2.3.3点到直线的距离公式课件-2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册20张PPT

2.3.3点到直线的距离公式
新知导入
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 如图所示，渔民们要将船推到海里，请同学们帮助设计一下：在理论上，怎样设计能使这条路最短？
新知导入
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}建模
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}回顾旧知：在初中，“点到直线的距离”定义是什么？
提示：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}直线外一点到直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}如图，点A到直线l的距离是AC.
思考：
给定平面直角坐标系内一点的坐标和直线的方程，如何求点到直线的距离？
新知讲解
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}探究
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}如图
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}已知点?????????????????,??????????，直线 l ：Ax + By + C=0，如何求点P到直线 l 的距离？
合作探究
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}方法一：（坐标法）利用两点间的距离公式
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}如图：
设????≠????，?????≠????. 由????????⊥???? ,直线l 的斜率为??????????，
?
可得l 的垂线段PQ的斜率为???????? ，
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}因此，PQ的方程为：
?????????????=?????????????????????
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}即 ?????????????????=????????????????????????? .
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}解方程组
&?????????+??????????+?????==????&?????????????????=?????????????????????????
?
①
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}即垂足Q的坐标为
??????????????????????????????????????????????????+???????????????????????????+?????????????????????????????????+????????
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}于是
????????=??????????????????????????????????????????????????+?????????????????????+?????????????????+?????????????????????????????????+?????????????????????=????????????+????????????+????????????????+????????=????????????+????????????+????????????+?????????
?
合作探究
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}因此，点?????????????????,??????????到直线 l ：Ax + By + C=0的距离
????=????????0+????????0+????????2+????2
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立.
合作探究
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}方法二：用设而不求法推导
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}在上述方法中，若设垂足Q的坐标为（x, y），则
????????=?????????02+?????????02?
?
②
对于②式，你能给出它的几何意义吗？
结合方程组①
能否直接求出(?????????????)????+(?????????????)????，进而求出????????呢？
?
请你试一试！
&?????????+??????????+?????==????&?????????????????=?????????????????????????
?
合作探究
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}方法二：用设而不求法推导
&?????????+??????????+?????==????&?????????????????=?????????????????????????
?
①
????????=?????????02+?????????02?
?
②
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}提示：
由方程组
&?????????+??????????+?????==????&?????????????????=?????????????????????????
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}得
&?????????????????+??????????????????=?????????????+????????????+??????????????&???????????????????????????????????=?????????????????????????????????????????????????
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}将(1)(2)两边平方后相加，得
?????????+?????????????????????????+????????+?????????????????????????=????????????+????????????+?????????
?
所以
?????????????????+?????????????????=????????????+????????????+?????????????????+????????
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}所以
????????=?????????02+?????????02=????????0+????????0+????????2+????2
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}可以验证，当A=0，或B=0时，公式仍然成立.
合作探究
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}方法三：向量法
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}如图,
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}点P到直线 l 的距离，就是向量????????的模.
设M（x, y）是直线 l 上的任意一点，????是与直线 l 的方向向量垂直的单位向量，则????????是????????在????上的投影向量
?
????????=?????????????
?
下面，利用直线 l 的方程得到与 l 的方向向量垂直的单位向量????.
?
合作探究
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}方法三：向量法
设?????????????????,??????????，??????????????????,????????是直线
l ：Ax + By + C=0上的任意两点，
?
则????????????????=（??????????????????,?????????????????）是直线 l 的方向向量.
?
????????????+????????????+????=???? , ????????????+????????????+????=???? 两式相减,
?
得 ????（?????????????????)+????(?????????????????)=???? .
?
因为，向量（A，B）与向量（??????????????????，?????????????????)垂直.
?
向量 ????????????+????????（????，????）是与直线l 的方程向量垂直的一个单位向量.
?
取 ????=????????????+????????（????，????）,
?
从而,
?????????????=（??????????????，??????????????????????????+????????（????，????）=????????????+????????????（?????????????+?????????????????=????????????+????????????????+??????????????????????????????????
?
课堂练习
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}方法三：向量法
因为M（x, y）在直线 l 上，所以 Ax + By + C=0,
所以 Ax + By =-C
得
?????????????=????????????+???????????????????????????????????????
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}因此,
????????=????????=?????????????=????????????+????????????+????????????+?????????
?
?????????????=（??????????????，??????????????????????????+????????（????，????）=????????????+????????????????+??????????????????????????????????
?
