4.3 指数函数与对数函数的关系
学
习
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务
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养(教师独具)
1．了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图像间的对称关系．(重点)2．利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异．3．利用指数、对数函数的图像性质解决一些简单问题．(难点)
1．通过反函数概念及指数函数与对数函数图像间的关系学习，培养直观想象素养．2．借助指数函数与对数函数综合应用的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.
图中给出了指数函数y＝2x，对数函数y＝log2x的图像，解决下面的问题：
问题：(1)y＝2x图像上的点(0,1)与y＝log2x图像上的点(1,0)关于哪一条直线对称？
(2)y＝2x图像上任一点关于直线y＝x的对称点都在y＝log2x的图像上吗？反过来，y＝log2x图像上任一点关于直线y＝x的对称点都在y＝2x的图像上吗？
(3)如何由y＝2x变换出y＝log2x?
[提示] (1)关于直线y＝x对称．
(2)都在y＝log2x的图像上，都在y＝2x的图像上．
(3)y＝2xx＝log2yy＝log2x.
知识点1 反函数的概念与记法
1．反函数的概念
一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数，此时，称y＝f(x)存在反函数．
2．反函数的记法
函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x)表示．
如何准确理解反函数的定义？
[提示] (1)反函数的定义域和值域正好是原函数的值域和定义域．
(2)对于任意一个函数y＝f(x)，不一定总有反函数，只有当一个函数是单调函数时，这个函数才存在反函数．如y＝x2＋1(x∈R)就没有反函数，因为它在R上不是单调函数．
(3)反函数也是函数，因为它符合函数的定义．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝的反函数是y＝logx.
( )
(2)函数y＝log3x的反函数的值域为R.
( )
(3)函数y＝ex的图像与y＝lg
x的图像关于y＝x对称．
( )
[提示] (1)×.函数y＝的反函数是y＝logeq
\s\do12()x(x>0)．
(2)×.函数y＝log3x的反函数的值域是原函数的定义域，故y＝log3x的反函数的值域为(0，＋∞)．
(3)×.互为反函数的图像关于直线y＝x对称，所以函数y＝ex的图像与y＝ln
x的图像关于直线y＝x对称，函数y＝lg
x的图像与y＝10x的图像关于直线y＝x对称．
[答案] (1)× (2)× (3)×
知识点2 指数函数与对数函数的关系
(1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数．
(2)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax的图像关于直线y＝x对称．
2.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于( )
A．log2x
B．
C．logeq
\s\do12()x
D．2x－2
A [y＝ax的反函数为f(x)＝logax，则1＝loga2，所以a＝2.
所以f(x)＝log2x.]
3.函数y＝x＋3的反函数为__________．
y＝x－3(x∈R) [由y＝x＋3，得x＝y－3，
x，y互换得y＝x－3，所以原函数的反函数为y＝x－3
(x∈R)．]
类型1 求函数的反函数
【例1】 (对接教材P31例2)求下列函数的反函数．
(1)y＝；(2)y＝5x＋1；(3)y＝x2(x≤0)．
[解] (1)由y＝，得x＝logeq
\s\do12()y，且y>0，
∴f－1(x)＝logeq
\s\do12()x(x>0)．
(2)由y＝5x＋1，得x＝，
∴f－1(x)＝(x∈R)．
(3)由y＝x2得x＝±.
因为x≤0，所以x＝－.
所以f－1(x)＝－(x≥0)．
求反函数的一般步骤有哪几步？
[提示] (1)求值域：由函数y＝f(x)求y的范围．
(2)解出x：由y＝f(x)解出x＝f－1(y)．若求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取一个．
(3)得反函数：将x，y互换得y＝f－1(x)，注意定义域得反函数．
提醒：求反函数时，若原函数y＝f(x)的定义域有限制条件，其反函数的定义域只能是根据原函数的值域来求．
1．(1)已知函数y＝ex的图像与函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，则( )
A．f(2x)＝e2x(x∈R)
B．f(2x)＝ln
2·ln
x(x>0)
C．f(2x)＝2ex(x∈R)
D．f(2x)＝ln
2＋ln
x(x>0)
(2)求函数y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数．
(1)D [由题意知函数y＝ex与函数y＝f(x)互为反函数，y＝ex>0，所以f(x)＝ln
x(x>0)．则f(2x)＝ln(2x)＝ln
2＋ln
x(x>0)．]
(2)[解] 由y＝0.2x＋1得x＝log0.2(y－1)，
对换x，y得y＝log0.2(x－1)．
∵原函数中x≤1，y≥1.2，
∴反函数的定义域为[1.2，＋∞)，
因此y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数是y＝log0.2(x－1)，x∈[1.2，＋∞)．
类型2 指数函数与对数函数图像之间的关系
【例2】 (1)已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝logax的图像只能是( )
A B C D
(2)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图像是图中的( )
A B
C D
(1)C (2)A [(1)y＝ax与y＝logax的单调性一致，故排除A、B；当0＜a＜1时，排除D；当a＞1时，C正确．
(2)因为a>1时，y＝a－x＝,0<<1是减函数，恒过(0,1)点，y＝logax为增函数，恒过(1,0)点，故选A．]
互为反函数的图像有什么特点？
[提示] (1)互为反函数的图像关于直线y＝x对称；图像关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数．
(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致．
(3)若一奇函数有反函数，则它的反函数也是奇函数．
2．(1)已知函数f(x)＝ax＋b的图像过点(1,7)，其反函数f－1(x)的图像过点(4,0)，则f(x)的表达式为( )
A．4x＋3 B．3x＋4 C．5x＋2 D．2x＋5
(2)若函数y＝的图像关于直线y＝x对称，则a的值为______．
(1)A (2)－1 [(1)∵f(x)的反函数图像过点(4,0)，
∴f(x)的图像过(0,4)，
又f(x)＝ax＋b的图像过点(1,7)，
所以有方程组
∴a＝4且b＝3，故f(x)的表达式为4x＋3，选A．
(2)由y＝可得x＝，则原函数的反函数是y＝，所以＝，得a＝－1．]
类型3 指数函数与对数函数的综合应用
1．观察函数y＝2x与y＝log2x的图像，指出两个函数的增长有怎样的差异？
[提示] 根据图像，可以看到，在区间[1，＋∞)内，指数函数y＝2x随着x的增长，函数值的增长速度逐渐加快，而对数函数y＝log2x的增长速度逐渐变得很缓慢．
2．你能列表对底数大于1的指数函数与对数函数从多个方面分析它们的差异吗？
[提示]
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
图像
定义域
R
(0，＋∞)
值域
(0，＋∞)
R
性质
当x>0时，y>1；当x<0时，0
当x>1时，y>0；当0【例3】 已知f(x)＝(a∈R)，f(0)＝0.
(1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的反函数；
(3)对任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)>log2.
[思路探究] (1)判断奇偶性?奇偶性定义．
(2)求反函数?反解，改写，标注定义域．
(3)对数不等式?构建不等式组?解不等式组?得出解集．
[解] (1)由f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝.
因为f(x)＋f(－x)＝＋＝＋＝0，所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数．
(2)因为f(x)＝y＝＝1－，
所以2x＝(－1所以f－1(x)＝log2(－1(3)因为f－1(x)>log2，
即log2>log2，
所以所以
所以当0当k≥2时，原不等式的解集为{x|－1(变结论)本例中的条件不变，如何判断f－1(x)的单调性，并给出证明．
[解] 由原题解答知：f－1(x)＝log2(－1任取－1令t(x)＝＝＝－1＋，所以t(x1)－t(x2)＝－
＝－＝＝.
因为－10,1－x2>0，x1－x2<0，所以t(x1)－t(x2)<0，t(x1)所以log2t(x1)即f－1(x1)所以函数f－1(x)为(－1,1)上的增函数．
解对数不等式的常见解法
(1)借助对数函数的单调性，把对数不等式转化为真数的不等式，最后与定义域取交集即得原不等式的解集．
(2)底数中若含有变量，一定要注意底数大于0且不等于1，并注意与1的大小的讨论．
1．若函数y＝f(x)的反函数图像过点(1,5)，则函数y＝f(x)的图像必过点( )
A．(1,1)
B．(1,5)
C．(5,1)
D．(5,5)
C [原函数与它的反函数的图像关于直线y＝x对称，因为y＝f(x)的反函数的图像过点(1,5)，而点(1,5)关于y＝x的对称点为(5,1)，所以函数y＝f(x)的图像必过点(5,1)．]
2．函数y＝log3
x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是( )
A．(0，＋∞)
B．R
C．(－∞，0)
D．(0,1)
A [由原函数与反函数间的关系知，反函数的值域为原函数的定义域．]
3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图像经过点(，a)，则f(x)＝( )
A．log2x
B．logeq
\s\do12()x
C．
D．x2
B [因为y＝ax的反函数为y＝logax.又此函数经过点(，a)，因此loga＝a，解得a＝，所以f(x)＝logeq
\s\do12()x.]
4．下列函数中，反函数是其自身的函数为( )
A．f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)
B．f(x)＝x3，x∈(－∞，＋∞)
C．f(x)＝ex，x∈(－∞，＋∞)
D．f(x)＝，x∈(0，＋∞)
D [f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)的反函数为f－1(x)＝，x∈[0，＋∞)；f(x)＝x3，x∈(－∞，＋∞)的反函数为f－1(x)＝，x∈(－∞，＋∞)；f(x)＝ex，x∈(－∞，＋∞)的反函数为f－1(x)＝ln
x，x∈(0，＋∞)；只有f(x)＝，x∈(0，＋∞)的反函数仍为f－1(x)＝，x∈(0，＋∞)．]
5．已知f(x)＝2x＋b的反函数为f－1(x)，若y＝f－1(x)的图像过点Q(5,2)，则b＝________.
1 [f－1(x)的图像过Q(5,2)，则f(x)的图像过点(2,5)，则f(2)＝5，即22＋b＝5，解得b＝1．]
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．互为反函数的图像间有怎样的关系？
[提示] 若函数y＝f(x)(定义域为A，值域为B)存在反函数y＝f－1(x)，则
(1)y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像不一定有交点，若有交点，它们的交点不一定在直线y＝x上．
(2)若b＝f(a)，则a＝f－1(b)，f－1[f(a)]＝a，f[f－1(b)]＝b.
