2.2 基本不等式 经典题型必刷——2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word版含解析）

2021-2022学年高一数学经典题型必刷（人教A版2019必修第一册））
第2.2课时
基本不等式
一、单选题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．若x>0，y>0，且x+y=S，xy=P，则下列说法中正确的是（
）
A．当且仅当x=y时S有最小值2
B．当且仅当x=y时P有最大值
C．当且仅当P为定值时S有最小值2
D．若S为定值，当且仅当x=y时P有最大值
2．若a＞0，b＞0，且a≠b，则（
）
A．＜＜
B．＜＜
C．＜＜
D．＜＜
3．若a，b为非零实数，则以下不等式：①；②；③；④
.其中恒成立的个数是（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
4．若，且，则的最小值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
5．已知当x=a时，代数式取得最小值b，则a+b=
（
）
A．-3
B．2
C．3
D．8
6．如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中错误的是（
）
A．(a+b)2≥4ab
B．当a=b时，A1，B1，C1，D1四点重合
C．(a-b)2≤4ab
D．(a+b)2>(a-b)2
7．已知a>b>0，全集为R，集合M=，N=，P=，则M，N，P满足（
）
A．P=M
B．P=N
C．P=M
N
D．P=MN
8．某工厂第一年年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意）
9．设其中为参数.下列选项正确的是（
）
A．当时，的最大值为4
B．当时，的最小值为4
C．当时，的最小值为9
D．当时，的最大值为3
10．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是（
）
A．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
B．该单位每月最低可获利20000元
C．该单位每月不获利，也不亏损
D．每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损
11．设，且，，则必有（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知a>0，b>0，，对于代数式，下列说法正确的是（
）
A．最小值为9
B．最大值是9
C．当a=b=时取得最小值
D．当a=b=时取得最大值
三、填空题（本大题共4小题）
13．函数的最小值是___________.
14．工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元.则工厂和仓库之间的距离为___________千米时，运费与仓储费之和最小.
15．若，则的最小值为_____．
16．已知正实数a，b，c满足a2-2ab+9b2-c=0，则当取得最大值时，的最大值为_______.
四、解答题（本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程）
17．中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
（1）求2021年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；
（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
18．已知实数a＞0，b＞0，且a2+b2＝8，若a+b≤m恒成立．
（1）求实数m的最小值；
（2）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．
19．已知方程的解为、.
（1）求、的值.
（2）求的最小值.
20．已知，满足.
（1）求证：；
（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数，使对任意恒成立，试写出一个，并证明之.
21．已知，，均为正实数，求证：若，则．
22．（1）若，求证：；
（2）利用（1）的结论，求下列问题：已知，求的最小值，并求出此时的值.
参考答案
1．D
【解析】∵x，y∈R+，x+y=S，xy=P，
∴S=x+y≥2=2①，当且仅当x=y时取等号；
∴如果P是定值，那么当且仅当x=y时S的值最小，故A?C错误；
由①得，P≤=，当且仅当x=y时取等号；
∴如果S是定值，那么当且仅当x=y时P的值最大，故D正确，B错误.
故选：D.
2．B
【解析】∵a，b∈R+，且a≠b，
∴a+b＞2，∴＜，
而＝＞0，
∴＜，
故选：B
3．C
【解析】解：对于①，由重要不等式可知①正确；
对于②，
，故②正确；
对于③，当时，不等式的左边为，右边为，可知③不正确；
对于④，令可知④不正确．
故恒成立的个数为个.
故选：C.
4．C
【解析】因为，所以．
因为，所以，．
所以，当且仅当，即时等号成立．
所以，即的最小值为4．
故选：C
5．C
【解析】令，由，得x+1>0，>0，
所以由基本不等式得，
当且仅当x+1=，即(x+1)2=9，即x+1=3，即x=2时取等号，所以a=2，b=1，a+b=3.．
故选：C
6．C
【解析】对于A，由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，
即有(a+b)2≥4ab，故A正确；
对于B，正方形A1B1C1D1的面积为(a-b)2，当a=b时，正方形A1B1C1D1的面积为，
A1，B1，C1，D1四点重合，故B正确；
对于C，结合图象正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定，
因此C选项错误.
