(共23张PPT)
1.全等三角形的判定方法有哪些？它有什么性质？
其中哪些是公理？
2.几何证明的步骤是什么？
3.什么是辅助线，有什么作用？应注意哪些问题？
为了证明的需要在原图上添加的线叫做辅助线
辅助线通常画成虚线
辅助线是已知与未知的桥梁。
回顾与思考
分析问题的常用方法有哪些
（1）综合法（由因导果）：由条件可知什么
（2）分析法（执果索因）：要证结论成立，只 要证什么即可
（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用。
还要懂得从复杂图形中抽象出基本图形
回顾与思考
如图，在△ABC中，
（1）如果AB=AC，可得 ,
理由 .
（2）如果∠B=∠C，可得 ,
理由 .
∠B=∠C
等边对等角
AB=AC
等角对等边
预习检测
已知：AB与CD相交于点O，
∠A=∠C，OA=OC，
求证：△AOD≌△COB.
∴ △AOD≌△COB（ ）.
证明：在△AOD与△COB中，
∠AOD=∠COB
已知
OA=OC
已知
对顶角相等
A.S.A
隐含条件：
对顶角相等
预习检测
已知：如图，在△AEC和△ADB中，AE=AD，AC=AB，求证：△AEC ≌ △ADB。
____=____(已知)
∠A= ∠A( 公共角)
_____=____(已知)
∴ △AEC≌△ADB（ ）
A
E
B
D
C
AE
AD
AC
AB
SAS
解：在△AEC和△ADB中
隐含条件：
公共角相等
预习检测
已知：如图，AB=AC，BD=CD.
求证：△ABD≌△ACD.
证明：在△ABD与△ACD中，
∴ △ABD≌△ACD（ ）.
AB=AC
BD=CD
AD=AD
已知
已知
公共边
S.S.S
隐含条件：
公共边相等
预习检测
已知：如图，AE=AD，∠B=∠C.
求证：△ABD≌△ACE.
∴ △ABD≌△ACE（ ）.
证明：在△ABD和△ACE中，
AD=AE
∠B=∠C
∠A=∠A
已知
公共角
A.A.S
隐含条件：
公共角相等
预习检测
（ 已知 ）
（ 三角形内角和定理 ）
（等量代换 ）
（ 已知 ）
（ ASA ）
例1. 求证：如果一个三角形的两角及其中一角的对边与另一个三角形的两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等。
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，
∠B=∠B′
∠C=∠C′
求证：△ABC ≌ △A′B′C′。
如图，点D、E分别在AB、AC上，AB=AC，DE∥BC
求证：BD=CE
证明：∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵DE∥BC
∴∠1=∠B ∠2=∠C
∴∠1=∠2
∴AD=AE
∵AB=AC
∴ AB－AD＝AC－AE
即BD=CE
（已知）,
（等边对等角）.
（已知）,
（两直线平行，同位角相等）.
（等量代换）.
（等角对等边）.
（已知）,
（等式性质），
例2
A
C
B
D
例3 . 已知：如图，AB=AC，DB=DC.
求证：∠B=∠C.
A
C
B
D
例3. 已知：如图，AB=AC，DB=DC.
求证：∠B=∠C.
1
2
3
4
变式1 已知：如图，AB=AC，∠B=∠C.
求证： DB=DC.
A
C
B
D
C
B
D
A
变式2 已知：如图，AB=AC，∠B=∠C.
求证： DB=DC.
思考
刚刚我们证明两条线段相等，或者两个角相等，用了哪些方法？
交流与发现
注意一些常用方法和规律性的总结
（1）要证明两条线段相等、两个角相等，一般可以与两个全等三角形或者一个等腰三角形联系起来(也可以通过线段和差或角的和差来实现）.
（2）有时全等三角形或等腰三角形并不存在，则需添置辅助线构造出相应的三角形.
C
E
A
1 . 已知：如图，PB=PC，CE、BD相交于点P，∠BDA=∠CEA.
求证：AB=AC.
B
D
P
3
4
练 习
2. 已知：AB和CD相交于点O，OA=OD,OC=OB.
（ 已知 ）
（ 对顶角相等 ）
（ 已知 ）
（ SAS ）
3.求证：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。
已知：点P在线段AB的垂直平分线上
求证：PA=PB
证明：
（1）当点P在线段AB上时，PA=PB
（2）如图，当点P不在线段AB上时，
B
P
A
C
4.已知：点Ｄ、Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＥＣ，ＡＤ＝ＡＥ
求证：ＡＢ＝ＡＣ
∵∠ADＢ+ ∠1=180°，
∠AEC+ ∠2=180°（平角的定义）,
证明： ∵ＡＤ＝ＡＥ（已知）,
∴∠１＝∠２（等边对等角）.
∴ ∠ADB＝ ∠AEＣ
（等角的补角相等）.
在△ADB和△AEC中,
AD=AE（ 已知）,
∠ADB＝∠AEC（已证）,
ＢＤ=ＥＣ（已知）,
∴△ADB≌△AEC （S.A.S）.
