3.1.1
数系的扩充和复数的概念
【学情分析】：
从小学接触自然数到扩充至整数范围,进入初中阶段后学生认识到数系从整数到有理数再到实数的第二次扩充.因为现实的需要,高中阶段要进一步实现从实数系到复数系的第三次扩充.
学生初次接触复数，会产生一种“虚无缥缈”的感觉.所以要有意识地将实数与复数进行类比学习,学会复数问题向实数问题转化的方法.
【教学目标】：
（1）知识目标：
理解复数产生的必然性、合理性；掌握复数的代数表示形式;掌握复数系下的数的分类.
（2）过程与方法目标：
从为了解决这样的方程在实数系中无解的问题出发,设想引入一个新数i,使i是方程的根.到将i添加到实数集中去,使新引入的数i和实数之间能象实数系那样进行加、乘运算；掌握类比的方法，转化的方法。
（3）情感与能力目标：
通过介绍数系扩充的简要进程，使同学们感受人类理性思维对数学的发展所起的重要作用，体会数与现实世界的联系。
【教学重点】：
复数的概念及其分类。
【教学难点】：
虚数单位i的引入。
【教学突破点】：
从解方程的需要，引入虚数单位i.及虚数单位i与实数的融合。
【教法、学法设计】：
讲授、练习相结合。
教学过程设计
一、复习引入
1．方程在有理数系没有解，但当把数的范围扩充到实数系后，这个二次方程恰好有两个解：；
2．同学们在解一元二次方程的时候，会遇到判别式的情况。这时在实数范围内方程无解。一个自然的想法是能否把实数系扩大，使这种情况下的方程在更大的数系内有解？
二、讲授新课
（1）复数的概念①形如的数叫复数。其中i叫虚数单位。全体复数所成集合叫复数集。
②复数通常用字母表示。即z=。其中与分别叫做复数z的实部与虚部。
③与相等的条件是且
（2）复数的分类
三、运用新知
，体验成功
练习1：
说出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是复数：
写出下列各复数的实部和虚部：
求适合下列方程的和的值：
答案:①实数有:
虚数有:
;复数有:全部.
②实部及虚部依次为:
③
四、师生互动，继续探究
复数的分类及复数相等条件的运用：
例1.已知复数当为何值时:
(1)
(2)是虚数;
(3)是纯虚数.
例2.已知是虚数,是纯虚数,且满足求
五、分层练习，巩固提高
探究活动：
练习2
：
①试问取何值时，复数是实数？是虚数？是纯虚数？
②解方程
参考答案：①
②
六、概括梳理，形成系统（小结）
采取师生互动的形式完成。即：学生谈本节课的收获，教师适当的补充、概括，以本节知识目标的要求进行把关，确保基础知识的当堂落实。
【教学反思】
这节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题?
复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类
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-3.1.2 复数的几何意义
●三维目标
1．知识与技能
理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数模的概念及几何意义，会求复数的模．
2．过程与方法
渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
引导学生观察现象、发现问题、提出观点、验证结论、培养良好的学习思维品质．
●重点难点
重点：复数的几何意义及复数的模．
难点：复数的几何意义及模的综合应用．
树立复数与坐标平面内的点的一一对应、复数与向量的一一对应的意识，是将复数由代数形式引向几何形式的关键环节，通过图形展示，让学生直观、形象的探索其内在联系，可以降低理解难度．
●教学建议
建议本课在教师的指导下作小范围的必要的教学探索活动，使整个教学更有序，更有效，激发学生兴趣，锻炼学生毅力，兴趣是学习良好的开端，毅力是学习的保证．让学生由实数的绝对值的几何意义，类比复数模的几何意义，探索复数模的几何应用．可以利用多媒体教学，展示复数与坐标平面的对应关系及复数模的几何意义，引导学生利用数形结合的思想去分析问题、解决问题．
●教学流程
创设问题情境，引出问题，引导学生认识复数几何意义．了解复数模的定义、作用、计算方法．?让学生自主完成填一填，使学生进一步了解复数与平面内的点的对应关系，复数与向量的对应关系．?引导学生分析例题1的已知条件和问题(1)(2)应满足的条件．学生自主完成求解过程，教师指导完善．完成互动探究．?学生分组探究例题2解法，总结利用复数相等条件求参数的规律方法．完成变式训练．
?