对于D，结合图形可知(a+b)2>(a-b)2，且当a=b时A1，B1，C1，D1四点重合，故D正确；
故选：C
7．A
【解析】由a>b>0知，a>，>b，
由基本不等式可得，>，（取等号条件不成立）.
故a>>>b.
或，则M，即A正确；
或，则N，即B错误；
又，，即CD错误.
故选：A．
8．B
【解析】解：由题意得，，则，
因为，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
故选：B
9．BC
【解析】当时，，则，即，
，，当且仅当时等号成立，
当时，的最小值为4；
当时，，解得（舍去）或，
则，当且仅当时等号成立，
当时，的最小值为9.
故选：BC.
10．AD
【解析】由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，
当且仅当，即时等号成立，
故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元，故A正确；
设该单位每月获利为S元，
则，
因为，
所以.
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损，故D正确，BC错误，
故选：AD
11．BD
【解析】解：由基本不等式可得，，∴，
又，
∴，所以，
所以A错B对C错D对，
故选：BD.
12．AC
【解析】因为，所以==·
=5+2，当且仅当时，即a=b=时，等号成立.
所以a=b=时，代数式取得最小值9.
故选：AC.
13．4
【解析】令，则，当且仅当，即时，.
所以函数的最小值是4.
故答案为：4
14．2
【解析】设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元，
设；
当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，
所以，，则；
所以运费与仓储费之和为，
因为，当且仅当，即时，运费与仓储费之和最小为万元.
故答案为：2
15．2
【解析】由，则，
当且仅当时取“”，即的最小值为2．
故答案为：2.
16．1
【解析】正实数a，b，c满足a2-2ab+9b2-c=0，
得===，
其中，当且仅当=，即a=3b时，取最小值6.
故，取最大值．
又因为a2-2ab+9b2-c=0，所以此时，
所以，当时，即当a=3，b=1时，取得最大值1，
故答案为：1.
17．（1）；（2）2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元.
【解析】（1）当时，；
当时，；
；
（2）若，，
当时，万元
；
若，，
当且仅当即时，万元
.
答：2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元.
18．（1）4；（2）或．
【解析】（1）∵a2+b2≥2ab，
∴2a2+2b2≥（a+b）2，
∴（a+b）2≤16，
∴（a+b）≤4，
故m≥4，实数m的最小值为
（2）由2|x﹣1|+|x|≥a+b恒成立，
由（1）可得a+b的最大值为4
故只需2|x﹣1|+|x|≥4，
即：当x≥1时，2（x﹣1）+x≥4，解得：x≥2；
当0≤x＜1时，2（1﹣x）+x≥4，无解；
当x＜0时，2（1﹣x）﹣x≥4，解得；
故得实数x的取值范围是或．
19．（1），；（2）.
【解析】（1）由韦达定理可得，解得，；
（2）由（1）知，，
所以，
当时，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立.
因此，的最小值为.
20．（1）证明见解析；（2），证明见解析.
【解析】（1）由于，所以，，，
要证，
只需证明.
左边
（2）要使，只需，
左边，
所以只需即可，即，所以可以取，3代入上面过程即可.
21．证明见解析
【解析】证明：因为，，均为正实数，
由基本不等式得，当且仅当时，即a=1取等号，
同理，当且仅当时，即b=1取等号，
，当且仅当时，即c=1取等号，
以上三式相加，得
所以，当且仅当时，取等号．
22．（1）证明见解析；（2）当时取得最小值，最小值为25.
【解析】（1）当时，
，
当且仅当时取等号，
；
（2）当时，，
由（1）可知，，
当且仅当，即时取等号，
即当时，取得最小值.