∴ＡＢ＝ＡＣ（全等三角形对应边相等）.
A
C
B
D
O
已知：如图，AC与BD相交于点O，
OA=OD，∠OBC=∠OCB.
由条件你可以得到哪些结论？
求证：AB=DC.
1
2
课下思考
小 结
“ASA”, “ AAS”, “SSS”, “SAS”
利用三角形全等可以得到线段相等或角相等.
判定三角形全等的方法有:
AAS：有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等
证明两条线段（或角）相等的方法：（1）先观察要证明的线段（或角）在那两个可能全等的三角形中，在证明这两个三角形全等；（2）若图中没有全等三角形，可以把要证明的线段（或角）用和它相等的线段（或角）代换，再证明它们所在的三角形全等；（3）如果没有相等的线段（或角）代换，可设法作辅助线构造全等三角形。
作 业
习题11.5 A组
第1题, 第2题, 第3题.(共23张PPT)
1.如图，在△ABC中，
（1）如果AB=AC，可得 ,
（2）如果∠B=∠C，可得 ,
∠B=∠C
AB=AC
预习检测
2.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是 ；
3.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是 。
4.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为____ ___。
A
B
C
10 cm 或 11 cm
19 cm
35°，35°
1.进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。
2.能用“公理”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
学习目标
4.这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实
出发，对它们进行证明？
1.我们学习了证明的相关知识，你还记得我们依据
哪些基本事实，证明了哪些定理？你能说出来吗？
回顾与思考
2.我们已经学习过等腰三角形，我们来回忆一下
下列几个问题：
(1)什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）
(2)等腰三角形有哪些性质？
等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高
互相重合（等腰三角形的三线合一）。
3.上述性质你是怎么得到的？
轴对称的性质
合作与探究
证明：等腰三角形的两个底角相等
（等边对等角）
已知：如图,在△ABC中,AB=AC.
求证：∠B=∠C
分析：常见辅助线做法
（1）作顶角的平分线
（2）作底边上的高；
（3）作底边上的中线；
A
B
C
D
1
2
证明：等腰三角形的两个底角相等
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．
求证：∠B＝∠C．
A
B
C
D
怎么想
怎么写
要证∠B＝∠C．
只需证△ABD≌ △ACD
只需有 AB＝AC
∠ BAD＝ ∠CAD
AD＝ AD
合作与探究
证明：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D
D
根据以上证明，我们还可以得到什么结论？
结论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。
Ａ
Ｂ
Ｃ
已知：
求证：
△ABC中，AB＝AC
∠Ｂ＝ ∠Ｃ
即得到AD⊥BC和BD=CD
AB = AC (已知)
∠BAD = ∠CAD (已证)
AD = AD (公共边)
∴ △BAD≌△CAD(SAS)
∴ ∠ B = ∠ C (全等三角形对应角相等)
∴ ∠BAD = ∠CAD (角平分线定义)
在△BAD与△CAD中
∵
Ａ
Ｂ
Ｃ
已知：△ABC中，AB＝AC
求证：∠Ｂ＝ ∠Ｃ
证明：作BC边上的中线 AD
D
AB = AC (已知)
BD = CD （已证）
AD = AD (公共边)
∴ △BAD≌△CAD( SSS )
∴ ∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)
∴ BD = CD (中线定义)
∵在 △BAD与 △CAD中
即得到∠BAD=∠CAD和AD⊥BC
根据以上证明，我们还可以得到什么结论？
等腰三角形底边上的中线平分顶角并且
垂直于底边。
Ａ
Ｃ
已知：△ABC中，AB＝AC
求证：∠Ｂ＝ ∠Ｃ
证明：过点A作AD⊥BC交BC于点D
D
AB = AC (已知)
AD = AD (公共边)
∴ △BAD≌△CAD( HL )
∴ ∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)
∴ ∠BDA = ∠CDA = 90° (垂直定义)
∵在Rt △BAD与Rt △CAD中
Ｂ
即得到∠BAD=∠CAD和BD=CD
根据以上证明，我们还可以得到什么结论？
等腰三角形底边上的高平分底边并且平分顶角。
C
B
A
等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两个底角相等。
在△ABC中，
∵ AC=AB
（ ）
∴ ∠B=∠C ( ）
已知
等边对等角
通过证明我们发现:等腰三角形的两个底角相等是真命题。可以作为证明其他命题的依据。
符号表示：
通过证明我们不仅发现等要三角形的两底角相等成立，而且还得到如下结论也是成立的成立的。
等腰三角形的顶角平分线﹑底边上的中线﹑底边上的高互相重合(简称“三线合一”).
交流与发现
这个结论是真命题，我们把它作为证明其他命题的依据，并且把它叫做等腰三角形的性质定理！
A
C
B
D
A
C
B
D
∥
∥
⑵∵AB=AC,
图⑵
图⑶
∟
1
2
∥
A
C
B
D
1
2
性质定理2：等腰三角形的顶角平分线﹑底边上的中线﹑底边上的高互相重合(简称“三线合一”).