完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．?学生自主完成例题3互动探究，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．?让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．
课标解读
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．(重点)2．理解复数模的概念，会求复数的模．(难点)
复平面
【问题导思】
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？
【提示】 一一对应．
2．有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？
【提示】 一一对应．
3．复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？
【提示】 一一对应．
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
复数的几何意义
【问题导思】
1．平面直角坐标系中的点Z与向量有怎样的对应关系？
【提示】 一一对应．
2．复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合能一一对应吗？
【提示】 一一对应．
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)
复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)
平面向量.
为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数．
复数的模
向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，且r＝(r≥0，且r∈R).
复平面内的点同复数的对应关系
例题1 实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝2m＋(4－m2)i的点
(1)位于虚轴上；(2)位于第三象限．
【思路探究】 找出复数z的实部、虚部，结合(1)(2)的要求写出满足的条件．
【自主解答】 复数z＝2m＋(4－m2)i对应复平面内点的坐标P为(2m,4－m2)．
(1)若P在虚轴上，则即m＝0.
(2)若点P在第三象限，则解得m＜－2.
∴当点P位于第三象限时，实数m的范围是(－∞，－2)．
规律方法
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)??复平面内的点(a，b)．
2．判断复数对应点的位置，关键是找出相应复数的实部和虚部．
互动探究
在题设不变的情况下，求满足下列条件的实数m.
(1)在实轴上；(2)在直线y＝x上．
【解】 (1)若点在实轴上，则4－m2＝0，即m＝±2.
(2)若点在直线y＝x上，则4－m2＝2m，解得m＝－1±.
复数的模的求法
例题2 已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
【思路探究】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a，b.
【自主解答】 法一 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝，
代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，
∴
解得∴z＝－15＋8i.
法二 原式可化为
z＝2－|z|＋8i，
∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部，
于是|z|＝，
即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17.
代入z＝2－|z|＋8i得z＝－15＋8i.
规律方法
计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
变式训练
求复数z1＝6＋8i及z2＝－－i的模，并比较它们的模的大小．
【解】 |z1|＝＝10，|z2|＝
＝
＝，|z1|>|z2|.
复数的模及其几何意义
例题3 已知复数z1＝－＋i，z2＝－－i，
(1)求|z1|与|z2|的值，并比较它们的大小．
(2)设复平面内，复数z满足|z2|≤|z|≤|z1|，复数z对应的点Z的集合是什么？
【思路探究】 (1)利用复数模的定义来求解．若z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝.
(2)先确定|z|的范围，再确定点Z满足的条件，从而确定点Z的图形．
【自主解答】 (1)|z1|＝＝2.
|z2|＝＝1.
∵2＞1，∴|z1|＞|z2|.
(2)由(1)知|z2|≤|z|≤|z1|，
则1≤|z|≤2.
因为不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆及所夹的圆环．
规律方法
1．两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模均可比较大小．
2．复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解．
3．|z1－z2|表示点z1，z2两点间的距离，|z|＝r表示以原点为圆心，以r为半径的圆．
互动探究
如果将本题中|z2|≤|z|≤|z1|，改为|z2|＜|z|＜|z1|，复数z对应的点Z的集合是什么？
【解】 |z2|＜|z|＜|z1|?1＜|z|＜2，则复数z的轨迹为以原点O为圆心，1、2为半径的圆环且不包括边界，注意区别.
因对复数的模理解不到位而导致错误
典例 试研究方程x2－5|x|＋6＝0在复数集上解的个数．
【错解】 将方程变为|x|2－5|x|＋6＝0?|x|＝2或|x|＝3?x＝±2或x＝±3，故共有4个．
【错因分析】 这里常出现将|x|看成“绝对值”从而出现错误的解法，注意这里|x|是一个复数的模，它不等同于实数的绝对值，x2也不能写成|x|2.
【防范措施】 (1)认真审题，看清限制范围是实数还是复数．
(2)弄清复数的模与实数绝对值的区别．
(3)理解|z|的意义及|z|的计算方法．
(4)善于利用转化思想，把复数方程转化为实数方程组求解．
【正解】 设x＝a＋bi(a，b∈R)，则原方程可化为
a2－b2－5＋6＋2abi＝0
?
