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第1章
集合
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．若，则实数（
）
A．
B．0
C．1
D．0或1
2．设集合，集合，则（
）
A．（，3）
B．（，1）
C．（1，2）
D．（2，3）
3．已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．设全集为，集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知集合，则中元素的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知集合只有一个元素，则的取值集合为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已如集合，则满足的集合的个数是（
）
A．4
B．6
C．7
D．8
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是（
）
A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|-|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141
59构成的集合
C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合
D．P是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合，Q是由方程x=0的解构成的集合
10．已知全集U的两个非空真子集A，B满足，则下列关系一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．设集合，若，则实数a的值可以为（
）
A．
B．0
C．3
D．
12．已知为给定的非空集合，集合，其中≠，?，且，则称集合是集合的覆盖；如果除以上条件外，另有，其中，，且，则称集合是集合的划分.对于集合，下列命题错误的是（
）
A．集合是集合的覆盖
B．集合是集合的划分
C．集合不是集合的划分
D．集合既不是集合的覆盖，也不是集合的划分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知集合，用列举法表示集合，则____________．
14．集合是单元素集合，则实数____________．
15．已知集合，，若，则实数的取值范围是____________．
16．定义且，若，，则的子集个数为_______________，非空真子集个数为_______________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）用适当的方法表示下列集合：
（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．
（2）24的正因数组成的集合．
（3）自然数的平方组成的集合．
（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．
18．（12分）设全集，集合，.
（1）求及；
（2）求.
19．（12分）设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则∈A，且1?A，
（1）若3∈A，求A.
（2）证明:若a∈A，则.
20．（12分）已知集合.
（1）若A是空集，求的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围.
21．（12分）已知集合，且．
（1）若，求m，a的值．
（2）若，求实数a组成的集合．
22．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：
已知集合，，若______，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
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第1章
集合
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．若，则实数（
）
A．
B．0
C．1
D．0或1
【答案】C
【分析】
根据集合的确定性，互异性，即可求得答案.
【详解】
因为，根据集合性质可得：.
故选：C
2．设集合，集合，则（
）
A．（，3）
B．（，1）
C．（1，2）
D．（2，3）
【答案】A
【分析】
由并集的定义计算．
【详解】
由题意，
故选：A．
3．已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先求得集合M，再根据元素与集合的关系，集合与集合的关系可得选项.
【详解】
因为集合，所以，
故选：D.
4．设全集为，集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先根据补集定义判断，再进行交集运算即可.
【详解】
因为集合，则，而，所以.
故选：B.
5．已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据所给图形结合补集的韦恩图表示得出所求的集合表示式，由此得解.
【详解】
依题意，由补集的韦恩图表示知，图中阴影部分表示的集合是，
因集合，集合，则有，
所以图中阴影部分表示的集合是.
故选：C
6．已知集合，则中元素的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
利用列举法列举出集合中所有的元素，即可得解.
【详解】
由题意可知，集合中的元素有：、、、、、、、、、、、、，共个.
故选：D.
7．已知集合只有一个元素，则的取值集合为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.
【详解】
解：①当时，，此时满足条件；
②当时，中只有一个元素的话，，解得，
综上，的取值集合为，．
故选：D．
8．已如集合，则满足的集合的个数是（
）
A．4
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【分析】
先求出，再根据和子集个数的计算公式可得正确的选项．
【详解】
，
因为，故有元素，且可能有元素，
故满足的集合的个数为，
故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是（
）
A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|-|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141
59构成的集合
C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合
D．P是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合，Q是由方程x=0的解构成的集合
【答案】AD
【分析】
根据题意分析即可.
【详解】
由于A，D中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，
而B，C中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合.
故选：AD.
10．已知全集U的两个非空真子集A，B满足，则下列关系一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】
采用特值法，可设，，，根据集合之间的基本关系，对选项逐项进行检验，即可得到结果.
【详解】
令，，，满足，但，，故A，B均不正确；
由，知，∴，∴，
由，知，∴，故C，D均正确.
故选：CD.
11．设集合，若，则实数a的值可以为（
）
A．
B．0
C．3
D．
【答案】ABD
【分析】
先求出集A，B，再由得，然后分和两种情况求解即可
【详解】
解：，
∵，∴，
∴①时，；
②时，或，∴或.
综上，或，或
故选：ABD.
12．已知为给定的非空集合，集合，其中≠，?，且，则称集合是集合的覆盖；如果除以上条件外，另有，其中，，且，则称集合是集合的划分.对于集合，下列命题错误的是（
）
A．集合是集合的覆盖
B．集合是集合的划分
C．集合不是集合的划分
D．集合既不是集合的覆盖，也不是集合的划分
【答案】BC
【分析】
根据集合新定义以及集合的交、并运算，逐一判断即可.