(3)若f(x)＝f－1(x)?f(x)的图像关于直线y＝x对称．
2．本节课的易错点是什么？
[提示] 本节课的易错点是求反函数时忘记写反函数的定义域．
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-4.4 幂函数
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1．掌握幂函数的概念、图像和性质．(重点)2．熟悉α＝1,2,3，，－1时的五类幂函数的图像、性质及其特点．(易错点)3．能利用幂函数的图像与性质解决综合问题．(难点)
1．通过幂函数概念与图像的学习，培养数学抽象素养．2．借助幂函数性质的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.
给出下列五个问题：
①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数．
②如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数．
③如果正方体的棱长为a，那么正方体的体积V＝a3，这里V是a的函数．
④如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a＝S，这里a是S的函数．
⑤如果某人t
s内骑车行进了1
m，那么他骑车的平均速度v＝t－1
m/s，这里v是t的函数．
问题：(1)上述5个问题中，若自变量都用x表示，因变量用y表示，则对应的函数关系式分别是什么？
(2)你能根据指数运算的定义，把问题1中的五个函数改写成统一形式吗？
[提示] (1)①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝，⑤y＝.
(2)①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝xeq
\s\up10()，⑤y＝x－1．
知识点1 幂函数的概念及五个常见的幂函数
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α是常数．
幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)有什么样的区别？
[提示] 幂函数y＝xα的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y＝ax中，底数是常数，指数是自变量．
2．五个常见幂函数的图像
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝xeq
\s\up10(－)是幂函数．
( )
(2)函数y＝2－x是幂函数．
( )
(3)幂函数的图像都不过第二、四象限．
( )
[提示] (1)√.函数y＝xeq
\s\up10(－)符合幂函数的定义，所以是幂函数．
(2)×.幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y＝2－x不是幂函数．
(3)×.幂函数y＝x2过第二象限．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2.下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝
B．y＝x3
C．y＝2x
D．y＝x－1
C [形如y＝xα的函数为幂函数，只有C不是．]
知识点2 幂函数的图像特征及性质
(1)幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上分布．
(2)当α＞0时，图像过点(1,1)，(0,0)，且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数．
(3)当α＜0时，幂函数的图像，过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴．
(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．
3.幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过( )
A．第四象限
B．第三象限
C．第二象限
D．第一象限
A [由幂函数的图像可知，其图像一定不经过第四象限．]
4.已知幂函数f(x)的图像经过点(2，)，则f(4)＝________.
2 [设f(x)＝xα，∴α＝，∴f(4)＝4eq
\s\up10()＝2.]
类型1 幂函数的概念
【例1】 函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
[解] 根据幂函数定义得，
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．
∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.
如何判断一个函数是幂函数？
[提示] (1)只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．
(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1．形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…，形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．
1．已知f(x)＝(m2＋2m)x，m为何值时，f(x)是：
(1)正比例函数？(2)反比例函数？
(3)二次函数？(4)幂函数？
[解] (1)若f(x)为正比例函数，则?m＝1．
(2)若f(x)为反比例函数，
则?m＝－1．
(3)若f(x)为二次函数，则?m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，所以m＝－1±.
类型2 幂函数的图像和性质
【例2】 (1)幂函数y＝x(m∈Z)的图像如图所示，则m的值为( )
A．－1＜m＜4
B．0或2
C．1或3
D．0,1,2或3
(2)已知幂函数y＝x3m－9(m∈N
)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋3)eq
\s\up10(－)<(5－2a)eq
\s\up10(－)的a的取值范围．
[思路探究] (1)根据幂函数的图像特征与性质确定m的值；
(2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m的值，再利用幂函数的单调性求解关于a的不等式．
(1)D [(1)因为幂函数图像在第一象限内为减函数，所以m2－3m－4＜0，解得－1＜m＜4，又图像关于y轴对称说明m2－3m－4为偶数，又m∈Z，所以m的值为0,1,2或3.]
(2)[解] 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3，又m∈N
，所以m＝1,2.
因为函数的图像关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1，则原不等式可化为(a＋3)eq
\s\up10(－)<(5－2a)eq
\s\up10(－).
因为y＝xeq
\s\up10(－)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋3>5－2a>0或5－2a解决幂函数图像问题应把握的两个原则
(1)依据图像高低判断幂的指数大小，相关结论为：
①在(0,1)上，幂的指数越大，幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)依据图像确定幂的指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y＝x－1或y＝xeq
\s\up10()或y＝x3)来判断．
2．(1)函数f(x)＝xeq
\s\up10(－)的大致图像是( )
A B
C D
(2)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为( )
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
(1)A (2)B [(1)因为－＜0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，排除选项B，C；又f(x)的定义域为(0，＋∞)，故排除选项D．
(2)根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图像当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝，当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B．]
类型3 幂值的大小比较
1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性与实数a有什么关系？幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？
[提示] 当a>1时，函数y＝ax单调递增；当00时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
2.23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
[提示] 23.1和23.2可以看作函数f(x)＝2x的两个函数值，因为函数f(x)＝2x单调递增，所以23.1＜23.2.
3.2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
[提示] 2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.
【例3】 (对接教材P35例1)比较下列各组数中两个数的大小．
[思路探究] (1)利用函数y＝x0.5的单调性比较大小；
(2)利用函数y＝x－1的单调性比较大小；
(3)借助中间量eq
\s\up10()比较大小．
[解] (1)∵幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，又>，∴>.
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，∴>.
(3)∵函数y1＝为R上的减函数，
又>，∴eq
\s\up10()>eq
\s\up10().
又∵函数y2＝xeq
\s\up10()在[0，＋∞)上是增函数，且>，
∴eq
\s\up10()>eq
\s\up10()，∴eq
\s\up10()>eq
\s\up10().
利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法
3．比较下列各组数的大小：
(1)3eq
\s\up10(－)与3.1eq
\s\up10(－)；
(2)0.70.8与0.80.7；
(3)4.1eq
\s\up10()，3.8eq
\s\up10(－)和(－1.9)eq
\s\up10().
[解] (1)函数y＝xeq
\s\up10(－)在(0，＋∞)上为减函数．
∵3＜3.1，∴3eq
\s\up10(－)＞3.1eq
\s\up10(－).
(2)∵y＝x0.8在[0，＋∞)上是增函数，0.7＜0.8，
∴0.70.8＜0.80.8.
又∵y＝0.8x在R上是减函数，0.7＜0.8，
∴0.80.8＜0.80.7.
∴0.70.8＜0.80.8＜0.80.7，即0.70.8＜0.80.7.
(3)∵幂函数y＝xeq
\s\up10()在[0，＋∞)上为增函数，且4.1＞1，
∴4.1eq
\s\up10()＞1，
又幂函数y＝xeq
\s\up10(－)在(0，＋∞)上为减函数，且3.8＞1，
∴0＜3.8eq
\s\up10(－)＜1．
而幂函数y＝xeq
\s\up10()在(－∞，0)上为增函数，且－1.9＜0，
∴(－1.9)eq
\s\up10()＜0.
故有4.1eq
\s\up10()＞3.8eq
\s\up10(－)＞(－1.9)
eq
\s\up10().
1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )
A．y＝xeq
\s\up10()
B．y＝xeq
\s\up10(－)
C．y＝xeq
\s\up10()
D．y＝xeq
\s\up10()
D [A中定义域和值域都是R；B中定义域和值域都是(0，＋∞)；C中定义域和值域都是R；D中定义域为R，值域为[0，＋∞)．]
2．函数y＝xeq
\s\up10()的图像大致是图中的( )
A B C D
B [∵函数y＝xeq
\s\up10()是奇函数，且α＝＞1，∴函数图像为B．]
3．若幂函数f(x)＝(m2－m－1)x1－m是偶函数，则实数m＝( )
A．－1
B．2
C．3
D．－1或2
A [因为f(x)＝(m2－m－1)x1－m为幂函数，所以m2－m－1＝1解得m＝－1或2，又f(x)是偶函数，则1－m为偶数．故m＝－1．]
4．在函数y＝，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为________．
1 [函数y＝＝x－4为幂函数；
函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；
函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．]
5．给出下列说法：
①幂函数图像均过点(1,1)；
②幂函数的图像均在两个象限内出现；
③幂函数在第四象限内可以有图像；
④任意两个幂函数的图像最多有两个交点．
其中说法正确的有________(填序号)．
① [根据幂函数的图像特征可知①正确，②③④错误．]
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．简单幂函数的性质有哪些？
[提示] (1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1．
(2)α＞0时，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．
(3)α＜0时，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．
2．本节课的易错点是什么？
[提示] 本节课的易错点是对幂函数的图像掌握不准而致错．
(教师独具)
“对勾”函数图像与性质探究
学习了幂函数的图像，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行了相关运算，得到了新的函数f(x)＝x＋，利用计算机软件，我们绘制出它的图像，如图．
1．参考幂函数的性质，探究函数f(x)＝x＋的性质．
[提示] (1)定义域：∵x≠0，
∴函数f(x)＝x＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)值域：函数f(x)＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)奇偶性：∵f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，∴函数f(x)＝x＋为奇函数．
(4)单调性：由函数f(x)＝x＋的图像可知，函数f(x)＝x＋在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)，(0,1)上单调递减．
2．试探究函数f(x)＝x＋(a＞0)的性质，并画出它的简图．
[提示] (1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)值域：(－∞，2]∪[2，＋∞)．
(3)奇偶性：奇函数．
(4)单调性：函数f(x)＝x＋(a＞0)在(－∞，－)和(，＋∞)上为增函数，在[－，0)和(0，]上为减函数．
证明：任取x1，x2∈(0，]，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2).
因为0＜x1＜x2≤，
所以x1－x2＜0,0＜x1x2＜a，
所以＞1，所以1－＜0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
所以f(x)在(0，]上为减函数．
任取x1，x2∈(，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2).
因为x1－x2＜0，x1x2＞a，
所以＜1，所以1－＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，
所以f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(，＋∞)上为增函数．
同理，f(x)在(－∞，－)上为增函数，在[－，0)上为减函数．
其图像如图所示．
3．试探究函数f(x)＝x＋(a＜0)的性质，并画出它的简图．
[提示] (1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)值域：R.
(3)奇偶性：奇函数．
(4)函数f(x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增．
证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－
＝(x1－x2)，
因为0＜x1＜x2，
所以x1－x2＜0，
又a＜0，所以1－＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
同理可知，函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递增．
其简图如图所示．
PAGE
-
12
-4.5 增长速度的比较
学
习
任
务
核
心
素
养(教师独具)
1．了解和体会函数模型在实际生活中的广泛应用．(一般)2．理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较．(重点)3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．(难点)
1．通过三种不同增长的函数模型差异的学习，培养逻辑推理的核心素养．2．借助函数模型的应用，提升数学建模核心素养.