?或或
即x＝±2或x＝±3或x＝±i.
故方程在复数集上的解共有6个．
课堂小结
1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．
2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．
1．(2013·福建高考)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 z＝－1－2i在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限．
【答案】 C
2．若＝(0，－3)，则对应的复数为( )
A．0
B．－3
C．－3i
D．3
【解析】 由复数的几何意义可知对应的复数为－3i.
【答案】 C
3．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为________．
【解析】 由3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，
得x＝3，y＝－4，
而|1－5i|＝＝，
|x－yi|＝|3＋4i|＝＝5，
|y＋2i|＝|－4＋2i|＝＝.
∵<5<，
∴|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|.
【答案】 |y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|
4．在复平面内指出与复数z1＝－1＋i，z2＝2－i，z3＝－i，z4＝＋3i对应的点Z1，Z2，Z3，Z4，然后在复平面内画出这4个复数对应的向量．
【解】 由题意知Z1(－1，)，
Z2(2，－1)，Z3(0，－1)，Z4(，3)．如图所示，在复平面内，复数z1，z2，z3，z4对应的向量分别为，，，.
一、选择题
1．过原点和－i对应点的直线的倾斜角是( )
A.
B．－
C.
D．
【解析】 ∵－i在复平面上的对应点是(，－1)，
∴tan
α＝＝－(0≤α<π)，∴α＝π.
【答案】 D
2．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则a的值为( )
A．a＝0或a＝2
B．a＝0
C．a≠1且a≠2
D．a≠1或a≠2
【解析】 ∵复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，∴a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2.
【答案】 A
3．已知复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＝|z2|，则实数a＝( )
A．1
B．－1
C．1或－1
D．±1或0
【解析】 由题意得，＝?a2＝1?a＝±1.
【答案】 C
4．复数z与它的模相等的充要条件是( )
A．z为纯虚数
B．z是实数
C．z是正实数
D．z是非负实数
【解析】 设z＝a＋bi，则|z|＝，又z＝|z|，即＝a.
∴b＝0，a≥0，即z是非负实数．
【答案】 D
5．设复数z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是( )
A．复数z对应的点在第一象限
B．复数z一定不是纯虚数
C．复数z对应的点在实轴上方
D．复数z一定是实数
【解析】 ∵2t2＋5t－3＝0的Δ＝25＋24＝49>0，
∴方程有两根，2t2＋5t－3的值可正可负，∴A、B不正确．
又t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，∴D不正确，
∴C正确．
【答案】 C
二、填空题
6．复数z＝log3＋ilog3对应的点位于复平面内的第________象限．
【解析】 ∵log3<0，log3<0，
∴z对应的点在第三象限．
【答案】 三
7．若复数z1＝3－5i，z2＝1－i，z3＝－2＋ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a＝________.
【解析】 设复数z1，z2，z3分别对应点P1(3，－5)，P2(1，－1)，P3(－2，a)，由已知可得＝，从而可得a＝5.
【答案】 5
8．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于，则实数x的取值范围是________．
【解析】 由题意得<，
∴5x2－6x－8<0，∴(5x＋4)(x－2)<0，
∴－【答案】 (－，2)
三、解答题
9．在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的对应点，
(1)在虚轴上；
(2)在第二象限；
(3)在直线y＝x上．
试分别求实数m的取值范围．
【解】 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.
(1)由题意，得m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)由题意，得
∴
∴－1＜m＜1，
即m∈(－1,1)．
(3)由已知，得m2－m－2＝m2－3m＋2，
∴m＝2.
10．已知z1＝x2＋i，z2＝(x2＋a)i对任意的x∈R均有|z1|＞|z2|成立，试求实数a的取值范围．
【解】 ∵|z1|＝，|z2|＝|x2＋a|，且|z1|＞|z2|，
∴＞|x2＋a|对x∈R恒成立，等价于(1－2a)x2＋(1－a2)＞0恒成立．
不等式等价于①：解得a＝，
∴a＝时，0·x2＋(1－)＞0恒成立．
或②：
解得－1＜a＜.
∴a∈(－1，)．
综上，可得实数a的取值范围是{a|a∈R，且－1＜a≤}．
11．如图3－1－1，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：
图3－1－1
(1)表示的复数，表示的复数；
(2)所表示的复数；
(3)设P为复平面上一点且满足||＝||，求P点的轨迹方程．
【解】 (1)＝－，而对应的复数为3＋2i，
∴表示的复数为－3－2i；
∵＝.∴表示的复数为－3－2i.
