等号不会同时成立.
证明：综合法
,即
小结:
证明：分析法(略)
小结
三、课堂练习：
四、课堂小结：
综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方式，常把它们结合起来使用.即当遇到较难的新命题时，应当先用分析法来探求解法，然后将找到的解法用综合法叙述出来.
五、作业：（略）
证明:因为
和
都是正数,所以为了证明
只需证明
展开得
即
因为
成立,所以
成立
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-
3
-2.2.2 反证法
一，教法分析
●三维目标
1．知识与技能
结合实例了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程与特点．会用反证法证明数学问题．
2．过程与方法
使学生经历“总结归纳反证法的操作步骤”的过程，培养学生归纳、总结、推理论证的能力．增强学生的数学应用意识和创新意识．
3．情感、态度与价值观
注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识．通过让学生体验成功，培养学生学习数学的自信心．通过科学家的故事，培养学生的耐心、恒心、自信心和抗挫折能力．从而发展学生的数学思维能力，提高思维品质．
●重点难点
重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．
难点：应用反证法解决问题，在推理过程中发现矛盾．
在教学中要明确反证法证明的三个步骤：(1)做待证命题的否命题；(2)根据所做出的否命题，结合已知条件或己知的其他的真命题，推导出和已知条件或已知的真命题相矛盾的地方；(3)否定所做的否命题，也就是肯定原命题的正确性．让学生亲身体会并总结三个步骤中的关键因素，集体探索解决方法，突出重点、化解难点．
二，方案设计
●教学建议
建议本节课采取探究式教学法，让学生参与证明问题的否定假设，推理归谬，激发学生积极参与的热情，开发其论证推理能力的潜能，培养良好的思维品质．关于反证法的教学需要注意以下几点：(1)书写格式及解题步骤：假设——归谬——指出矛盾——得出结论．(2)提出反设的方式方法：引导学生弄清反设词语的含义，掌握常见量词的反设词．(3)归谬方法：在归谬过程中要注意假设条件的利用，通过例题分析总结归谬的方法技巧．(4)反证法的适用范围及对象：反证法一般适用于题目条件中含有量词“至多”“至少”“全部”“都”或否定性命题．其次是在直接证明受阻的情况下，考虑间接证明．
●教学流程
创设问题情境，通过“道旁苦李”的故事，引导学生认识反证法，了解其特点、推理方式及应用范畴．?让学生自主完成填一填，使学生进一步了解反证法的证明格式、步骤、思维方式、证明思想等．?引导学生分析例题1的已知条件，师生共同探究证明思路，学生自主完成证明过程，老师指导完善，并完成变式训练．?学生分组探究例题2解法，总结反证法证明唯一性命题的反设方式及证明的方法，完成例题2变式训练．
?
完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．?学生自主完成例题3互动探究，教师抽查完成情况，对出现问题及时指导．?让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．
三、自主导学
课标解读
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点)
2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(难点)
反证法
【问题导思】
著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，
早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”
王戎的论述运用了什么推理思想？
【提示】 实质运用了反证法的思想．
1．反证法
假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
2．反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等.
四、互动探究
用反证法证明否(肯)定式命题
设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．
【思路探究】 此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用．
【自主解答】 假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．
∴n，an＋b均为奇数．
又a＋b为偶数，
∴an－a为奇数，
即a(n－1)为奇数，
∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．
∴f(x)＝0无整数根．
1．对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．
2．常见否定词语的否定形式如下表所示：
否定词语
否定词语的否定形式
没有
有
不大于
大于
不等于
等于
不存在
存在
已知非零实数a、b、c成等差数列a≠c，求证：，，不可能成等差数列．
【证明】 假设，，成等差数列，
则＝＋＝，
又a、b、c成等差数列，
∴2b＝a＋c，
∴b＝，
∴＝，
∴(a－c)2＝0，即a＝c.
这与a≠c矛盾．
故假设错误，原命题正确.
用反证法证明“唯一性”命题
若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
【思路探究】 先由函数零点存在性判定定理判定函数在(a，b)内有零点，再用反证法证明零点唯一．
【自主解答】 由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，
所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0，
假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，
则n≠m.
若n＞m，则f(n)＞f(m)，即0＞0，矛盾；
若n＜m，则f(n)＜f(m)，即0＜0，矛盾．
因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．
已知a与b是异面直线，求证：过a且平行于b的平面只有一个．
【证明】 如图所示．假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α和β，
在直线a上取点A，过b和A确定一个平面γ，且γ与α、β分别交于过点A的直线c、d，
由b∥α，知b∥c，同理b∥d，
故c∥d，这与c、d相交于点A矛盾，
故假设不成立，原结论成立.
用反证法证明“至多、至少”问题
已知x，y＞0，且x＋y＞2.
求证：，中至少有一个小于2.
【思路探究】 明确“至少”的含义―→对结论作出假设―→得出矛盾．
【自主解答】 假设，都不小于2，即≥2，≥2.
∵x＞0，y＞0，
∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.
∴2＋x＋y≥2(x＋y)．
即x＋y≤2，这与已知x＋y＞2矛盾．
∴，中至少有一个小于2.
常见结论词与反设词列表如下：
原结
论词
等于
(＝)
大于
(＞)
小于
(＜)
对所
有x
成立
对任
意x
不成
立
至少
一个
至多
一个
反设
词
不等
于
(≠)
不大
于
(≤)
不小
于
(≥)
存在
某个
x不
成立
存在
某个
x成
立
一个
都没
有
至少
两个
在本例中，若x，y>0且x＋y＝2，求证：，中至少有一个不小于2.
