4.2 指数函数同步练习- 2021-2022学年高一上学期数学必刷题（人教A版2019必修第一册）（Word版含解析）

2021-2022学年高一数学经典题型必刷（人教A版2019必修第一册））
第4.2课时
指数函数
一、单选题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（
）
A．B．C．D．
2．若，且，则的值是（
）
A．18
B．24
C．21
D．27
3．函数的图象如图所示，则（　　）
A．，
B．，C．，
D．，
4．若指数函数在上的最大值与最小值的和为，则（
）
A．或
B．
C．
D．
5．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为（
）
A．(1，＋∞)
B．(1,8)
C．(4,8)
D．[4,8)
7．已知（，为常数）的图象经过点，则的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
8．函数的值域是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意）
9．下列结论中，正确的是（
）
A．函数是指数函数
B．函数的值域是
C．若，则
D．函数的图像必过定点
10．定义运算，设函数，则下列命题正确的有（
）
A．的值域为
B．的值域为
C．不等式成立的范围是
D．不等式成立的范围是
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（
）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．在上是增函数
D．的值域是
12．已知函数，则下面几个结论正确的有（
）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且恒成立
三、填空题（本大题共4小题）
13．若为方程的两个实数解，则___________．
14．已知函数，若，则实数a的值为______.
15．函数，且在上的最大值与最小值的和为，则函数
在上的最大值为________.
16．已知f(x)＝x2，g(x)＝－m，若对任意x1∈[0,2]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________.
四、解答题（本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程）
17．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a(单位：元)，每期利率为r，本利和为y(单位：元)，存期数为x.
（1）写出本利和y关于存期数x的函数解析式；
（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄.
18．已知函数f(x)＝ax2﹣2x+1+b（a≠0）在x＝1处取得最小值0．
（1）求a，b的值；
（2），求函数的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x值．
19．已知函数.
（1）求在上的值域；（2）解不等式；
（3）若关于的方程在上有解，求的取值范围.
20．函数和的图象，如图所示．设两函数的图象交于点，，且．
（1）请指出示意图中曲线，分别对应哪一个函数；
（2）结合函数图象，比较，，，的大小．
21．已知函数（且）.
（1）若的图象如图①所示，求、的取值范围；
（2）若的图象如图②所示，有且仅有一个实数解，求的取值范围.
22．已知函数f(x)＝·x3.
（1）求f(x)的定义域；
（2）判断f(x)的奇偶性；
（3）求证：f(x)>0.
参考答案
1．D
【解析】，则单调递增，故排除AC；
对于BD，单调递减，则，与y轴交于0和1之间，故排除B.
故选：D.
2．D
【解析】解：，有，；
又，，；
联立方程，解得，，
故选：C.
3．D
【解析】由图可知，，故，故，故排除A
B；
又函数关于对称，由图象可知，，故C错，D正确；
故选：D.
4．C
【解析】因为函数为指数函数，所以.
当时，在上的最大值为，最小值为，则，解得或（舍）；
当时，在上的最大值为，最小值为，则，解得（舍）或（舍）.
综上可知，.
故选：C.
5．A
【解析】令，由于函数在上是减函数，
外层函数为上的增函数，则内层函数为上的减函数，
所以，，解得.
故选：A.
6．D
【解析】由题意得
解得4≤a＜8.
故选：D.
7．C
【解析】因为函数的图象经过点，则，所以，，则，
因为函数在上为增函数，
当时，，即.
故选：C.
8．D
【解析】当时，函数单调递增，因为，则，
所以，，此时，函数的值域为；
当时，函数单调递减，因为，则.
所以，，此时，函数的值域为.
综上所述，函数的值域是.
故选：D.
9．BD
【解析】选项A.
根据指数函数的定义，可得不是指数函数，故A
不正确.
选项B.
当时，，故B正确.
选项C.
当时，函数单调递减，由，则，故C不正确.
选项D.
由，可得的图象恒过点，故D正确.
故选：BD
10．AC
【解析】由函数，有，
即，作出函数的图像如下，
根据函数图像有的值域为，所以A选项正确，B选项错误.
若不等式成立，由函数图像有
当即时成立，
当即时也成立.
所以不等式成立时，.所以C选项正确，D选项错误.
故选：AC.
11．BC
【解析】，，
，则不是偶函数，故A错误；
的定义域为，
，
为奇函数，故B正确；
，
又在上单调递增，在上是增函数，故C正确；
，，则，可得，
即．
，故D错误．
故选：BC．
12．ACD
【解析】对于A，，则，
则为奇函数，故图象关于原点对称，故A正确.
对于B，计算，，故的图象不关于y轴对称，故B错误.
对于C，，，
故，易知：，故的值域为,故C正确.
对于D，，
因为在上为增函数，为上的减函数，
由复合函数的单调性的判断法则可得在上单调递减，
故，且，恒成立，故D正确.
故选：ACD.
13．
【解析】，
∴,
∴,
∴,
故答案为：.
14．
【解析】依题意，，解得.
故答案为：.
15．12.
【解析】指数函数，且在定义域上是单调函数，
又在上的最大值与最小值的和为，
，解得，
函数在定义域上为减函数，在为减函数，
在上的最大值为.
故答案为：12.
16．
【解析】由题意f(x)的最小值不小于g(x)的最小值，
所以f(0)≥g(2)，即，
所以.
故答案为：
17．（1）（）；（2）.
【解析】（1）依题意可知，（）.
（2）由（1）得，本利和为.
18．（1）a＝1，b＝0；（2）当x＝2时，g(|2x﹣1|)max＝，x＝1时，g(|2x﹣1|)min＝0．
【解析】（1）f(x)＝ax2﹣2x+1+b（a≠0）在x＝1处取得最小值0，
即＝1，f(1)＝a+b﹣1＝0，解得a＝1，b＝0；
（2）由（1）知f(x)＝(x﹣1)2，
，g(|2x﹣1|)＝，
令t＝|2x﹣1|，∵，则，
由对勾函数的性质可得，
此时t＝1即|2x﹣1|＝1，解得x＝1；
又，，
当t＝3时，解得x＝2时，
所以当x＝2时，g(|2x﹣1|)max＝，当x＝1时，g(|2x﹣1|)min＝0
19．（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）令，当时，，则可将原函数转化为，
当时，；当时，；
在上的值域为；
（2），即，，
解得：，，即不等式的解集为；
（3）令，当时，，
在上有解等价于与在时有交点，
由（1）知：在时的值域为，
，解得：，即的取值范围为.
20．（1）对应的函数为，对应的函数为；（2）．
【解析】（1）由图可知，的图象过原点，所以对应的函数为，对应的函数为
（2）因为，，，，，，，，所以，，，
所以，所以
从题中图象上知，当时，；当时，，且在上是增函数，所以．
21．（1），；（2）或.
【解析】（1）由为减函数可得，又，解得；
（2）图②中
，函数的图象如图所示.
由图象可知使有且仅有一解，则或.
22．（1）(－∞，0)∪(0，＋∞)；（2）偶函数；（3）证明见解析.
【解析】（1）由2x－1≠0，得x≠0.
所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
（2）因为函数f(x)的定义域关于原点对称，
f(－x)＝
＝，
所以f(x)为偶函数.
（3）证明：当x>0时，，x3>0，
所以f(x)>0.
因为f(x)为偶函数，
所以当x<0时，f(x)>0.
综上所述，对于定义域内的任意x都有f(x)>0.