(2)＝－，
∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)设P(x，y)，∵||＝|5－2i|＝＝，
||＝，由||＝||，得x2＋y2＝29，即点P的轨迹方程为x2＋y2＝29.
已知向量与实轴正向的夹角为45°，向量对应的复数z的模为1，求z.
【思路探究】 设出z＝a＋bi(a，b∈R)，列出关于a，b的方程组．
【自主解答】 设z＝a＋bi(a，b∈R)．
∵与x轴正向的夹角为45°，|z|＝1，
∴或
∴或
∴z＝＋i或z＝－i.
规律方法
解答本题易因不能正确的运用条件“向量与实轴正向的夹角为45°”，而漏掉一解．
备选变式
已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos
2θ，其中θ∈(0，π)．设对应的复数是z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
【解】 (1)∵点A，B对应的复数分别是
z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos
2θ，
∴点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos
2θ)，
∴＝(－cos2θ，cos
2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos
2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)，
∴对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x，
得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，
∴sin
θ＝±.
又∵θ∈(0，π)，∴sin
θ＝，∴θ＝或.
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-3.2.1
复数代数形式的加减运算及其几何意义
【学情分析】：
学生在建立了复数的概念以后,很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算.由于实数是复数的一部分,在建立复数运算时应当遵循的一个原则是作为复数的实数,在复数集里运算时和在实数集里的运算应当是一致的.
复数兼备代数形式和几何形式(点表示和向量表示),对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习有助于理解复数两种表示形式的统一,同时也提供了一个数形结合思想的载体.
【教学目标】：
（1）知识与技能：
了解复数代数形式的加减运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
（2）过程与方法：
从实数集中的相关概念以及运算出发，对比引出复数的加减法的定义，对比复数的代数形式，复数的向量形式同样具备其自身的加减法法则。培养学生类比、化归、数形结合的思想方法。
（3）情感态度与价值观：
通过复数的代数形式的加减运算的学习，体会数集运算定义的完备性与一致性，增加对数学逻辑美的认识。
【教学重点】：
复数代数形式的加减运算及其几何意义。
【教学难点】：
复数代数形式的加减运算几何意义。
【课前准备】：
powerpoint课件
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、复习引入
1．同学们在学实数的时候有绝对值的概念，在复数里叫做复数的模长，在实数集里有相反数的概念，那么复数还有没有相反复数的概念呢？2．实数与实数相加减得到的仍是实数，现在我们学习了复数这个数集，如果一个实数与一个纯虚数相加比如等于多少呢？或者一个实数加上一个虚数比如又等于什么呢？
将实数运算以及其中的概念提出，让学生对比思考在复数中相应的运算和概念，引出问题。
二、讲授新课（１）复数代数形式的加法运算
1．复数的加法：①设，规定。②复数的加法运算满足交换律、结合律，即对任意复数有
（２）复数代数形式的减法运算
２．复数的减法①已知复数，根据加法定义，存在惟一的复数使，叫做的相反数②设，规定
（３）复数加减法的几何意义
３．复数加减法的几何意义已知复数及其对应的向量如图，且不共线，以为邻边作平行四边形，根据向量的加法法则，对角线所表示的向量，而所对应的坐标为，正是两个复数之和所对应的有序实数对。因此复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，类似地，向量所对应两个复数的差，作，则点也对应复数。
三、运用新知
，体验成功
练习1：计算：写出下列各复数的相反数：计算：解：①2，，，②③，，，
及时运用新知识，巩固练习，让学生体验成功，为了使学生实现从掌握知识到运用知识的转化，使知识教育与能力培养结合起来，设计分层练习
四、师生互动，继续探究
计算：解：原式＝＝。分析：复数的加减法，相当于多项式中加减中的合并同类项的过程，两个复数相加减，就是把实部与实部，虚部与虚部分别加减。例２．已知复数，若，证明复数是纯虚数或０。解：将代入得，，运算得：所以，所以，当时，，当时，为纯虚数。分析：本题是证明一个虚数数为纯虚数的等价条件。例３．已知对应的向量分别为，以为邻边作平行四边形，求向量对应的复数。解：由复数加减法的几何意义知：向量对应的复数为，向量对应的复数；向量对应的复数。
让学生进行复数代数形式加减运算。
五、分层练习，巩固提高
探究活动：练习2
：①已知复数满足？②在复平面内，复数对应的向量分别是对应的复数以及两点之间的距离。解：①②2，
通过多角度的练习，并对典型错误进行讨论与矫正，使学生巩固所学内容，同时完成对新知的迁移。
六、概括梳理，形成系统（小结）
采取师生互动的形式完成。即：学生谈本节课的收获，教师适当的补充、概括，以本节知识目标的要求进行把关，确保基础知识的当堂落实。
采取师生互动的形式完成。
七、布置作业
课后作业。2、设计题可根据自己的喜好和学有余力的同学完成。
1．计算的结果为（
）
A.1
B.
