湖北省长阳土家族自治县第一高级中学2012届高三5月适应性考试数学（理）试题

（总分：150分；考试时间：120分钟）
一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，, 则使M∩N＝N成立的的值是 （ ）
A．1　　　 B．0 C．－ 1 D．1或－1
2．已知复数，则·i在复平面内对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.阅读右面的程序框图，则输出的= （ ）
A．14 B．20
C．30 D．55
4. 下列命题错误的是 （ ）
A．对于命题p：,使得，则为：对均有
B．命题“若"的逆否命题为“若x≠1，则"
C．“x>2"是“"的充分不必要条件
D．若是假命题，则均为假命题
5．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
6．已知二项式展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
7．已知两点为坐标原点，点在第二象限，且
设等于 （ ）
A． B．２ C．1 D．
8．椭圆的焦点为和，过点的直线交椭圆于两点，,，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪都比上一年增加20%，另外，每年新招3名工人，每名新工人的第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，如果将第n年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成n的函数，则其表达式为
A．y＝(3n＋5)1.2n＋2.4 B．y＝8×1.2n＋2.4n
C．y＝(3n＋8)1.2n＋2.4 D．y＝(3n＋5)1.2n－1＋2.4
10. 给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数的四个论断：
①； ②
③ ④的定义域为R，值域是[一]．
则其中论断正确的序号是
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
二、填空题：本小题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
(一)必考题（11—14题）
11．函数在点处的切线与函数围成的图形的面积等于 .
12. 某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，
侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
则这个几何体的体积为 _____
13．已知点P的坐标，
过点P的直线l与圆相交于A、B两点，则的最小值为 ．
14. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以表示甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 (只填写正确结论的编号)
①; ②; ③事件与事件相互独立; ④是两两互斥事件;
⑤的值不能确定，因为它与中究竟哪一个发生有关.
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答）
15.如图，A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA=2，
C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，则CD= .
（第15题图）
16．已知直线与圆相交于AB,则以AB为直径的圆的面积为　　　 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分12分)已知向量．记
( I ) 若，求的值；
(Ⅱ) 在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足
，若，试判断ABC的形状．
18.(本小题满分12分) 已知等差数列数列的前项和为，等比数列的各项均为正数，公比是，且满足：.
（Ⅰ）求与；
（Ⅱ）设，若是单调递增数列，求的取值范围.
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，
，为的中点..
（I）点在线段上，，试确定的值，使平面；
（II）在（I）的条件下，若平面平面ABCD，求二面角的大小.
20.(本小题满分12分)某高校在2011年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；
（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，
(ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；
(ⅱ) 学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.
21. (本小题满分13分)如图，已知抛物线：和⊙：，过抛物线上一点作两条直线与⊙相切于、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心到抛物线准线的距离为．
(Ⅰ)求抛物线的方程；
(Ⅱ)当的角平分线垂直轴时，求直线的斜率；
(Ⅲ)若直线在轴上的截距为，求的最小值．
22. (本小题满分14分)已知函数
（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值；
（Ⅱ）求证：对于任意正整数n，均有（为自然对数的底数）；
（Ⅲ）当a＝1时，是否存在过点（1，－1）的直线与函数的图象相切？ 若存在，有多少条？若不存在，说明理由．
五月适应性考试答案
（Ⅱ） 根据正弦定理知：
∵ ∴ 或或
而，所以，因此ABC为等边三角形.……………12分
18．（Ⅰ）由已知可得，消去得：，解得或
（舍），从而
（Ⅱ）由（1）知：.
∵对任意的恒成立, 即：恒成立，整理得：
对任意的恒成立，即：对任意的恒成立.
∵ 在区间上单调递增，.
的取值范围为.
19．解： （1）当时，平面
下面证明：若平面，连交于
由可得，，
．．．．．．．．．２分
平面，平面，平面平面，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分
即： ．．．．．．６分
（2）由PA=PD=AD=2， Q为AD的中点，则PQ⊥AD。．７分
又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，连BD，
四边形ABCD为菱形，
∵AD=AB， ∠BAD=60°△ABD为正三角形，
Q为AD中点， ∴AD⊥BQ．．．．．．．．．．．．８分
以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为
轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为
A（1，0，0），B（），Q（0，0，0），P（0，0，）
设平面MQB的法向量为，可得，
取z=1，解得 ………10分
取平面ABCD的法向量设所求二面角为，
则 故二面角的大小为60°．．．．．．．．．．．．．．１２分
20．解：(1) 第三组的频率为0.065=0.3；
第四组的频率为0.045=0.2；第五组的频率为0.025=0.1.…………3分
(2) (ⅰ) 设M：学生甲和学生乙同时进入第二轮面试 ……6分
X 0 1 2
P
(ⅱ)
……12分
21．（Ⅰ）∵点到抛物线准线的距离为，∴，即抛物线的方程为．………………3分
（Ⅱ）法一：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，
设，，
∴，∴ ，
∴. 6分
． 8分
法二：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，可得，，∴直线的方程为，
联立方程组，得，
∵
∴，． 6分
同理可得，，∴． 8分
（Ⅲ）设点，，．
以为圆心，为半径的圆方程为， ①
⊙方程：． ②
①-②得：
直线的方程为． 9分
当时，直线在轴上的截距，
∵关于的函数在单调递增，
∴ 12分
22、（Ⅰ）解：由题意 ． ………………1分
当时，函数的定义域为，
此时函数在上是减函数，在上是增函数，
，无最大值．………………3分
当时，函数的定义域为，
此时函数在上是减函数，在上是增函数，
，无最大值．………………5分
(Ⅱ)取，由⑴知，
故，
取，则．………………9分
(Ⅲ)假设存在这样的切线，设其中一个切点，
∴切线方程：，将点坐标代入得：
，即， ①
设，则．………………12分
，
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