【详解】
对于A，集合满足?，?，
且=，故集合是集合的覆盖，选项A正确；
对于B，集合中，∩，
不满足题目定义中“”，
故集合不是集合的划分，选项B错误；
对于C，集合是集合的划分，
因为?，?，?，
且=，∩=，∩=，∩=，
满足定义中的所有要求，选项C错误；
对于D，集合中，，，
故集合既不是集合的覆盖，也不是集合的划分，选项D正确.
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知集合，用列举法表示集合，则__________.
【答案】
【分析】
根据集合的描述法即可求解.
【详解】
,
故答案为：
14．集合是单元素集合，则实数________
【答案】0，2或18
【分析】
集合是单元素集合，即方程只有一个根，分和两种情况，求出实数即可．
【详解】
当时，，符合题意；
当时，令，即，解得或
故答案为：0，2或18
15．已知集合，，若，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【分析】
分情况讨论：当或，根据集合的包含关系即可求解.
【详解】
当时，有，则；
当时，若，如图，
则解得．
综上，的取值范围为．
故答案为：
16．定义且，若，，则的子集个数为_______________，非空真子集个数为_______________.
【答案】1024
1022
【分析】
先判断中有几个元素，再判断有多少个子集；非空真子集个数为子集个数减.
【详解】
由的定义知：
若，，
则，
子集个数为，非空真子集个数为.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查集合子集、真子集个数的判断问题，较简单.一般地，对于含一个有个元素的集合，其子集个数为个，真子集个数为个，非空真子集为个.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）用适当的方法表示下列集合：
（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．
（2）24的正因数组成的集合．
（3）自然数的平方组成的集合．
（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．
【分析】
（1）集合有无限个元素，利用描述法求解；
（2）集合中元素较少，利用列举法求解；
（3）集合有无限个元素，利用描述法求解；
（4）集合中元素较少，利用列举法求解；
【详解】
（1）用描述法表示为{x|2（2）用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}．
（3）用描述法表示为{x|x=n2，n∈N}．
（4）用列举法表示为{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}．
18．（12分）设全集，集合，
（1）求及；
（2）求.
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）根据集合的交并集运算求解即可；
（2）根据集合的补集的运算和交集的运算求解即可.
【详解】
解：（1）因为，，
所以，
（2）因为，所以，
所以
19．（12分）设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则∈A，且1?A，
（1）若3∈A，求A.
（2）证明:若a∈A，则.
【答案】（1）;（2）证明见解析.
【分析】
根据题意求依次求解即可.
【详解】
(1)因为3∈A，
所以，
所以，
所以，
所以.
(2)因为a∈A，
所以，
所以.
20．（12分）已知集合.
（1）若A是空集，求的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围
【答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）.
【分析】
（1）方程ax2﹣3x+2＝0无解，则，根据判别式即可求解；
（2）分a＝0和a≠0讨论即可；
（3）综合（1）（2）即可得出结论.
【详解】
（1）若A是空集，则方程ax2﹣3x+2＝0无解此时
＝9-8a＜0即a
所以的取值范围为
（2）若A中只有一个元素
则方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一个实根
当a＝0时方程为一元一次方程，满足条件
当a≠0，此时＝9﹣8a＝0，解得：a
∴a＝0或a
当时，；当时，
（3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素
由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是.
21．（12分）已知集合，且．
（1）若，求m，a的值．
（2）若，求实数a组成的集合．
【答案】（1），；）（2）
【分析】
（1）依题意可得，，即可求出，从而求出集合，则，即可求出；
（2）首先求出集合，依题意可得，对集合分类讨论，即可求出参数的取值；
【详解】
解：（1）因为，且．，所以，，所以解得，所以，所以，所以，解得
（2）若，所以，因为，所以
当，则；
当，则；
当，则；
综上可得
22．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：
已知集合，，若______，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案见解析.
【分析】
选择①,讨论或，由集合的运算结果列不等式组即可求解；选择②，是的子集，根据集合的包含关系列不等式组即可求解；选择③，则，根据集合的包含关系即可求解.
【详解】
若选择①，则当时，即，即时，满足题意，
当时，应满足或解得：，
综上知，实数的取值范围是：.
若选择②，则是的子集，，
当，即时，，满足题意；
当时，或解得：，
综合得的取值范围是：．
若选择③，则，
当，即时，，满足题意；
当时，，解得：；
综上知，实数的取值范围是．
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