2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 经典题型必刷——2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word版含解析）

2021-2022学年高一数学经典题型必刷（人教A版2019必修第一册））
第2.3课时
二次函数与一元二次方程、不等式
一、单选题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0有一个根为0，则m的值应为（
）
A．2
B．-2
C．2或-2
D．1
2．在上定义运算，若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为（
）
A．{a|a<2}
B．{a|a≤2}
C．{a|－2D．{a|－24．若不等式|2x-3|>4与关于x的不等式x2+px+q>0的解集相同，则x2-px+q<0的解集是（
）
A．或
B．
C．或
D．
5．若不等式的解集是，则不等式的解集是（
）
A．或
B．
C．或
D．或
6．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为（
）
A．{x|0B．{x|－2C．{x|x<－2或x>1}
D．{x|－17．若00的解集是（
）
A．
B．或
C．或
D．
8．不等式的解集为，则函数的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意）
9．在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10.又知甲?乙两种车型的刹车距离S与车速x之间分别有如下关系：S甲=0.1x+0.01x2，S乙=0.05x+0.005x2.则下列判断错误的是（
）
A．甲车超速
B．乙车超速
C．两车均不超速
D．两车均超速
10．已知关于x的不等式，则下列说法正确的是（
）
A．若不等式的解集为或，则
B．若不等式的解集为，则
C．若不等式的解集为R，则
D．若不等式的解集为?，则
11．下列结论错误的是（
）
A．若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R
B．不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0
C．若关于x的不等式ax2+x-1≤0的解集为R，则a≤-
D．不等式>1的解集为x<1
12．已知函数（）有且只有一个零点，则（
）
A．
B．
C．若不等式的解集为（），则
D．若不等式的解集为（），且，则
三、填空题（本大题共4小题）
13．若不等式的解集为，则m的取值范围是________.
14．若不存在整数x满足不等式，则实数k的取值范围是_____.
15．若ax2+bx+2>0的充要条件是，则a+b的值为___________.
16．已知不等式的解集为，则的最小值为__________.
四、解答题（本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程）
17．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≤0}，函数f(x)＝x2﹣2ax+1．
（1）当a≠0时，解关于x的不等式f(x)≤3a2+1；
（2）若命题“存在x0∈A，使得f（x0）≤0”为假命题，求实数a的取值范围．
18．已知方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.
19．若，是关于的方程的两个实数根，且（是整数），则称方程为“偶系二次方程”.如方程，，，，，都是“偶系二次方程”.
（1）判断方程是不是“偶系二次方程”，并说明理由；
（2）对于任意一个整数，是否存在实数，使得关于的方程是“偶系二次方程”，并说明理由.
20．已知不等式的解集与关于的不等式的解集相同.
（1）求实数值；
（2）若实数，满足，求的最小值.
21．（1）当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围．
（2）对任意－1≤x≤1，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，求a的取值范围．
22．国家为了加强对烟酒生产的管理，实行征收附加税政策．现在某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征收R元(叫做税率为R%)，则每年产销量将减少10R万瓶．要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，R应怎样确定？
参考答案
1．B
【解析】∵关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0有一个根为0，
∴m2-4=0且m-2≠0，
解得m=-2.
故选：B.
2．A
【解析】由定义可得，
则原不等式等价于恒成立，
即恒成立，
，解得，
故的最大值为.
故选：A.
3．D
【解析】当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，恒成立，符合题意；
当a－2≠0时，由题意知，，解得－2故选:D．
4．D
【解析】由|2x-3|>4得2x-3>4或2x-3<-4，则或，
由题意可得，解得，
所以不等式x2-px+q<0对应方程x2-px+q=0的两根分别为，，
则x2-px+q<0的解集是．
故选：D.
5．D
【解析】由于不等式的解集是，
所以，关于的方程的两根分别为、，
由韦达定理得，解得，
所以，不等式即为，即，解得或.
因此，不等式的解集是或.
故选：D.
6．B
【解析】根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，
又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是{x|－2故选:B.
7．D
【解析】∵01，∴>t.
∴(t－x)
>0?(x－t)
<0?t故选：D
8．C
【解析】∵不等式的解集为，
∴，∴，
，图象开口向下，两个零点为．
故选：C．
9．ACD
【解析】设甲的速度为
由题得0.1x1+0.01>12，
解之得或；
设乙的速度为，
由题得0.05x2+0.005>10.
