4.4 对数函数 同步练习- 2021-2022学年高一上学期数学必刷题（人教A版2019必修第一册）（Word版含解析）

2021-2022学年高一数学经典题型必刷（人教A版2019必修第一册））
第4.4课时
对数函数
一、单选题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是（
）
A．0
B．1
C．2
D．a
2．已知对数式（Z）有意义，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
4．函数f(x)＝的单调递增区间为（
）
A．(－∞，－2)
B．(－∞，)
C．(－2，)
D．(5，＋∞)
5．函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
6．下面对函数，与在区间上的递减情况说法正确的是（
）
A．递减速度越来越慢，递减速度越来越快，递减速度比较平稳
B．递减速度越来越快，递减速度越来越慢，递减速度越来越快
C．递减速度越来越慢，递减速度越来越慢，递减速度比较平稳
D．递减速度越来越快，递减速度越来越快，递减速度越来越快
7．已知函数的图像过点，而且其反函数的图像过点，则是（
）
A．增函数
B．减函数
C．奇函数
D．偶函数
8．函数的部分图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意）
9．函数的图象过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
10．若10a＝4，10b＝25，则（
）
A．a+b＝2
B．b﹣a＝1
C．ab＞8lg22
D．b﹣a＜lg6
11．关于函数，下列描述正确的有（
）
A．函数f(x)在区间(1，2)上单调递增
B．函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称
C．若x1≠x2，但f(x1)=f(x2)，则x1+x2=4
D．函数f(x)=0有且仅有两个根
12．（多选）在同一直角坐标系中，函数（a＞0且a≠1）的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
三、填空题（本大题共4小题）
13．设实数满足，则________．
14．已知f(x)＝在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．
15．函数的图像恒过一定点______．
16．已知函数，则与的大小关系是__________．
四、解答题（本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程）
17．设函数为常数，且
（1）求的值；
（2）设，求不等式的解集．
18．已知函数．
（1）画出函数的草图，并根据草图求出满足的x的集合；
（2）若，且，求证：．
19．设（，），且.
（1）求实数a的值及函数的定义域；
（2）证明的奇偶性，并求函数在区间上的最小值.
20．设函数，且．
（1）求的值；
（2）若令，求实数t的取值范围；
（3）将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的x的值．
21．已知函数，在区间上有最大值16，最小值.设．
（1）求的解析式；
（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；
22．已知，函数．
（1）当时，解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差都不超过1，求实数a的取值范围．
参考答案
1．C
【解析】∵0＜a＜1，∴f(x)＝logax在[a2，a]上是减函数，
∴f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2．
故选：C
2．C
【解析】由题意可知:，解之得:且.
∵Z，∴的取值范围为.
故选：C.
3．D
【解析】因为函数，
所以函数，
当x＝0时，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的图象过点(0，3)，排除A；
当x＝－2时，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B；
当时，，排除C，
故选：D．
4．A
【解析】由题意，得x2－3x－10>0，
∴(x－5)(x＋2)>0，∴x<－2或x>5．
令u＝x2－3x－10，
函数f(x)的单调递增区间即为函数u＝x2－3x－10在(－∞，－2)∪(5，＋∞)上的单调递减区间，又u＝x2－3x－10在(－∞，－2)上递减，
所以函数f(x)＝的单调递增区间为(－∞，－2).
故选：A．
5．D
【解析】函数有意义等价于，所以定义域为
故选：D．
6．C
【解析】观察函数、、在区间上的图象如下图所示：
函数的图象在区间上递减较快，但递减速度逐渐变慢；
函数在区间上，递减较慢，且越来越慢．
同样，函数的图象在区间上递减较慢，且递减速度越来越慢．
函数的图象递减速度比较平稳．
故选：C.
7．A
【解析】由反函数的意义，可知当反函数的图象过点时，原函数的图象过点，
结合函数的图象过点，
可得，
即函数为，
由对数型复合函数可知函数为增函数，且为非奇非偶函数.