杰米是百万富翁，一天，他碰到一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说：“我想和你订个合同，我将在整整一个月中(这个月有31天)，每天给你10万元，而你第一天只需给我1分钱，以后你每天给我的钱是前一天的两倍．”杰米说：“真的？你说话算数？”
合同开始生效了，杰米欣喜若狂.第一天杰米支出1分钱，收入10万元.第二天杰米支出2分钱，收入10万元，到了第10天，杰米共得100万元，而总共才付出10元2角3分.到了第20天，杰米共得200万元，而韦伯才得1万多元.杰米想：要是合同订二、三个月该多好！可从21天起，情况发生了转变.
第22天杰米支出2万多，收入10万，到第28天，杰米支出134万多，收入10万.结果，杰米在一个月?31天?内得到310万元的同时，共付给韦伯2千1百多万元！杰米破产了.
问题：?1?写出杰米总共收到韦伯的钱y?单位：分?与天数x的函数关系式.
?2?写出杰米每天支出y?单位：分?与天数x的函数关系式.
[提示] ?1?y＝107x?x∈N
?.
?2?y＝2x－1?x∈N
?.
知识点 函数值增长速度的比较
1．用平均变化率比较函数值变化的快慢
(1)定义：函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率为＝.
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
(3)理解：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加个单位．
(4)应用：比较函数值变化的快慢．
2．两种重要的函数增长
(1)指数增长；
①性质：当a＞1时，指数函数f(x)＝ax，当自变量每增加1个单位时，随着自变量的增大，f(x)＝ax的函数值增长的越来越快．
②定义：类似指数函数的增长称为指数增长(或指数级增长、爆炸式增长)．
(2)线性增长：类似一次函数的增长称为线性增长(或直线增长)．
1．下列说法正确的有________(填序号)．
①若f(x)＝2x＋1，自变量每增加1个单位，函数值将增加1个单位；
②增长速度是不为0的常数的函数模型是线性增长模型；
③指数函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的增长速度一定比线性增长速度大．
② [①自变量每增加1个单位，函数值将增加2个单位．
②线性增长的增长速度是不变的．
③当a＞1时，指数增长速度比线性增长速度大．]
2.下列函数中，随x的增大而增大且速度最快的是________(填序号)．
①y＝ex；②y＝ln
x；③y＝7x；④y＝e－x.
[答案] ①
类型1 比较函数值增加的快慢
【例1】 (对接教材P39例1)已知函数y＝4x，分别计算函数在区间[1,2]与[3,4]上的平均变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律．
[解] 因为＝＝，所以y＝4x在区间[1,2]上的平均变化率为＝12，在区间[3,4]上的平均变化率为＝192，所以当自变量每增加1个单位时，区间的左端点值越大，函数值增加越快．
1．计算函数在不同区间上的平均变化率，利用平均变化率的大小比较函数值增加的快慢．
2．平均变化率的大小也代表了区间的端点处的曲线上两点连线斜率的大小，通过直线可以直观观察函数值的变化对曲线变化趋势的影响．
1．已知函数y＝x2－2x－3.
(1)分别计算函数在区间[1,2]
与[3,4]上的平均变化率，分析当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律；
(2)记A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，判定直线AB与直线BC斜率的相对大小．
[解] (1)＝＝x2＋x1－2，所以在区间[1,2]上的平均变化率为1，在区间[3,4]上的平均变化率为5，所以当自变量每增加1个单位时，区间的左端点值越大，函数值增加越快．
(2)直线AB的斜率为1，直线CD的斜率为5，直线AB的斜率小于直线CD的斜率．
类型2 比较不同函数平均变化率的大小
【例2】 已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，h(x)＝log3x，比较这三个函数在区间[a，a＋1](a＞1)上的平均变化率的大小．
[解] 因为＝＝2×3a，
＝＝2，
＝＝log3，
又因为a＞1，所以2×3a＞2×31＝6，
log3＜log3＝log32＜log33＝1＜6，
因此在区间[a，a＋1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小．
不同函数平均变化率大小的比较方法
计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率；利用指数、对数函数的性质比较大小，一般选取一个中间值进行比较，以确定平均变化率的大小．
2．已知函数f(x)＝4x，g(x)＝5x，分别计算这两个函数在区间[2,3]上的平均变化率，并比较它们的大小．
[解] ＝＝48，＝＝100，
所以在区间[2,3]上f(x)的平均变化率比g(x)的小．
类型3 三类函数图像的比较
【例3】 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示．
设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图像，判断f(6)，g(6)，f(2
021)，g(2
021)的大小．
[思路探究] 首先判断x1，x2的范围，再判断6和2
021在哪个区间内，从而得到f(6)与g(6)，f(2
021)与g(2
021)的大小．最后四个值进行排序．
[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，
C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，
f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，
∴1＜x1＜2,9＜x2＜10，
∴x1＜6＜x2,2
021＞x2.
从图像上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，
∴f(6)＜g(6)．
当x＞x2时，f(x)＞g(x)，
∴f(2
021)＞g(2
021)．
又∵g(2
021)＞g(6)，
∴f(2
021)＞g(2
021)＞g(6)＞f(6)．
由图像判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图像判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图像上升的快慢，即随着自变量的增大，图像最“陡”的函数是指数函数；图像趋于平缓的函数是对数函数．
3．(1)若－1＜x＜0，则不等式中成立的是( )
A．5－x＜5x＜0.5x
B．5x＜0.5x＜5－x
C．5x＜5－x＜0.5x
D．0.5x＜5－x＜5x
(2)函数f(x)＝lg
x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．
①试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
②比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
(1)B [画出y1＝5－x，y2＝5x，y3＝0.5x的图像如图，
所以5x＜0.5x＜5－x.]
(2)[解] ①C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg
x.
②当x＜x1时，g(x)＞f(x)；
当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；
当x＞x2时，g(x)＞f(x)；
当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).
1．我们常用函数y＝f(x)的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy等于( )
A．f(x0＋Δx)
B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx
D．f(x0＋Δx)－f(x0)
D [∵自变量x由x0改变到x0＋Δx，当x＝x0时，y＝f(x0)，当x＝x0＋Δx时，y＝f(x0＋Δx)，∴Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故选D．]
2．函数f(x)＝x3－ln
x在区间[1，e]上的平均变化率是( )
A．
B．
C．
D．
B [∵f(e)－f(1)＝e3－1－1＝e3－2，∴函数f(x)在区间[1，e]上的平均变化率是，故选B．]
3．下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2
020x
B．y＝x2
020
C．y＝log2
020x
D．y＝2
020x
A [比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A．]
4．已知增函数f(x)的图像如图，则它的一个可能的解析式为( )
A．y＝2
B．y＝4－
C．y＝log3(x＋1)
D．y＝xeq
\s\up12()(x≥0)
B [由于过(1,2)点，排除C，D；由图像与直线y＝4无限接近，y＜4，排除A，所以选B．]
5．已知函数f(x)＝x＋，则f(x)在[1,2]上的平均变化率为________，f(x)在[3,5]上的平均变化率为________．
[自变量x从1变化到2时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.
自变量x从3变化到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.]
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．平均变化率的几何意义是什么？
[提示] 设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率，如图所示．
注意：Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．
2．三类常见不同函数增长的差异有哪些？
[提示]
函数性质
y＝kx(k＞0)
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
单调性
递增
增长速度
不变
先慢后快
先快后慢
图像变化
随x的增大，图像均匀上升
随x的增大，图像上升的速度逐渐变快，当x很大时，呈“爆炸式”增长
随x的增大，图像上升的速度逐渐变慢
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7
-4.1 指数与指数函数
4.1.1 实数指数幂及其运算
学
习
任
务
核
心
素
养(教师独具)
1．理解n次方根及根式的概念．(一般)2．正确运用根式的运算性质进行根式运算．(重点)3．掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、易错点)4．掌握有理数指数幂的运算性质．(重点、难点)
1．通过根式与分数指数幂的互化的学习，培养数学运算素养．2．通过指数式的条件求值问题，提升逻辑推理素养.
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数表示，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生．
问题：若x2＝3，这样的x有几个？怎么表示？
[提示] 这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±.
知识点1 根式
1．有关幂的概念
一般地，an中的a称为底数，n称为指数．
2．根式的相关概念和性质
(1)根式的概念
一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根；当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数．
(2)根式的性质
①()n＝a.
②＝
1．类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？
[提示] a为正数：
a为负数：
零的n次方根为零，记为＝0.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当n∈N
时，()n都有意义．
( )
(2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．
( )
(3)＝π－3.
( )
(4)0的任何指数幂都等于0.
( )
[提示] (1)当n是偶数时，()n没有意义．
(2)负数没有偶次方根．
(3)∵＝|3－π|＝π－3.
∴(3)正确．
(4)0的零次幂和0的负分数指数幂无意义．故(4)错误．]
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2.下列等式成立的是( )
A．＝·
B．＝a－b
C．a＝
D．＝－
D [A中，当a＜0，b＜0时等式不成立；B中，当a－b＜0时等式不成立；C中，当a＜0时，等式不成立．]
知识点2 指数幂及其运算性质
1．分数指数幂
(1)定义：一般地，如果n是正整数，那么：当有意义时，规定aeq
\s\up10()＝；当没有意义时，称aeq
\s\up10()没有意义．
(2)意义
分数指数幂
正分数指数幂
①aeq
\s\up10()＝(a>0)，②aeq
\s\up10()＝()m＝(a>0，m，n∈N
，且为既约分数)
负分数指数幂
a－s＝(as有意义且a≠0)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
(3)运算法则
①前提：s，t为任意有理数．
②法则：asat＝as＋t；(as)t＝ast；(ab)s＝asbs.
2.如何理解分数指数幂？
[提示] (1)与根式的关系：分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化；
(2)底数的取值范围：由分数指数幂的定义知a≤0时，aeq
\s\up10()可能会没有意义．当aeq
\s\up10()有意义时可借助定义将底数化为正数，再进行运算；
(3)运算性质：分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样．记忆有理指数幂的运算性质的口诀是：乘相加，除相减，幂相乘．
2．实数指数幂
无理指数幂at(a>0，t是无理数)是一个确定的实数，有理指数幂的运算性质对于无理指数幂同样适用．因此当a＞0，t为任意实数时，实数指数幂at都有意义，对任意实数s和t，类似有理指数幂的运算法则仍然成立．
3.将5eq
\s\up10()写为根式，正确的是( )
A．
B．
C．
D．
D [将5eq
\s\up10()写为根式，结果应是2次根下5的立方，所以5eq
\s\up10()＝.]