解之得x2<-50或x2>40.
由于x>0，从而得x1>30km/h，x2>40km/h.
经比较知乙车超过限速.
故选：ACD
10．ACD
【解析】对于A，∵不等式的解集为或，
∴k<0，且与是方程的两根，
∴，解得，
此时，符合题意，故A正确；
对于B，∵不等式的解集为，
∴，解得，故B错误；
对于C，由题意得，解得，故C正确；
对于D，由题意得，解得，故D正确.
故选：ACD.
11．ABD
【解析】A选项中，只有a>0时才成立；
B选项当a=b=0，c≤0时也成立；
C选项x的不等式ax2+x-1≤0的解集为R，则，得a≤-，正确；
D选项>1的解集为．
故选：ABD
12．ABD
【解析】因为（）有且只有一个零点，
故可得，即，
对A：等价于，显然，故正确；
对B：，故正确；
对C：因为不等式的解集为，
故可得，故错误；
对D：因为不等式的解集为，且，
则方程的两根为，，
故可得，
故可得，故D正确.
故选：ABD.
13．
【解析】因为不等式的解集为，
所以，所以，
所以m的取值范围是.
故答案为：.
14．
【解析】由题意得或时均不符合题意，
故.于是原不等式即为，
依题意应有且，.
故答案为：.
15．-14.
【解析】因为ax2+bx+2>0的充要条件是，
所以ax2+bx+2=0的两根为-和，且a<0.
所以，且a<0，
解得a=-12，b=-2.
∴a+b=-14.
故答案为：-14
16．8
【解析】由题知，则，
则=8，当且仅当，
即时取等号.故的最小值为8.
故答案为8
17．（1）见解析；（2）a＜1．
【解析】（1）不等式f(x)≤3a2+1整理得x2﹣2ax﹣3a2≤0，即(x+a)(x﹣3a)≤0，
若a＞0，则解集为[﹣a,3a]；若a＜0，则解集为[3a,﹣a]．
（2）由集合描述知：A＝{x|1≤x≤2}，命题“存在x0∈A，使得f（x0）≤0”的否定为：“对任意的x∈[1,2]，均有x2﹣2ax+1＞0成立”为真命题，即，
只需，而当x＝1时，取最小值，
∴2a＜2，即a＜1．
1、：即可.
2、：即可.
18．或
【解析】要使原方程有两个负实根，必须满足：
，即
，
所以，
解得-2≤k<-1或所以实数k的取值范围是k-2≤k<-1或19．（1）不是.理由见解析；（2）存在，使得关于的方程是“偶系二次方程”，理由见解析
【解析】（1）不是.理由如下：
解方程得，，，
3.5不是整数，不是“偶系二次方程”.
（2）存在.理由如下：
解法一：和是“偶系二次方程”，
假设，当，时，，
是“偶系二次方程”，当时，，，
是“偶系二次方程”，
当时，，符合题意，可设.
对于任意一个整数，当时，，，
，，，是整数，
对于任意一个整数，存在，使得关于的方程是“偶系二次方程”.
解法二：由题可知，，，
假设对于任意一个整数，存在实数，使得关于的方程是“偶系二次方程”，则，
，
，
当时，，与题意不符，舍去；
当时，.
为任意一个整数，为整数，
设，则，，又，符合题意，
对于任意一个整数，存在，使得关于的方程是“偶系二次方程”.
20．（1）；（2）.
【解析】（1），解得，又解集为：，故和是方程的两根，根据韦达定理得到：.
（2），则，
当，即时取等号，即时有最小值.
21．（1）{m|m<－5}；（2）{a|a<1}．
【解析】（1）令y＝x2＋mx＋4．∵y<0在1≤x≤2上恒成立．∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2．
如图所示：
可得，∴m的取值范围是{m|m<－5}．
（2）∵x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，即x2＋ax－4x＋4－2a>0恒成立．
∴(x－2)·a>－x2＋4x－4.∵－1≤x≤1，∴x－2<0．∴.
令y＝2－x，则当－1≤x≤1时，y的最小值为1，∴a<1．故a的取值范围为{a|a<1}．
22．.
【解析】设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收附加税为70x·R%万元，并且x＝100－10R，由题意，得70(100－10R)·R%≥112，
即R2－10R＋16≤0，
解得2≤R≤8，
∴税率定在2%～8%(包括2%和8%)时，可使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元．