4.5 函数的应用（二） 同步练习- 2021-2022学年高一上学期数学必刷题（人教A版2019必修第一册）（Word版含解析）

2021-2022学年高一数学经典题型必刷（人教A版2019必修第一册））
第4.5课时
函数的应用（二）
一、单选题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是（
）
A．40万元
B．60万元
C．80万元
D．120万元
2．某地区植被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷?0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是（
）
A．y=0.2x
B．
C．y=x2+2x
D．
3．若是二次函数的两个零点，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．方程只有一个实数解，则实数m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．或
5．在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（
）
x
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
A．y=2x
B．y=log2x
C．y=(x2-1)
D．y=2.61x
6．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．若函数经过点，则函数的零点是（
）
A．0，2
B．0，
C．0，
D．2，
8．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（
）
①这几年生活水平逐年得到提高；
②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；
③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；
④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．
A．1
B．2
C．3
D．4
二、多选题（本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意）
9．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：
型号
小包装
大包装
质量
100克
300克
包装费
0.5元
0.7元
销售价格
3.00元
8.4元
则下列说法正确的是（
）
A．买小包装实惠
B．买大包装实惠
C．卖3小包比卖1大包盈利多
D．卖1大包比卖3小包盈利多
10．已知函数若函数恰有2个零点，则实数m可以是（
）
A．
B．0
C．1
D．2
11．(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(千元)?乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲?乙所示，则（
）
A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元
B．甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为
C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元
D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为
12．已知函数，若x1）
A．x1＋x2＝－1
B．x3x4＝1
C．1D．0三、填空题（本大题共4小题）
13．用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为_________．
14．若方程的根在内，则的取值范围是_____．
15．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元.
16．函数在区间和内各有一个零点，则实数的取值范围是___________.
四、解答题（本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程）
17．已知关于的方程，求方程实数根的个数？
18．某公司为了实现2019年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元.现有三个奖励模型：y=0.025x，y=1.003x，y=lnx+1，其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由.(参考数据：1.003538≈5，e≈2.71828…，e8≈2981)
19．已知二次函数.
（1）若二次函数有零点，求实数的取值范围；
（2）如果是满足（1）的最大整数，且二次函数的零点是二次函数的一个零点，求的值及二次函数的另一个零点.
20．如图所示，已知底角为的等腰梯形ABCD，底边BC长为7，腰长为，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
21．已知函数（且）.
（1）若的图象如图①所示，求、的取值范围；
（2）若的图象如图②所示，有且仅有一个实数解，求的取值范围.
22．若关于x的方程有实数解，求实数a的取值范围．
参考答案
1．D
【解析】甲6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6=20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2=40(万元)，
乙4元时，该商人买入乙商品，可以买(120+40)÷4=40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2=80(万元)，共获利40+80=120(万元).
故选：D
2．B
【解析】由题意得图像上三点：，
对于A选项：y=0.2x，将三点代入y=0.2x，
当时，函数值与0.76相差较大；
对于B选项：，将三点代入，
当时，函数值与0.76相差仅有0.04；
对于C选项：y=x2+2x，将三点代入y=x2+2x，
当时，函数值都与实际数值相差较大；
对于D选项：，将三点代入，
当时，函数值都与0.76相差较大；
综上：沙漠增加值y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是.
故选：B.
3．D
【解析】由题意，令，解得或，
不妨设，代入可得.
故选：D.
4．D
【解析】令，则方程只有一个正根，
当方程有唯一根时，则，此时根为符合题意；
当方程有一正一负根或一正根和0根时，有，则．
综上所述，或
故选：D
5．B
【解析】对于A，函数是指数函数，增长速度很快，且在时，时，代入值偏差较大，不符合要求；
对于B，函数，是对数函数，增长速度缓慢，且在时，时，基本符合要求；
对于C，函数是二次函数，且当时，时，代入值偏差较大，不符合要求；
对于D，函数，当时，不符合要求，
故选：B.