4.若a＞0，则用根式形式表示aeq
\s\up10(－)，用分数指数幂表示分别为( )
A．，a3beq
\s\up10()
B．，aeq
\s\up10()beq
\s\up10()
C．，a3beq
\s\up10()
D．，aeq
\s\up10()beq
\s\up10()
C [当a＞0时，aeq
\s\up10(－)用根式形式表示为，用分数指数幂表示为a3beq
\s\up10().]
类型1 根式与分数指数幂的互化
【例1】 (1)若(x－2)eq
\s\up10(－)有意义，则实数x的取值范围是( )
A．[2，＋∞)
B．(－∞，2]
C．(2，＋∞)
D．(－∞，2)
(2)根式(式中a＞0)的分数指数幂的形式为( )
A．aeq
\s\up10(－)
B．aeq
\s\up10()
C．aeq
\s\up10(－)
D．aeq
\s\up10()
[思路探究] (1)根式化简求值?偶次方根被开方数非负，奇次方根被开方数为实数．
(2)从里往外先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质求解．
(1)C (2)A [(1)由负分数指数幂的意义可知，(x－2)eq
\s\up10(－)＝，所以x－2>0，即x>2，因此x的取值范围是(2，＋∞)．
(2)＝eq
\r(a－1aeq
\s\up10(－))＝eq
\r(aeq
\s\up10(－))＝aeq
\s\up10(－).
根式与分数指数幂互化的规律及技巧
(1)规律：根指数分数指数幂的分母．
被开方数(式)的指数分数指数幂的分子．
(2)技巧：当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简．
1．(1)化为分数指数幂为________．
(2)将下列各式化为分数指数幂的形式：
①(x＞0)；
②(a＞0，b＞0)．
(1)aeq
\s\up10() [＝(a·aeq
\s\up10())eq
\s\up10()＝(aeq
\s\up10())eq
\s\up10()＝aeq
\s\up10().]
类型2 利用分数指数幂的运算性质化简与求值
【例2】 (对接教材P7例3)计算下列各式：
(1)(4a2beq
\s\up10())(－2aeq
\s\up10()beq
\s\up10(－))÷(－beq
\s\up10(－))；
(2)－－(－1)0＋(－1)2
022＋2－1．
[思路探究] 化根式为分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质化简和求值．
1．化简结果的一个要求和两个不能
2．幂的运算的常规方法
(1)化负指数幂为正指数幂．
(2)化根式为分数指数幂．
(3)化小数为分数进行运算．
2．(1)化简：aeq
\s\up10()beq
\s\up10()(－3aeq
\s\up10(－)b－1)÷(4aeq
\s\up10()b－3)eq
\s\up10()＝________.
(2)求值：1.5eq
\s\up10(－)×＋80.25×＋(×)6－eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq
\s\up10()).
(1)－beq
\s\up10() [aeq
\s\up10()beq
\s\up10()
(－3aeq
\s\up10(－)b－1)÷(4aeq
\s\up10()b－3)eq
\s\up10()
＝×(－3)÷4×aeq
\s\up10()eq
\s\up10(－)eq
\s\up10(－)beq
\s\up10(eq
\f(1,3)－1＋)＝－beq
\s\up10().]
(2)[解] 1.5eq
\s\up10(－)×＋80.25×＋(×)6－eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq
\s\up10())＝eq
\s\up10(－)×1＋(23)eq
\s\up10()×2eq
\s\up10()＋22×33－eq
\s\up10()＝eq
\s\up10()＋2＋4×27－eq
\s\up10()＝110.
类型3 指数式的条件求值问题
1．把，分别展开是什么？
[提示] ＝a＋＋2，＝a2＋＋2.
2.和有什么关系？
[提示] ＝＋4.
【例3】 已知a＋a－1＝5，求下列各式的值：
(1)a2＋a－2；(2)aeq
\s\up10()－aeq
\s\up10(－).
[解] (1)因为a＋a－1＝5，
所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝52－2＝23.
(2)因为eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(aeq
\s\up10()－aeq
\s\up10(－)))＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
所以aeq
\s\up10()－aeq
\s\up10(－)＝±.
本例条件不变，如何求a3＋a－3的值？
[解] 因为a＋a－1＝5，
所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－aa－1＋a－2)＝(a＋a－1)·[(a＋a－1)2－3aa－1]＝5×(25－3)＝110.
条件求值问题的常用方法
(1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值．
(2)求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果．
1．的值是( )
A．3
B．－3
C．±3
D．81
A [＝|－3|＝3.]
2．＋2－2×eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))eq
\s\up10(－)－(0.01)eq
\s\up10()＝( )
A．
B．3
C．－8
D．0
A [原式＝1＋×－＝，故选A．]
3．有下列各式：①若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1；②＝xeq
\s\up10()＋y；③＝.其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
B [①a2－a＋1＝＋＞0，所以(a2－a＋1)0＝1成立．②无法化简．③＜0，＞0，故不相等．]
4．若8＜x≤10，则－＝________.
2x－18 [因为8＜x≤10，则－＝x－8－(10－x)＝2x－18.]
5．化简eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(aeq
\s\up10()beq
\s\up10()))eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3aeq
\s\up10()beq
\s\up10()))÷eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)aeq
\s\up10()beq
\s\up10()))(a＞0，b＞0)的结果是________．
－9a [eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(aeq
\s\up10()beq
\s\up10()))eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3aeq
\s\up10()beq
\s\up10()))÷eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)aeq
\s\up10()beq
\s\up10()))＝
－9aeq
\s\up10(＋－)·beq
\s\up10(＋－)＝－9a.]
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．有理指数幂与实数指数幂的运算法则是否相同？它们有怎样的运算法则．
[提示] 相同．s，t为有理数(或实数)时，
asat＝as＋t；(as)t＝ast；(ab)s＝asbs.
2．学习本节课要重点掌握的规律方法是什么？
[提示] (1)掌握根式化简求值的解题思路．
(2)根式与分数指数幂的互化方法．
(3)有条件的根式的化简与求值问题及方法．
3．本节课的易错点在哪里？
[提示] 本节课的易错点是对根式概念理解不透致错以及指数幂运算性质掌握不熟练出现的计算错误．
PAGE
14.1.2 指数函数的性质与图像
学
习
任
务
核
心
素
养(教师独具)
1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点)2．能画出具体指数函数的图像，并能根据指数函数的图像说明指数函数的性质．(重点)
1．通过指数函数概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助指数函数图像与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养.
电视剧《西游记》中的孙悟空，是观众都喜爱的除妖英雄，他的如意金箍棒更是神奇无比，说大就大，说小就小．假设他手中的金箍棒长1.8米，他喊一声变，就将金箍棒变为原来的2倍，那么孙悟空喊多少声“变”能将金箍棒变得比珠穆朗玛峰还高？
问题：(1)你能写出金箍棒长度y与孙悟空喊的次数x之间的函数关系吗？
(2)若喊一声“变”，就将金箍棒变为原来的3倍呢？与第一种情况相比，哪种情况金箍棒增长的更快？
[提示](1)y＝1.8×2x(x∈N
)．
(2)y＝1.8×3x(x∈N
)．
通过画出y＝1.8×2x与y＝1.8×3x的图像(图略)可观察得出y＝1.8×3x增长的更快．
知识点1 指数函数的定义
一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．
指数函数中为什么规定a>0且a≠1?
[提示] (1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义；
(2)如果a<0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义；
(3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝－2x是指数函数．
( )
(2)函数y＝2x＋1是指数函数．
( )
(3)函数y＝(－2)x是指数函数．
( )
[提示] (1)×.因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝－2x不是指数函数．
(2)×.因为指数不是x，所以函数y＝2x＋1不是指数函数．
(3)×.因为底数小于0，所以函数y＝(－2)x不是指数函数．
[答案] (1)× (2)× (3)×
知识点2 指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图像和性质
a>1
0图像
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
过定点(0,1)
函数值的变化
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x>0时，01
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
2.指数函数y＝ax与y＝bx的图像如图所示，则( )
A．a<0，b<0
B．a<0，b>0
C．01
D．0C [函数y＝ax的图像是下降的，所以01．]
3.已知函数y＝在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，则m＋n的值为________．
12 [因为y＝在[－2，－1]上为减函数，所以m＝＝3，n＝＝9，所以m＋n＝12.]
知识点3 比较幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图像的变化规律来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
4.若2x＋1＜1，则x的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)
D [不等式2x＋1＜1＝20，
因为y＝2x在R上是增函数，所以x＋1＜0，即x＜－1．]
类型1 指数函数的概念
【例1】 (1)下列一定是指数函数的是( )
A．y＝ax
B．y＝xa(a>0且a≠1)
C．y＝
D．y＝(a－1)ax
(2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则( )
A．a＝1或a＝3
B．a＝1
C．a＝3
D．a>0且a≠1
[思路探究] (1)观察函数解析式的形式，看是否满足指数函数的定义，然后下结论．
(2)根据指数函数的定义建立关于a的关系式求解．
(1)C (2)C [(1)A中a的范围没有限制，故不一定是指数函数；B中y＝xa(a>0且a≠1)中变量是底数，故也不是指数函数；C中y＝显然是指数函数；D中只有a－1＝1，即a＝2时为指数函数．
(2)由指数函数定义知
所以解得a＝3.]
如何判断一个函数是指数函数？
[提示] 指数函数具有形式上的严格性，在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住四点：
(1)底数是大于0且不等于1的常数．
(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上．
(3)ax的系数必须为1．
(4)指数函数不会是多项式，如y＝ax＋1(a>0且a≠1)不是指数函数．
1．(1)若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(x)＝________.
(2)已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
(1)3x (2)∪(1，＋∞) [(1)由题意设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f(2)＝a2＝9，又因为a>0，所以a＝3，所以f(x)＝3x.
(2)由题意可知解得a>且a≠1，所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]
类型2 指数函数的性质
【例2】 (1)求下列函数的定义域和值域：
①y＝；
②y＝eq
\s\up12()；
③y＝4x＋2x＋1＋2.