∟
符号语言
⑴∵AB=AC,
∴AD⊥BC,
BD=CD.
∠1=∠2,
∴AD⊥BC
BD=CD,
∠1=∠2.
⑶∵AB=AC,
AD⊥BC
∴BD=CD,
∠1=∠2.
图⑴
∟
∥
1
2
写出“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题，如何证明这个逆命题是正确的？
要求：（1）写出它的逆命题：＿＿＿＿＿＿。
（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明。
交流与发现
如果一个三角形的两个角相等, 那么这两个角所对的边也相等.
(简称“等角对等边”).
A
B
C
求证： AB=AC.
已知：如图,在△ABC中,
∠B=∠C.
D
证明：作AD⊥BC,垂足为D,
∠ADB=∠ADC=90°(已证)，
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD (AAS)
∠B=∠C (已知)，
AD=AD (公共边)，
∴AB=AC
(全等三角形的对应边相等)
∟
如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称等角对等边）
则∠ADB=∠ADC=90°(辅助线作法)，
等腰三角形的判定定理:
如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称等角对等边）
C
B
A
符号表示：
在△ABC中，
∵ ∠B=∠C
（ ）
∴ AC=AB
( 等角对等边）
已知
例题解析
例1.已知：如图： ∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC .
求证：AB =AC .
A
B
C
D
E
证明：
（ 已知 ）
（角平分线定义）
（ 已知 ）
（二直线平行，同位角相等）
（二直线平行，内错角相等）
（ 等量代换 ）
（ 等角对等边 ）
例2.求证：等边三角形的每个内角都等于60°.
A
B
C
证明：
（ 已知 ）
（等要三角形的两个底角相等 ）
（ 等式的性质 ）
（三角形的内角和定理）
（ 等量代换 ）
（ 等式的性质 ）
如果一个三角形的每个内角都等于600 ，那么这个三角形是等边三角形。
等边三角形判定定理：如果一个三角形的两个内角都等于600 ，那么这个三角形是等边三角形。
逆命题是真命题：
逆命题减少一个等于600角后,仍然是真命题.
交流与探索
思考：等边三角形的每个内角都等于600的逆命题是什么？这个逆命题是真命题吗？
你能把这个逆命题的条件适当减少,使它仍然是真命题吗？
练 习
D
A
B
C
E
（2）
C
B
A
D
（1）
9
名 称 图 形 概 念 性质与边角关系 判 定
等
腰
三
角
形
A
B
C
有两边相等的三角形是等腰三角形。
2.等边对等角,
3. 三线合一。
4.是轴对称图形.
2.等角对等边,
1.两边相等。
1.两腰相等.
小 结
小 结
在等腰三角形中，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高是常用的辅助线，通过添画辅助线，把一个等腰三角形分成一对全等三角形。
等腰三角形的性质定理是一个三角形中由两边相等证明两角相等的依据；等腰三角形的判定定理，是一个由两角相等证明两边相等的依据。
证明中常用的一种思考方法：从需要证明的结论出发，逆推出要使结论成立所需要的条件，再把这样的“条件”看作“结论”，一步一步逆推，直至归结为已知条件。
等边三角形的性质定理：等边三角形的每个内角都等于600.
等腰三角形的判定方法有下列几种： 。
等腰三角形的判定定理与性质定理的区别是 。
运用等腰三角形的判定定理时，应注意 。
①定义，②判定定理
条件和结论刚好相反。
在同一个三角形中
作 业
P134
第1题, 第2题,
1.书面作业：
2.预习作业：
预习全等三角形及直角三角形的性质(共10张PPT)
2.几何证明的步骤是什么？
3.什么是辅助线，有什么作用？应注意哪些问题？
为了证明的需要在原图上添加的线叫做辅助线
辅助线通常画成虚线
辅助线是已知与未知的桥梁。
回顾与思考
1.判定三角形全等的方法有:
“ASA”, “ AAS”, “SSS”, “SAS”
4.勾股定理及其逆定理是什么？
预习检测
1.如图，在矩形ＡＢＣD中，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边ＢＣ上一点F处，ＡＢ＝8cm，CE=3cm，求BF的长度
2.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC三边的大小关系？
A
B
C
（1）
（2）
交流与发现
回答下面的问题,并于同学交流.
（1）一个直角三角形的两条直角边与另一个直角三角形的两条直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
（2）一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
A
B
C
A
B
C
（ 勾股定理 ）
（ 已知 ）
（ 等量代换 ）
（ SSS ）
斜边直角边（HL）定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。仅适用于直角三角形
思考：直角三角形全等的判定方法有哪些？
例1.求证：到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分上。
（ 公共边 ）
（ 全等三角形的对应边相等 ）
（2）当P点在线段AB上时
（ 垂直平分线的定义 ）
例2.
A
E
F
C
D
B
(1)图中游击队全等三角形？请一一列出；
(2)选择一对你认为全等的三角形进行证明。
练 习
2.
(1)
(2)
3.
C
B
A
D
E
(3)
练 习
4.
C
E
A
B
D
F
小 结