故选：A.
8．D
【解析】，，是偶函数，图象关于y轴对称，所以排除B，C．，在x轴上方，所以排除A.
故选：D．
9．BCD
【解析】的图象相当于是把的图象向左平移2个单位，
作出函数的大致图象如图所示，则函数的图象过第二?三?四象限.
故选：BCD.
10．AC
【解析】∵10a＝4，10b＝25，∴a＝lg4，b＝lg25，∴a+b＝lg4+lg25＝lg100＝2，
b﹣a＝lg25﹣lg4＝lg＞lg6，ab＝2lg2×2lg5＝4lg2?lg5＞4lg2?lg4=8lg22．
故选：AC．
11．ABD
【解析】函数的图像如图所示：
由图可得：函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，故A正确；
函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称，故B正确；
若x1≠x2，但f(x1)=f(x2)，则当x1，x2>2时，x1+x2>4，故C错误；
函数f(x)与x轴有且仅有两个交点，故D正确．
故选：ABD.
12．AC
【解析】由函数，
当a＞1时，可得是递减函数，图象恒过（0，1）点，
函数，是递增函数，图象恒过，
当1＞a＞0时，可得是递增函数，图象恒过（0，1）点，
函数，是递减函数，图象恒过；
∴满足要求的图象为：A，C
故选：AC
13．或2
【解析】由于，所以原式转化为，
即，解得或，所以或．
故答案为:
或2.
14．(－4，4]
【解析】解析二次函数y＝x2－ax＋3a的对称轴为x＝，由已知，应有≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，即解得－4故答案为：(－4，4]
15．
【解析】由函数图像的平移公式，我们可得：将函数的图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位即可得到函数的图像．又函数的图象恒过点，由平移向量公式，易得函数的图像恒过点
故答案为：
16．
【解析】因为，定义域为，
令，为减函数，
，为减函数，所以，为增函数，
所以.
故答案为：.
17．（1）；（2）．
【解析】（1），；
（2）由（1）知：，；
①当时，，即，解得：；
②当时，，即，，
解得：，；
综上所述：的解集为.
18．（1）图见解析，(0，)∪(10，＋∞)；（2）证明见解析.
【解析】（1）画出函数的草图，如图所示：
令，则,即，可得或．
故满足的x的集合是(0，)∪(10，＋∞)；
（2）因为，且，
不妨设，则，
所以，
即，，
所以.
19．（1）；定义域是；（2）证明见解析；最小值为0.
【解析】（1）由题意，函数（，），
因为，可得，解得，
所以函数，则满足，解得，
所以函数的定义域是.
（2）由题意，函数的定义域为关于原点对称，
又由，即，所以为奇函数，
因为，，
设，可得函数在区间上单调递增，
根据复数函数的单调性，可得函数在区间上单调递增，
当时，在区间上取得最小值，是.
20．（1）6；（2）；（3），此时；，此时．
【解析】（1）；
（2），又，，，所以t的取值范围为；
（3）由，
令，，
当时，，即，解得，
所以
，此时；
当时，，即，
，此时．
21．（1）；（2）．
【解析】（1）∵()，即在上为减函数，在上为增函数．又在上有最大值16，最小值0，
∴，，解得，
∴；
（2）∵
∴，由，则，
∴，设，，
∴在上为减函数，当时，最小值为1，
∴，即.
22．（1）（2）．
【解析】（1）a＝﹣5时，f（x）＝log2（﹣5），
令f（x）＞0，得，得，
故不等式的解集是.
（2）因为函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
所以，，
由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1对任意t∈[，1]恒成立，
即对任意t∈[，1]恒成立，
即，即对任意t∈[，1]恒成立，
设1﹣t＝r，因为，所以，
所以，
当r＝0时，，
当时，，
∵在上单调递减，所以当时，取得最小值，
此时取得最大值.
所以.