(2)求函数y＝的值域与单调区间．
[思路探究] (1)―→
(2)指数函数的图像与性质及复合函数的单调性与值域?用换元法将其化为指数函数．
[解] (1)①要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1．
所以∈[0,1)，
即函数y＝的值域为[0,1)．
②要使函数式有意义，则－|x|≥0，解得x＝0，所以函数y＝eq
\s\up12()的定义域为{x|x＝0}．
因为x＝0，所以y＝eq
\s\up12()＝＝1，即函数y＝eq
\s\up12()的值域为{y|y＝1}．
③因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)．
(2)令t＝2x－x2，则y＝，而t＝－(x－1)2＋1≤1，所以y＝≥，故所求函数的值域为.
因为y＝＝，由于二次函数t＝2x－x2的对称轴为x＝1，可得函数t在(－∞，1]上是增函数，函数y在(－∞，1]上是减函数，故函数y的减区间是(－∞，1]．
函数t在(1，＋∞)上是减函数，函数y在(1，＋∞)上是减函数，故函数y的增区间是(1，＋∞)．
1．函数y＝af(x)的定义域、值域的求法
(1)函数y＝af(x)的定义域即y＝f(x)的定义域．
(2)函数y＝af(x)的值域的求法如下：
①换元，令t＝f(x)．
②求t＝f(x)的定义域x∈D．
③求t＝f(x)的值域t∈M.
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
2．复合函数的单调性
与指数函数有关的单调性问题，求出内函数的单调区间结合外函数的单调性，结合复合函数的单调性确定其单调性．
提醒：利用指数函数的单调性时要注意对底数的讨论．
2．已知定义在R上的奇函数f(x)＝.
(1)求a，b的值；
(2)判断并证明f(x)在R上的单调性；
(3)求该函数的值域．
[解] (1)因为f(x)是R上的奇函数，
所以即解得
(2)f(x)在R上是增函数，证明如下：
由(1)知f(x)＝.设x1，x2∈R，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝eq
\f(2－1,2＋1)－eq
\f(2－1,2＋1)
＝eq
\f(?2－1??2＋1?－?2－1??2＋1?,?2＋1??2＋1?)
＝eq
\f(2?2－2?,?2＋1??2＋1?).
因为y＝2x是R上的增函数，且x1＜x2，
所以2－2＜0.又因为(2＋1)(2＋1)＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在R上是增函数．
(3)f(x)＝＝＝1－.
由2x＞0，得2x＋1＞1，所以0＜＜2，
所以－1＜1－＜1，即－1＜f(x)＜1，
所以函数f(x)的值域为(－1,1)．
类型3 指数函数的图像
1．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像过哪一定点？函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图像又过哪一定点呢？
[提示] 法一：(平移法)∵y＝ax过定点(0,1)，∴将函数y＝ax向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y＝ax－1＋2，此时函数图像过定点(1,3)．
法二：(解方程法)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像过定点(0,1)；在f(x)＝ax－1＋2中，令x－1＝0，即x＝1，则f(x)＝3，所以函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图像过定点(1,3)．
2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像可能在第三或第四象限吗？为什么？
[提示] 不可能．因为指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(0，＋∞)，这就决定了其图像只能在第一象限和第二象限．
3．从左向右，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像呈上升趋势还是下降趋势？其图像是上凸还是下凹？
[提示] 当00且a≠1)的图像从左向右呈下降趋势；当a>1时，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像从左向右呈上升趋势．指数函数的图像下凹．
【例3】 (1)(对接教材P12例1)下列几个函数的图像如图所示：①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx.
则a，b，c，d与0和1的关系是( )
A．0B．0C．0D．1(2)已知函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)满足f(1)>1，若函数g(x)＝f(x＋1)－4的图像不过第二象限，则a的取值范围是( )
A．(2，＋∞)
B．(2,5]
C．(1,2)
D．(1,5]
(3)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
(1)B (2)B (3)[－1,1] [(1)由指数函数图像得到当底数大于1时为增函数，并且底数越大增加的越快，因此得到c>d>1，反之，1>a>b>0，所以0(2)因为f(1)>1，所以a－1>1，即a>2，因为函数g(x)＝f(x＋1)－4的图像不过第二象限，所以g(0)＝a1－1－4≤0，所以a≤5，所以a的取值范围是(2,5]．
(3)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图像如图所示，由图像可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．]
1．处理函数图像问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图像过定点(0,1)．
(2)巧用图像变换：函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
2．指数型函数图像过定点问题的处理方法
求指数型函数图像所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图像所过的定点．
3．(1)在同一坐标系中画出函数y＝ax，y＝x＋a的图像，可能正确的是( )
A B
C D
(2)要得到函数y＝23－x的图像，只需将函数y＝的图像( )
A．向右平移3个单位
B．向左平移3个单位
C．向右平移8个单位
D．向左平移8个单位
(3)函数y＝a－|x|(0＜a＜1)的图像是( )
A B
C D
(1)D (2)A (3)A [(1)∵a为直线y＝x＋a在y轴上的截距，对应函数y＝x＋a单调递增，
又∵当a＞1时，函数y＝ax单调递增，当0＜a＜1时，函数y＝ax单调递减，
A中，从图像上看，y＝ax的a满足a＞1，而直线y＝x＋a的截距a＜1，不符合以上两条；
B中，从图像上看，y＝ax的a满足0＜a＜1，而直线y＝x＋a的截距a＞1，不符合以上两条；
C中，从图像上看，y＝ax的a满足a＞1，而函数y＝x＋a单调递减，不符合以上两条，
∴只有选项D的图像符合以上两条，故选D．
(2)因为y＝23－x＝，
所以y＝的图像向右平移3个单位得到y＝，即y＝23－x的图像．
(3)y＝a－|x|＝，易知函数为偶函数，∵0＜a＜1，∴＞1，故当x＞0时，函数为增函数，当x＜0时，函数为减函数，当x＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A．]
1．下列各函数中是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x
B．y＝－3x
C．y＝3x－1
D．y＝
D [根据指数函数的定义，y＝ax(a>0且a≠1)，可知只有D项正确．]
2．若a＞1，－1＜b＜0，则函数y＝ax＋b的图像一定在( )
A．第一、二、三象限
B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、二、四象限
[答案] A
3．已知集合A＝{x|x＜3}，B＝{x|2x＞4}，则A∩B＝( )
A．?
B．{x|0＜x＜3}
C．{x|1＜x＜3}
D．{x|2＜x＜3}
D [因为函数y＝2x是增函数，所以B＝{x|2x＞4}＝{x|x＞2}，故A∩B＝{x|2＜x＜3}．]
4．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为________．(用“＜”连接)
m＜n [因为a＝，即0＜a＜1，所以f(x)＝ax在R上为减函数，又因为f(m)＞f(n)所以m＜n.]
5．已知a＝23.5，b＝22.5，c＝33.5，请将a，b，c按从小到大的顺序排列________．
b＜a＜c [由指数函数y＝2x知，因为2.5＜3.5，
所以22.5＜23.5，即b＜a，又c＝33.5＞a＝23.5，
故b＜a＜c.]
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．如何判断一个函数是指数函数？
[提示] 判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1．
2．结合指数函数的图像，请你总结一下指数函数的性质有哪些？
[提示] 定义域、值域、单调性及过定点．
3．本节课的易错点有哪些？
[提示] 本节课的易错点是对指数函数概念理解不够深刻，在解与指数函数有关的函数定义域和值域时致错．
例如：在求值域时易忽视指数函数隐含的条件ax＞0.
(教师独具)
函数图像变化规律的探究
为研究函数图像的变换规律，某数学兴趣小组以指数函数f(x)＝2x为例，借助几何画板画出了下面4个函数的图像：(1)y＝f(x－1)；(2)y＝f(|x|)＋1；(3)y＝－f(x)；(4)y＝|f(x)－1|.
1．请分别写出这4个函数的解析式．
[提示] (1)y＝f(x－1)＝2x－1；
(2)y＝f(|x|)＋1＝2|x|＋1；
(3)y＝－f(x)＝－2x；
(4)y＝|f(x)－1|＝|2x－1|.
2．若给出函数f(x)＝4x的图像，能否由图像变换的方法得到上面这4个函数的图像？若能，试分别写出图像的变换过程．
[提示] 能．(1)将函数y＝f(x)＝4x的图像向右平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＝4x－1的图像；
(2)保留函数y＝f(x)＝4x在y轴右方的图像，并对称至y轴左边，再向上平移1个单位长度得到y＝f(|x|)＋1＝4|x|＋1的图像．
(3)函数y＝－f(x)＝－4x与y＝f(x)＝4x的图像关于x轴对称．
(4)将函数y＝f(x)＝4x的图像向下平移1个单位长度得到函数y＝f(x)－1＝4x－1的图像，再将x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴的上方，便得到函数y＝|f(x)－1|＝|4x－1|的图像．
PAGE
-
12
-4.2 对数与对数函数
4.2.1 对数运算
学
习
任
务
核
心
素
养(教师独具)
1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．(重点)2．理解对数的底数和真数的取值范围．(易混点)3．掌握对数的基本性质及对数恒等式．(难点)
1．通过对数定义及相关概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过对数性质的学习，培养数学运算核心素养.
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，….
问题：依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？
[提示] 2x个，3次，8次；由2x＝N可知，当N已知时，x的值即为分裂次数．
知识点1 对数的定义及相关概念
1．对数的概念
在表达式ab＝N(a＞0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数．
2．对数恒等式a＝N.
3．常用对数
以10为底的对数称为常用对数，并把log10N记为lg
N.
4．自然对数
在科学技术中常使用以无理数e＝2.718
28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln
N.
如何准确理解指数式与对数式的关系？
[提示] (1)指数式和对数式的关系如图所示：
(2)指数式和对数式各部分的名称：
式子
名称
a
b
N
指数式
ab＝N
底数
指数
幂
对数式
logaN＝b
底数
对数
真数
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.
( )
(2)对数式log32与log23的意义一样．
( )
(3)因为1a＝1，所以log11＝a.
( )
(4)log(－2)(－2)＝1．
( )
[提示] (1)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；
(2)×.log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；
(3)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(3)错；
(4)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，真数应大于0，所以(4)错．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．2＝________.
3 [由对数恒等式得，2＝3.]
知识点2 对数的性质
性质1
负数和零没有对数
性质2
1的对数是0，即loga1＝0(a＞0且a≠1)
性质3
底数的对数是1，即logaa＝1(a＞0且a≠1)
3.若log3(log2x)＝0，则xeq
\s\up12()＝________.
[∵log3(log2x)＝0，∴log2x＝30＝1，∴x＝2，即xeq
\s\up12()＝.]