【证明】 假设，都小于2.
则1＋x<2y,1＋y<2x，，
那么2＋x＋y<2x＋2y，
∴x＋y>2与已知x＋y＝2矛盾．
所以假设不成立，原命题成立.
五、易误辨析
利用反证法证题时，假设错误而致误
已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．
【错解】 假设三个方程都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，
相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，
即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，
所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．
【错因分析】 上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，方程没有两个相异实根时Δ≤0.
【防范措施】 用反证法证题要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．
【正解】 假设三个方程都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.
相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，
即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(
)
由题意a，b，c互不相等，所以(
)式不能成立．
所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．
六、课堂小结
1．反证法：假设原命题的反面正确，根据已知条件及公理、定理、定义，按照严格的逻辑推理导出矛盾．从而说明假设不正确，得出原命题正确．
2．反证法是间接证明的一种方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时运用反证法比较简便．
3．反证法的基本步骤是：
(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；
(2)归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；
(3)存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立．
七、双基达标
1．用反证法证明“如果a＞b，那么＞”的假设内容应是( )
A.＝ B.＜
C.≤
D．≥
【解析】 “大于”的对立面为“小于等于”，故应假设“≤”．
【答案】 C
2．否定“任何一个三角形的外角都至少有两个钝角”时正确的说法为( )
A．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
B．任何一个三角形的外角都没有两个钝角
C．没有一个三角形的外角有两个钝角
D．存在一个三角形，其外角有两个钝角
【解析】 原命题的否定为：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．
【答案】 A
3．用反证法证明命题：若a、b是实数，且|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1时，应作的假设是________．
【解析】 ∵“a＝b＝1”的否定为“a≠1或b≠1”，故应填a≠1或b≠1.
【答案】 a≠1或b≠1
4．证明方程2x＝3有且仅有一个实根．
【证明】 ∵2x＝3，∴x＝，
∴方程2x＝3至少有一个实根．
设x1，x2是方程2x＝3的两个不同实根，
则
由①－②得2(x1－x2)＝0，
∴x1＝x2，
这与x1≠x2矛盾．故假设不正确，从而方程2x＝3有且仅有一个实根.
八、知能检测
一、选择题
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )
①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③
【解析】 由反证法的定义可知应选C.
【答案】 C
2．(2013·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设( )
A．三个内角都不大于60°
B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60°
D．三个内角至多有两个大于60°
【解析】 三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．
【答案】 B
3．实数a，b，c不全为0等价于( )
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
【解析】 实数a，b，c不全为0，即a，b，c至少有一个不为0，故应选D.
【答案】 D
4．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2.
(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是( )
A．(1)与(2)的假设都错误
B．(1)与(2)的假设都正确
C．(1)的假设正确；(2)的假设错误
D．(1)的假设错误；(2)的假设正确
【解析】 (1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．
【答案】 D
5．下列命题不适合用反证法证明的是( )
A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交
B．两个不相等的角不是对顶角
C．平行四边形的对角线互相平分
D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1
【解析】 A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．
【答案】 C
二、填空题
6．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是______________．
【解析】 “最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角．
【答案】 “三角形中最少有两个内角是直角”
7．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为________．
【解析】 “a、b全为0”即“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”
【答案】 “a、b不全为0”
8．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，
不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
【答案】 ③①②
三、解答题
9．(2013·泰安高二检测)用反证法证明：无论m取何值，关于x的方程x2－5x＋m＝0与2x2＋x＋6－m＝0至少有一个有实数根．
【解】 假设存在实数m，使得这两个方程都没有实数根，
则解得无解．
与假设存在实数m矛盾．故无论m取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根．
10．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求证：a＞0，b＞0，c＞0.
【证明】 假设a＜0，由abc＞0得bc＜0，
由a＋b＋c＞0，得b＋c＞－a＞0，
于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc＜0，这与已知矛盾．
又若a＝0，则abc＝0，与abc＞0矛盾，
故a＞0，
同理可证b＞0，c＞0.
11．若x，y，z均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，则a，b，c中是否至少有一个大于0？请说明理由．
【解】 假设a，b，c都不大于0，
即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，
因为π－3>0，且无论x，y，z为何实数，
(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，
所以a＋b＋c>0.
这与假设a＋b＋c≤0矛盾．
因此，a，b，c中至少有一个大于0.
九、备课资源
等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N
)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
【思路探究】 第(1)问考查等差数列的通项公式与前n项和公式，应用an＝a1＋(n－1)d和Sn＝na1＋n(n－1)d两式求解．第(2)问先假设任三项bp、bq、br成等比数列，再用反证法证明．
【自主解答】 (1)设公差为d，由已知得
∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r∈N
，∴
∴()2＝pr，(p－r)2＝0，
∴p＝r，这与p≠r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
1．当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．
2．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．
设函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R.
(1)若a＋b≥0，是否有f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)?
(2)若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，是否有a＋b≥0?
以上两结论若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由．
【解】 (1)若a＋b≥0，
则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立．
证明：因为a＋b≥0，
所以a≥－b，b≥－a.
又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．
两式相加，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
则a＋b≥0成立．
证明：(反证法)
假设a＋b＜0，
则a＜－b，b＜－a，
而f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f(a)＜f(－b)，
f(b)＜f(－a)．
以上两式相加，
得f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．
与已知f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，
所以假设错误，
因此a＋b≥0.
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