合作探究
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}方法四：用三角形面积公式推导
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}如图
????=????????????????????????
?
提示：
当A、B≠???? 时，分别作平行于x轴，y轴的两条直线，
?
分别交直线 Ax + By + C=0 于点
????(?????????????+????????,????????)
?
?????(?????????,?????????????+????????)
?
则
????????=????????+????????????+????????
?
????????=????????+?????????????+????????
?
????????=????????????+????????????
?
合作探究
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}总结：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 已知一个定点?????????????????,??????????，一条直线 l ：Ax +By + C=0，则定点P到这条直线 l 的距离为
????=????????????+????????????+????????????+????????
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}①分子是P点代入直线方程；
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}②分母是直线未知数x, y系数平方和的算术跟；
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}③运用此公式时要注意直线方程必须是一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}④当点????????在直线上时，点????????到该直线的距离为0，公式仍然适用。
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}⑤直线方程 Ax +By + C=0中，A=0或B=0公式也成立。但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可以用数形结合求解.
合作探究
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}几种特殊情况：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}1. 当点????????为原点时，?????=|????|????????+????????
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}2. 点?????????????????,??????????到x轴的距离?????=|????????|
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}3. 点?????????????????,??????????到y轴的距离?????=|????????|
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}4. 点?????????????????,??????????到与x轴平行的直线y=b(????≠????)的距离?????=|?????????????|
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}5. 点?????????????????,??????????到y轴平行的直线x=a(????≠????)的距离?????=|?????????????| .
合作探究
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}例5 求点P（-1，2）到直线 l ：3x=2的距离.
分析：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}将直线 l 的方程写成3x-2=0，再用点到直线的距离公式求解.
解：
点 P（-1，2）到直线 l ：3x-2=0的距离
????=????×??????????????????+????????=????????
?
合作探究
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}例6 已知△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面积.
分析：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边AB的长和边AB上的高即可.
解：
如图,
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}设边AB上的高为h ，则
????△????????????=????????????????????
?
????????=?????????????+?????????????=????????
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}边AB上的高h就是点C到直线AB的距离.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}边AB所在直线 l 的方程为
??????????????????=??????????????????
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}即 x+y-4=0
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}点C（-1，0）到直线 l： x+y-4=0 的距离
????=?????+?????????????????+????????=????????
?
因此，
????△????????????=????????×????????×????????=????
?
课堂练习
1. 求点P（-1，2）到下列直线的距离：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}（1）2x+y-10=0; (2) x=2; (3) y-1=0.
答案：
(1) 由公式得 ?????=|????×?????+?????????????|????????+????????=????????????=????????
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} (2) 法1： 把直线方程化成一般式x-2=0
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}由公式得 ?????=|?????+????×?????????|????????+????????=????
法2：
∵直线 x=2与y轴平行，
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}∴由图知?????=??????????=????
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}(3) d=1 方法同（2）
课堂练习
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}2. 已知点A(a,2)(a＞0)到直线 l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} A.????　 B．2－????　 C. ????－1 D. ????＋1
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}3. 已知P（1，2），则当点P到直线2ax+y-4=0的距离最大时，a=( )
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}1　 B．????????? C. ???????? D. ????
解：因为直线2ax+y-4=0恒过定点A（0，4）
所以当PA与直线垂直时，点P到直线的距离达到最大值，此时过P，A的直线斜率为-2，
所以直线2ax+y-4=0的斜率为????????.
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}故 ????=????????? .
C
B
课堂练习
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}4. 已知原点和点P(4，－1)到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，求实数a的值．
解：
利用点到直线的距离公式得
6????2+????4=|4?????????2+6|????2+????4
?
于是
????2?4?????6=±6
?
????2+????4≠0
?
且
????2?4????=0
?
????2?4????-12=0
?
或
且
????2+????4≠0
?
所以
所以????=?2或????=4或????=6
?
课堂总结
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}5. 直线l: y=k(x+2) 上存在两个不同点到原点距离等于1，则k的取值范围是（ ）
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}A . (-2,2) B. (?????,????) C．（-1，1） D. (??????????,??????????)
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}分析：将问题转化为直线l与圆????????+????????=????有两个交点，然后利用圆心到直线的距离小于半径，列式求解即可.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}解
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}因为直线 l: y=k(x+2) 上存在两个不同点到原点距离等于1 .
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}故直线l与圆????????+????????=????有两个交点，
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}则圆心（0，0）到直线l的距离
????=2????1+????2?<1
?
解得
???????????
D