类型1 对数的概念
【例1】 (1)对数式lg(2x－1)中实数x的取值范围是________．
(2)对数式log(x－2)(x＋2)中实数x的取值范围是____________．
[思路探究] 根据对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0求解．
(1) (2)(2,3)∪(3，＋∞) [(1)由题意可知对数式lg(2x－1)中的真数大于0，即2x－1>0，解得x>，所以x的取值范围是.
(2)由题意可得解得x>2，且x≠3，所以实数x的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)．]
在对数式中，对数的底数与真数有什么要求？
[提示] 根据对数的概念，对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0.
1．对数式log(2x－3)(x－1)中实数x的取值范围是____________．
∪(2，＋∞) [由题意可得解得x>，且x≠2，所以实数x的取值范围是∪(2，＋∞)．]
类型2 指数式与对数式的互化
【例2】 (1)将下列指数式与对数式互化：
①log216＝4；②logx＝6；③43＝64；
④3－2＝；⑤lg
1
000＝3.
(2)(对接教材P18例4)设a＝log310，b＝log37，求3a－b的值．
[思路探究] (1)根据ax＝N?logaN＝x(a>0且a≠1，N
>0)求解；
(2)由于a，b是对数，所以可考虑用指数式表示出a，b，再把它们代入式子中．
[解] (1)①因为log216＝4，所以24＝16.
②因为logx＝6，所以()6＝x.
③因为43＝64，所以log464＝3.
④因为3－2＝，所以log3＝－2.
⑤因为lg
1
000＝3，所以103＝1
000.
(2)因为a＝log310，b＝log37，所以3a＝10,3b＝7.
则3a－b＝＝.
1．指数式与对数式互化的方法技巧
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
2．互化时应注意的问题
(1)利用对数式与指数式间的互化公式互化时，要注意字母的位置改变．
(2)对数式的书写要规范：底数a要写在符号“log”的右下角，真数正常表示．
2．(1)将下列各等式化为相应的对数式或指数式：
①10－3＝；②ln
2＝x.
(2)已知a>0且a≠1，loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值．
[解] (1)①因为10－3＝，所以lg＝－3.
②因为ln
2＝x，所以ex＝2.
(2)根据条件loga3＝n及对数的定义可得an＝3，
由loga2＝m及对数的定义可得am＝2，
所以a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝22×3＝12.
类型3 对数的性质与对数恒等式
1．是不是所有的实数都有对数？
[提示] 负数和0没有对数．
2．根据对数的定义及对数与指数的关系，你能求出loga1，logaa分别等于什么吗？
[提示] 因为a0＝1，所以loga1＝0；因为a1＝a，所以logaa＝1．
3．你能推出对数恒等式a＝N(a>0且a≠1，N
>0)吗？
[提示] 因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得a＝N.
【例3】 (1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x－e－x，则f(ln
6)＝( )
A．－ln
6＋6
B．ln
6－6
C．ln
6＋6
D．－ln
6－6
(2)有以下四个结论：①lg(lg
10)＝0；
②ln(ln
e)＝0；③若10＝lg
x，则x＝100；
④若e＝ln
x，则x＝e2.其中正确的是( )
A．①③
B．②④
C．①②
D．③④
[思路探究] (1)根据奇偶性先将f(ln
6)化为－f(－ln
6)再代入求解．
(2)根据对数的性质逐一判断即可．
(1)C (2)C [(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(ln
6)＝－f(－ln
6)＝－(－ln
6－eln
6)
＝－(－ln
6－6)＝ln
6＋6.
(2)因为lg
10＝1，所以lg(lg
10)＝0，故①正确；
因为ln
e＝1，所以ln(ln
e)＝0，故②正确；
由10＝lg
x，得1010＝x，故x≠100，故③错误；
由e＝ln
x，得ee＝x，故x≠e2，所以④错误．]
1．利用对数性质求解的两类问题的解题方法
(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．对数恒等式a＝N的应用
(1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可．
(2)不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．
3．计算：log2＝________.
－ [log2＝log22eq
\s\up12(－)＝－.]
4．已知log5(log3(log2a))＝0，计算36的值．
[解] 因为log5(log3(log2a))＝0，所以log3(log2a)＝1，即log2a＝3.所以a＝23＝8.所以原式＝(62)＝6＝a2＝64.
1．把对数式x＝lg
2化为指数式为( )
A．10x＝2
B．x10＝2
C．x2＝10
D．2x＝10
A [根据指数式与对数式的互化可知x＝lg
2化为指数式为10x＝2.]
2．若log8x＝－，则x的值为( )
A．
B．4
C．2
D．
A [∵log8x＝－，
∴x＝8eq
\s\up12(－)＝2－2＝，故选A．]
3．若3x＝2，则x等于( )
A．log23
B．log32
C．32
D．23
B [由指数式化为对数式可知x＝log32.]
4．计算2＝________.
20 [2＝22·2log25＝4×5＝20.]
5．在对数式b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是________．
(2,3)∪(3,5) [要使对数式有意义，则需解得2＜a＜5且a≠3.]
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．对数与指数有怎样的关系？
[提示] 指数式与对数式的互化(其中a＞0且a≠1)：
(1)对数运算是指数幂运算的逆运算；
(2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键．
2．对数有哪些性质？
[提示] (1)负数和零没有对数．
(2)1的对数是0.
(3)底数的对数是1．
3．对数概念中，有哪些容易出错的地方？
[提示] 对数式中容易忽视底数与真数的范围．
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8
-4.2.2 对数运算法则
学
习
任
务
核
心
素
养(教师独具)
1．理解对数的运算性质．(重点)2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易错点、重点)
1．通过对数运算法则的学习，培养数学运算核心素养．2．通过对数换底公式的学习，提升逻辑推理素养.
大家都知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算法则中，得出相应对数的运算法则吗？同学们能否大胆猜想一下对数的运算法则呢？
问题：观察下列各式，你能从中猜想出什么结论吗？
log2?2×4?＝log22＋log24＝3；
log3?3×9?＝log33＋log39＝3；
log2?4×8?＝log24＋log28＝5.
[提示] 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么loga?M·N?＝logaM＋logaN成立.
知识点1 对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Ni＞0，i＝1,2，…，k)．
(2)logaMα＝αlogaM.
(3)loga＝logaM－logaN.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．
( )
(2)loga(xy)＝logax·logay.
( )
(3)loga(－2)3＝3loga(－2)．
( )
[提示] (1)√.根据对数的运算性质可知(1)正确；
(2)×.根据对数的运算性质可知loga(xy)＝logax＋logay；
(3)×.公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M应为大于0的数．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．计算log84＋log82等于( )
A．log86
B．8
C．6
D．1
D [log84＋log82＝log8(4×2)＝log88＝1．]
知识点2 换底公式
logab＝(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1)．
特别地：logab·logba＝1(a>0且a≠1，b>0且b≠1)．
如何准确地应用换底公式？
[提示] (1)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择．
(2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题．
如：在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个底数的对数，再根据运算法则进行化简与求值．
(3)要注意换底公式的两个重要推论的应用．
①logab＝；②logambn＝logab，其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.
3.log35·log56·log69＝________.
2 [原式＝··＝＝＝2.]
类型1 利用对数的运算法则求值
【例1】 (对接教材P22例2)(1)计算8eq
\s\up12(－)＋2lg
2－lg
的值为________．
(2)计算：log3＋lg
4＋lg
25＋＝________.
(3)计算：
①lg；
②log2(47×25)；
③(lg
2)2＋lg
20×lg
5.
(1) (2) [(1)原式＝(23)eq
\s\up12(－)＋lg
4－(lg
1－lg
25)＝＋lg(4×25)＝＋2＝.
(2)原式＝＋lg
102＋1＝＋2＋1＝.]
(3)[解] ①lg＝lg
102＝lg
10＝.
②log2(47×25)＝log247＋log225
＝log222×7＋log225＝2×7＋5＝19.
③(lg
2)2＋lg
20×lg
5＝(lg
2)2＋(1＋lg
2)(1－lg
2)
＝(lg
2)2＋1－(lg
2)2＝1．
对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：
对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
计算下列各式的值：
(1)2log23－log2＋log27－7；
(2)log3＋lg
25＋lg
4－log2(log216)．
[解] (1)2log23－log2＋log27－7
＝log29－log2＋log27－2
＝log2－2＝3－2＝1．
(2)原式＝log33＋lg(25×4)－2＝＋2－2＝.
类型2 对数运算法则的综合应用
【例2】 (1)已知log312＝a，试用a表示log324；
(2)设a＝lg
2，b＝lg
3，试用a，b表示lg.
[思路探究] 对数运算?对数运算法则的应用．
[解] (1)log312＝log3(3×4)＝1＋2log32＝a，
所以log32＝，log324＝log3(8×3)
＝1＋3log32＝1＋3×＝.
(2)因为108＝4×27＝22×33，所以
lg＝lg
108＝lg(22×33)
＝lg
22＋lg
33＝lg
2＋lg
3＝a＋b.
(变结论)本例(2)中的条件不变，如何用a，b表示lg
？
[解] lg＝lg
9－lg
5＝2lg
3－(1－lg
2)
＝2b＋a－1．
应用对数求值应注意的三点
(1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式．
(2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法．
(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．
类型3 对数换底公式的应用
1．假设＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，进一步可以得到什么结论？
[提示] 进一步可以得到x＝log35，即log35＝.
2．由尝试与发现1，你能猜测与哪个对数相等吗？如何证明你的结论？
[提示] ＝logab.假设＝x，则logcb＝xlogca，即logcb＝logcax，所以b＝ax，则x＝logab，所以＝logab.
【例3】 已知3a＝4b＝c，且＋＝2，求实数c的值．
[思路探究] 先把指数式化为对数式，再利用换底公式转化为同底的对数运算．
[解] 由3a＝4b＝c，得：a＝log3c，b＝log4c，
所以＝＝logc3，＝＝logc4.
又＋＝2，所以logc3＋logc4＝logc12＝2，
即c2＝12，又3a＝4b＝c>0，所以c＝2.
1．(变条件)将本例中的条件“＋＝2”改为“－＝2”，则实数c又为多少？
[解] 由3a＝4b＝c得：
a＝log3c，b＝log4c，
所以＝＝logc3，＝＝logc4.
又－＝2，
所以logc3－logc4＝logc＝2，
即c2＝，又3a＝4b＝c>0，所以c＝.
2．(变结论)将本例条件改为“已知正数a，b，c满足3a＝4b＝6c”，求证：－＝.