6．B
【解析】因为指数函数是几何级数增长，当x越来越大时，增长速度最快.
故选：B．
7．C
【解析】函数经过点，，∴，
∴，
令，则
所以函数的零点是0和．
故选：C.
8．C
【解析】由图知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；
“生活费收入指数”在2014～2015年最陡；故②正确；
“生活价格指数”在2015～2016年最平缓，故③不正确；
“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故④正确．
故选：C.
9．BD
【解析】大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故B正确，
卖1大包的盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元)，卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元)，则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多，故D正确.
故选：BD
10．ABC
【解析】因为函数恰有2个零点，
所以函数的图象与直线恰有两个交点，
画出函数的图象如图：
由图可知，或，结合选项，因此可以为-1，0，1．
故选：ABC．
11．ABCD
【解析】由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确；
设甲厂的费用与证书数量满足的函数关系式为，
代入点，可得，解得，
所以甲厂的费用与证书数量满足的函数关系式为，故B正确；
当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为元，故C正确；
设当时，设与之间的函数关系式为
代入点，可得，解得，
所以当时，与之间的函数关系式为，故D正确.
故选：ABCD.
12．BCD
【解析】由函数解析式可得图象如下：
∴由图知：，，而当时，有，即或2，
∴，而知：，
∴，.
故选：BCD
13．
【解析】，，，
所以下一个有根区间为.
故答案为：
14．
【解析】设，则，解得：，
即的取值范围为.
故答案为：.
15．2250
【解析】设彩电的原价为a元，∴a(1＋40%)·80%－a＝270，∴0.12a＝270，解得a＝2
250.
∴每台彩电的原价为2
250元.
故答案为：2250.
16．
【解析】为开口方向向上，对称轴为的二次函数，
，即，解得：，即实数的取值范围为.
故答案为：.
17．答案见解析
【解析】作出函数的图象如图所示，
当或时，方程实数根有两个.
当时，方程实数根有三个.
当时，方程实数根有四个.
当时，方程无实数根.
18．奖励模型能完全符合公司的要求，答案见解析.
【解析】解：由题意，符合公司要求的模型需同时满足：
当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%.
（1）对于y=0.025x，易知满足①，但当x>200时，y>5，不满足公司的要求；
（2）对于y=1.003x，易知满足①，但当x>538时，不满足公司的要求；
（3）对于，易知满足①.
当x∈[10，1000]时，y≤ln1000+1.
下面证明ln1000+1<5.
因为ln1000+1-5=ln1000-4=
(ln1000-8)=(ln1000-ln2981)<0，满足②.
再证明lnx+1≤x·25%，即2lnx+4-x≤0.
设F(x)=2lnx+4-x，则F′(x)=
-1=<0，x∈[10，1000]，
所以F(x)在[10，1000]上为减函数，
F(x)max=F(10)=2ln10+4-10=2ln10-6=2(ln10-3)<0，满足③.
综上，奖励模型能完全符合公司的要求.
19．（1）；（2），另一个零点为4.
【解析】（1）由题意得，所以，解得.
（2）由（1）可知，
所以方程的根，二次函数的零点是，
∴二次函数的一个零点是，
∴方程的一个根为2，
∴，解得，
∴，解得或，
所以二次函数的另一个零点为4.
20．，图见解析.
【解析】如图，过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2.
又BC＝7，所以AD＝GH＝3.
当点F在BG上，即x∈[0，2]时，；
当点F在GH(不包括点G)上，即x∈(2，5]时，；
当点F在HC(不包括点H)上，即x∈(5，7]时，.
综上，得左边部分的面积y关于x的函数解析式为，
其大致图象如图所示．
21．（1），；（2）或.
【解析】（1）由为减函数可得，又，解得；
（2）图②中
，函数的图象如图所示.
由图象可知使有且仅有一解，则或.
22．
【解析】令，则原方程等价为有正根，又，
知此方程有两个正根，则应满足，
即，解得．