[证明] 设3a＝4b＝6c＝k(k>1)，
则a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，
所以－＝－＝logk6－logk3
＝logk＝logk2，
＝＝logk4＝logk2，
所以－＝.
利用换底公式求值的思想与注意点
1．若2a＝3b(ab≠0)，则log32＝( )
A．
B．
C．ab
D．
A [2a＝3b?alg
2＝blg
3，所以log32＝＝.]
2．(多选题)下列结论正确的是( )
A．loga(x－y)＝logax－logayB．＝logyx
C．loga＝logax－logay
D．loga＝
BC [由对数的运算性质，知AD错误，故BC正确．]
3．若log545＝a，则log53＝( )
A．
B．
C．
D．
D [因为log545＝log5(5×9)＝1＋log59
＝1＋2log53＝a，
所以log53＝.]
4．计算：log25－log2＝________.
1 [原式＝log2＝log22＝1．]
5．若3a＝2，则2log36－log38＝________.
2－a [∵3a＝2，∴a＝log32，∴2log36－log38＝2(log32＋log33)－3log32＝－log32＋2＝2－a.]
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．对数的运算法则有哪些？其适用条件是什么？
[提示] (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；
(2)logaMα＝αlogaM；
(3)loga＝logaM－logaN.
以上各式适用条件是a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，α∈R.
2．换底公式的内容是什么？如何利用换底公式解决问题？
[提示] logab＝(a＞0且a≠1，b＞0，c＞0且c≠1)．
利用换底公式可解决化简、求值与证明问题：
利用换底公式将不同底数的对数式转化成同底数的对数式时，为了运算便捷，应选择合适的底数，若无明确思路，可将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算．另外，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
3．在对数运算性质、换底公式的应用时，注意什么问题？
[提示] 应用对数运算性质、对数换底公式时忽略条件或将公式记忆错误．
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7
-4.2.3 对数函数的性质与图像
学
习
任
务
核
心
素
养(教师独具)
1．理解对数函数的概念、图像及性质．(重点)2．根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数函数．(易混点)3．初步掌握对数函数的图像和性质，会解与对数函数相关的定义域、值域问题．(难点)
1．通过对数函数定义的学习，培养数学抽象素养．2．借助对数函数的图像与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养.
中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认，河南汝阳村李锤发现的“龙骨”实际上是一头距今已有8
000万至1亿年历史的黄河巨龙的肋骨．经过发掘、整理、还原模型，专家推断这条黄河巨龙活着的时候，体重应该在60吨左右，是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”．
同学们，你们知道专家是怎样依据化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗？那就让我们学习一种新的函数模型——对数函数来解决这个问题吧！
问题：(1)考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t＝logeq
\s\do12()P(P为碳14含量)估算出土文物或古遗址的年代t，那么t是P的函数吗？为什么？
(2)函数t＝logeq
\s\do12()P的解析式与函数y＝log2x的解析式有什么共同特征？
[提示] (1)t是P的函数，因为对于P每取一个确定的值按照对应关系f：t＝logeq
\s\do12()P，都有唯一的t值与之相对应，故t是P的函数．
(2)两个函数都是对数的真数作为函数的自变量．
知识点1 对数函数的定义
一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝logx是对数函数．
( )
(2)函数y＝2log3x是对数函数．
( )
(3)函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞)．
( )
[提示] (1)×.对数函数中自变量x在真数的位置上，且x>0，所以(1)错；
(2)×.在解析式y＝logax中，logax的系数必须是1，所以(2)错；
(3)×.由对数式y＝log3(x＋1)的真数x＋1>0可得x>－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以(3)错．
[答案] (1)× (2)× (3)×
知识点2 对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的性质与图像
定义
y＝logax(a＞0且a≠1，x＞0)
图像
a＞1
0＜a＜1
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
增函数
减函数
过定点
图像过点(1,0)，即loga1＝0
函数值特点
x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)
x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝logax与y＝logeq
\s\do12()x的图像关于x轴对称
函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图像位置有何影响？
[提示] 观察图像，总结变化规律：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图像越靠近x轴，0(2)左右比较：比较图像与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
2.下列函数中，定义域相同的一组是( )
A．y＝ax与y＝logax(a>0且a≠1)
B．y＝x与y＝
C．y＝lg
x与y＝lg
D．y＝x2与y＝lg
x2
C [选项A中，y＝ax(a＞0且a≠1)的定义域为R，y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}；
选项B中，y＝x的定义域为R，y＝的定义域为{x|x≥0}；
选项C中，函数的定义域均为{x|x>0}；
选项D中，y＝x2的定义域为R，y＝lg
x2的定义域为{x|x∈R且x≠0}．]
3.函数y＝x＋a与函数y＝logax的图像可能是( )
A B C D
C [因为a为对数函数y＝logax的底数，所以a>0且a≠1．同时a为直线y＝x＋a在y轴上的截距，所以排除A、D．当a>1时，y＝logax为增函数，y＝x＋a在y轴上的截距大于1，所以排除B．]
类型1 对数函数概念的应用
【例1】 (1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0且a≠1)；③y＝logeq
\s\do12((－1))
x；④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；⑥y＝logeq
\s\do12()x，其中是对数函数的为( )
A．③④⑤
B．②④⑥
C．①③⑤⑥
D．③⑥
(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝______.
(1)D (2)4 [(1)①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④中log3x前的系数不是1，所以不是对数函数；⑤中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数．故③⑥正确．
(2)由于y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则有解得a＝4.]
如何判断一个函数是对数函数？
[提示]
1．(1)函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－8)＝________.
(1)1 (2)－3 [(1)由a2－a＋1＝1解得a＝1或a＝0，
又a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1．
(2)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－8)＝－f(8)＝－log28＝－3.]
类型2 对数函数的定义域、值域问题
【例2】 (1)(对接教材P27例3)求下列函数的定义域：
①y＝；
②f(x)＝；
③y＝log(2x－1)(－4x＋8)．
(2)求下列函数的值域：
①y＝log2(x2＋4)；②y＝logeq
\s\do12()(3＋2x－x2)．
[思路探究] (1)对数函数的性质?构建不等式组?解不等式组．
(2)利用函数的单调性及真数取值范围求解．
[解] (1)①由题意得
即也即x≤1．
故函数y＝的定义域为(－∞，1]．
②由得x<4且x≠3.
故函数f(x)＝的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．
③由题意得解得
故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为∪(1,2)．
(2)①因为t＝x2＋4≥4，且y＝log2t为增函数，
所以y＝log2(x2＋4)≥log24＝2.
即函数y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
②因为t＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.
且y＝logeq
\s\do12()t为减函数，
所以logeq
\s\do12()(3＋2x－x2)≥logeq
\s\do12()4＝－2.
即函数y＝logeq
\s\do12()(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．
(变条件)把本例(1)①函数变成“y＝eq
\r(logeq
\s\do12()?2－x?)”，结果如何？
[解] 由题意可知eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(logeq
\s\do12()?2－x?≥0，,2－x>0，))
所以eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(logeq
\s\do12()?2－x?≥logeq
\s\do12()1，,2－x>0，))
所以即1≤x<2.
故函数y＝eq
\r(logeq
\s\do12()?2－x?)的定义域为[1,2)．
1．求与对数函数有关的定义域时应注意的两点
(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法，如分式分母不为零，偶次根式被开方式大于或等于零等．
(2)遵循对数函数自身的要求：一是真数大于零；二是底数大于零且不等于1；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式．
提醒：函数的定义域最后的结果一定要用集合或区间的形式表示．
2．求函数值域的方法
(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．
(2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值．
类型3 对数函数的图像及性质
1．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像过哪一定点？函数f(x)＝loga(2x－1)＋2(a>0且a≠1)的图像又过哪一定点呢？
[提示] 对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像过定点(1,0)；在f(x)＝loga(2x－1)＋2中，令2x－1＝1，即x＝1，则f(1)＝2，所以函数f(x)＝loga(2x－1)＋2(a>0且a≠1)的图像过定点(1,2)．
2．从左向右，对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像呈上升趋势还是下降趋势？其图像是上凸还是下凸？
[提示] 当00且a≠1)的图像从左向右呈下降趋势，此时其图像下凸；当a>1时，对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像从左向右呈上升趋势，此时其图像上凸．
3．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图像，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？
[提示] 作直线y＝1(图略)，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小，必有a4>a3>1>a2>a1>0.
【例3】 (1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1
B．a>1,0C．01
D．0(2)已知函数f(x)＝|lg
x|，若0A．(2，＋∞)
B．[2，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．[3，＋∞)
[思路探究] (1)已知对数函数的图像?图像平移规律求解．
(2)作对数函数图像?图像变换?构建关于a，b的方程?研究函数单调性求解．
(1)D (2)C [(1)∵函数单调递减，∴01，∴c>0，
当x＝0时，loga(x＋c)＝logac>0，即c<1．
∴0(2)因为f(a)＝f(b)，所以|lg
a|＝|lg
b|，
所以a＝b(舍去)或b＝，所以a＋2b＝a＋，又0由函数的性质知f(a)在a∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)＝1＋＝3.即a＋2b的取值范围是(3，＋∞)，故选C．]
1．画对数函数图像时要注意的问题
(1)明确图像位置：对数函数图像都在y轴右侧，当x趋近于0时，函数图像会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
(2)强化讨论意识：画对数函数图像之前要对底数a的取值范围是a>1，还是0(3)牢记特殊点：对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像经过点(1,0)，(a,1)和.
2．常见的函数图像的变换技巧
(1)y＝f(x)y＝f(|x|)．
(2)y＝f(x)y＝|f(x)|.
(3)y＝f(x)y＝f(－x)．
(4)y＝f(x)y＝－f(x)．
2．求函数f(x)＝ln(x2＋2x－3)的增区间．
[解] 由x2＋2x－3＞0得，x＜－3或x＞1，所以定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．令f(x)＝ln
u，u＝x2＋2x－3.因为y＝ln
u为增函数，u＝x2＋2x－3在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以f(x)＝ln(x2＋2x－3)的增区间为(1，＋∞).
1．函数f(x)＝－lg(1－x)的定义域为( )
A．[－2,1]
B．[－2,1)
C．(－2,1)
D．[－2，＋∞)
B [?－2≤x＜1．]
2．已知对数函数的图像过点M(9,2)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝log2x
B．y＝log3x
C．y＝logeq
\s\do12()x
D．y＝logeq
\s\do12()x
B [设对数函数f(x)＝logax(x＞0，a＞0且a≠1)，
因为对数函数的图像过点M(9,2)，
所以2＝loga9，所以a2＝9，a＞0，
解得a＝3.
所以此对数函数的解析式为y＝log3x.]
3．对数函数y＝logax与y＝logbx的图像如图，则( )
A．a＜0，b＜0
B．a＜0，b＞0
C．0＜a＜1，b＞1
D．0＜a＜1,0＜b＜1
C [由对数函数的图像与性质的关系可知，0＜a＜1，b＞1．]
4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
A [∵3x＞0，∴3x＋1＞1．
∴log2(3x＋1)＞0.
∴函数f(x)的值域为(0，＋∞)．]
5．函数y＝log(3a－1)x是(0，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________．
[由题意可得0<3a－1<1，
解得所以实数a的取值范围是.]
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．如何判断一个函数是对数函数？
[提示] 判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a＞0且a≠1)这种形式．
2．本节课常见的易错误区是什么？
[提示] 求与对数函数有关的定义域时漏掉底数大于零且不等于1的规定，或漏掉真数大于0的限制条件．
(教师独具)
对数的应用
为研究某种病毒的传播规律及其治疗和预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的总数与天数的关系记录如下表．已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡，但注射某种药物，可杀死某体内98%的病毒细胞．
天数x
病毒细胞总数y
1
1
2
2
3
4
4
8
5
16
6
32
7
64
…
…
1．y与x的函数关系式是什么？
[提示] 由表中数据可知：当x＝1时，y＝1＝20；
当x＝2时，y＝2＝21；当x＝3时，y＝4＝22；……
故可得y与x的函数关系式为y＝2x－1(其中x∈N
)．
2．第几天时该种病毒细胞在小白鼠体内的病毒细胞超过(212＋10)个？
[提示] 令2x－1＝212＋10，得13＜x＜14，故第14天时小白鼠体内的病毒细胞超过(212＋10)个．
3．若在第12天时注射这种药物，则小白鼠体内还剩多少个病毒细胞？(结果保留整数)
[提示] 第12天时，小白鼠体内的病毒细胞有211＝2
048个，所以体内还剩余的病毒细胞有2
048×(1－98%)＝40.96≈41(个)．
4．为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次注射该种药物最迟应在何时？(精确到天；参考数据：lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1)
[提示] 由题意知病毒细胞总数y与天数x的函数关系式为y＝2x－1(其中x∈N
)，
则由2x－1≤108，两边取以10为底的对数得(x－1)lg
2≤8，从而x≤＋1≈27.58，
即第一次注射该种药物最迟应在第27天．
5．第二次注射该种药物最迟应在何时，才能维持小白鼠的生命？(精确到天；参考数据：lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1)
[提示] 由第4问知，注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞有226×2%个，
再经过x天后小白鼠体内病毒细胞有226×2%×2x个，由题意226×2%×2x≤108，
两边取以10为底的对数得26lg
2＋lg
2－2＋xlg
2≤8，解得x≤－27≈6.22.
故再经过6天必须注射药物，即第二次注射该种药物应在第33天．
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1
-第4章
指数函数、对数函数与幂函数
(教师独具)
类型1 指数、对数的运算问题
解决这类问题首先要熟练掌握指数式和对数式的积、商、幂、方根的运算法则，熟练掌握各种变形．如Neq
\s\up12()＝a，ab＝N，logaN＝b(其中N>0，a>0，a≠1)是同一数量关系的不同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运算．
【例1】 (1)若xlog23＝1，则3x＋9x的值为( )
A．6
B．3
C．
D．
(2)已知2a＝5b＝c，＋＝1，则c＝________.
(1)A (2)10 [(1)由xlog23＝1得x＝log32，所以3x＋9x＝3＋(3)2＝2＋4＝6.
(2)由2a＝5b＝c，得a＝log2c，b＝log5c，＋＝＋＝logc2＋logc5＝logc10＝1，所以c＝10.]
1．求值：(1)eq
\s\up12()－(－9.6)0－eq
\s\up12(－)＋(1.5)－2；
(2)log25·log45－logeq
\s\do12()3－log24＋5.
[解] (1)原式＝eq
\s\up12()－1－eq
\s\up12(－)＋
＝－1－＋＝－1－＋＝.
(2)原式＝－log52·log25＋log33－2log22＋2
＝－＋1－2＋2＝.
类型2 函数图像与性质的应用
指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的函数，它们的图像和性质是考查的重点，应熟练掌握图像的画法及形状，熟记性质，特别要注意指数函数与对数函数的底数在取不同值时，对图像和性质的影响．
【例2】 当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2A．(0,1) B．(1,2) C．(1,2] D．
C [设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2当a>1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2.
∴loga2≥1，∴12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝.
(1)画出函数f(x)的图像；
(2)根据图像写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
[解] (1)先作出当x≥0时，f(x)＝的图像，利用偶函数的图像关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图像．
(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．
类型3 数的大小比较问题
比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较．
【例3】 (1)已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是( )
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．b＞c＞a
D．c＞b＞a
(2)设a＝logeq
\s\do12()2，b＝logeq
\s\do12()3，c＝，则( )
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c
(1)C (2)D [(1)∵a＝log20.3＜log21＝0，b＝20.3＞20＝1,0＜c＝0.30.2＜0.30＝1，∴b＞c＞a.故选C．
(2)∵a＝logeq
\s\do12()2＜0，b＝logeq
\s\do12()3＜0，logeq
\s\do12()2＞logeq
\s\do12()3，logeq
\s\do12()3＞logeq
\s\do12()3，c＝＞0.∴b＜a＜c.故选D．]
3．已知0＜a＜1，x＝loga
＋loga
，y＝loga5，z＝loga
－loga
，则( )
A．x＞y＞z
B．z＞y＞x
C．y＞x＞z
D．z＞x＞y
C [依题意，得x＝loga
，y＝loga，z＝loga
.又0＜a＜1，＜＜，因此有loga
＞loga
＞loga
，即y＞x＞z.]
类型4 分类讨论思想
所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全面，明确分类的标准，不重不漏地分类讨论．在初等函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据函数的图像和性质，依据函数的单调性分类讨论，使得求解得以实现．
【例4】 已知函数f(x)＝x(m∈N)为偶函数，且f(3)(1)求m的值，并确定f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝loga[f(x)－ax](a>0，且a≠1)在[2,3]上为增函数，求实数a的取值范围．
[思路探究] (1)结合f(3)(2)由g(x)为增函数，结合a讨论，求出a的取值范围．
[解] (1)由f(3)∴<1＝.
∵y＝为减函数，
∴－2m2＋m＋3>0，解得－1∵m∈N，∴m＝0或1．
当m＝0时，f(x)＝x＝x3为奇函数，不合题意；
当m＝1时，f(x)＝x＝x2为偶函数．
综上，m＝1，此时f(x)＝x2.
(2)由(1)知，当x∈[2,3]时，g(x)＝loga(x2－ax)．
①当00.
∴无解；
②当a>1时，y＝logau在其定义域内单调递增，要使g(x)在[2,3]上单调递增，则需u(x)＝x2－ax在[2,3]上单调递增，且u(x)>0.
∴解得a<2.
∴实数a的取值范围为(1,2)．
4．设a>0且a≠1，若P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，试比较P，Q的大小．
[解] 当0又当0∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，即P>Q；
当a>1时，有a3>a2，即a3＋1>a2＋1．
又当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，
∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，即P>Q.
综上可得P>Q.
类型5 函数与方程思想
【例5】 若函数f(x)＝10|lg
x|－a有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A．a<1
B．a>1
C．a≤1
D．a≥1
B [若函数f(x)＝10|lg
x|－a有两个零点，
则10|lg
x|－a＝0有两个实数根，即10|lg
x|＝a有两个实数根，
转化为函数y＝10|lg
x|与y＝a图像有两个不同的交点，为此只要画出y＝10|lg
x|的图像即可．
当x≥1时，lg
x≥0，y＝10|lg
x|＝10lg
x＝x；
当0x<0，y＝10|lg
x|＝10－lg
x＝，
所以y＝
这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出，如图．依题意，得a>1．]
5．若关于x的方程|x－2|(x＋1)－m＝0至少有两个实数根，则实数m的取值范围是________．
[若关于x的方程|x－2|(x＋1)－m＝0至少有两个实数根，则|x－2|(x＋1)＝m至少有两个实数根，即函数y＝|x－2|(x＋1)与y＝m的图像至少有两个交点．
当x≥2时，即x－2≥0时，y＝(x－2)(x＋1)＝－，
当x<2时，即x－2<0时，
y＝－(x－2)(x＋1)＝－＋，
所以y＝eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))－\f(9,4)，x≥2，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋\f(9,4)，x<2.))
这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出，如图．依题意，得0≤m≤.]
(教师独具)
1．(2020·全国卷Ⅰ)设alog34＝2，则4－a＝( )
A．
B．
C．
D．
B [法一：因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B．
法二：因为alog34＝2，所以－alog34＝－2，所以log34－a＝－2，所以4－a＝3－2＝＝，故选B．]
2．(2020·全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t
)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t
约为(ln19≈3)( )
A．60
B．63
C．66
D．69
C [由题意可知，当I(t
)＝0.95K时，＝0.95K，即＝1＋e－0.23(t
－53)，e－0.23(t
－53)＝，e0.23(t
－53)＝19，∴0.23(t
－53)＝ln
19≈3，∴t
≈66.故选C．]
3．(2020·全国卷Ⅲ)设a＝log32，b＝log53，c＝，则( )
A．a＜c＜b
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
A [
∵23＜32，∴2＜3eq
\s\up12()，∴log32＜log33eq
\s\up12()＝，∴a＜c.
∵33＞52，∴3＞5eq
\s\up12()，∴log53＞log55eq
\s\up12()＝，∴b＞c，∴a＜c＜b，故选A．]
4．(2020·天津高考)设a＝30.7，b＝，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
D [由题知c＝log0.70.8<1，b＝＝30.8，易知函数y＝3x在R上单调递增，所以b＝30.8>30.7＝a>1，所以c5．(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)＞0
B．ln(y－x＋1)＜0
C．ln|x－y|＞0
D．ln|x－y|＜0
A [由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，即2x－<2y－.设f(x)＝2x－，则f(x)0，所以y－x＋1>1，所以ln(y－x＋1)>0，故选A．]
6．(2020·北京高考)函数f(x)＝＋ln
x的定义域是________．
(0，＋∞) [函数f(x)＝＋ln
x的自变量满足∴x＞0，即定义域为(0，＋∞)．]
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