C.
D.
解：Ａ
2．已知复数＝（
）
A．0
B。 C。
6 D。
解：Ｄ
3．等于（ ）
A．
B． C．2 D．
解：Ｂ
4．若（
）.
A.
一个点
B.
两个点
C.
四个点
D.
一个圆
解：Ｄ
5．表示（
）.
A.
点（3，2）与点（1，1）之间的距离
B.
点（3，2）与点（-1，-1）之间的距离
C.
点（3，2）到原点的距离
D.以上都不对
解：Ａ
6．在复平面上复数所对应的分别是Ａ，Ｂ，Ｃ，则平行四边形ＡＢＣＤ的对角线BD的长为 。
解：。
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-§3.2.2
复数的乘法和除法
【学情分析】：
学生在建立了复数的概念以后,很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算.由于实数是复数的一部分,在建立复数运算是,应当遵循的一个原则是作为复数的实数,在复数集里运算时和在实数集里的运算应当是一致的.
在学习了复数的加减法之后，学生对复数的乘除法以及其与实数乘除法的区别的好奇心自然也呼之欲出。.
【教学目标】：
（1）知识目标：
能进行复数代数形式的乘除运算.
（2）过程与方法目标：
从实数的乘除运算及其运算律出发，对比引出复数的的乘除法定义及其运算律，通过实现实数与虚数的转化，培养学生转化的思想。
（3）情感与能力目标：
通过复数的乘除法的学习，体会实虚数的矛盾和统一，加深对数学的情感认识。
【教学重点】：
的运算和分母实数化。
【教学难点】：
复数除法中的分母实数化。
【课前准备】：
powerpoint课件
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、复习引入
1．根据虚数单位的定义,
满足方程,那么呢,呢？2．实数与实数相乘除得到的仍是实数，实数的乘除满足交换律、结合律，乘法对加法的分配律，复数的乘除还满足这些运算律吗？两个虚数相乘能得到实数吗？
通过虚数单位的定提出问题，通过实数运算的对比引出复数乘除法的定义。
二、讲授新课（１）复数的乘法运算
1．复数的乘法：①设，规定。②复数的乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，即对任意复数有③实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对复数有：④
（２）复数的除法运算
２．复数的除法①已知复数，叫做的倒数。它满足显然②设，规定=
三、运用新知
，体验成功
练习1：计算：计算：解：①，，，，1，1，②，0③，，，1
及时运用新知识，巩固练习，让学生体验成功，为了使学生实现从掌握知识到运用知识的转化，使知识教育与能力培养结合起来，设计分层练习
四、师生互动，继续探究
求证：
解：分析：（1）表明，两个共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方。例2．已知解：可写成，即。分析：在进行复数除法运算时，通常把化简整理．例３．设为非零复数，，问能否比较大小？若能，请指出他们的大小关系．解：设，由于A,B都是实数，所以可以比较大小，又当且仅当时，即时，取等号。分析：复数比较大小，则复数必须是实数，为实数．
让学生进行复数乘除法运算，并得到一些复数运算结论。
五、分层练习，巩固提高
探究活动：练习2
：①设复数．②已知．③已知为复数，为纯虚数，且，求解：①或②③。
通过多角度的练习，并对典型错误进行讨论与矫正，使学生巩固所学内容，同时完成对新知的迁移。
六、概括梳理，形成系统（小结）
采取师生互动的形式完成。即：学生谈本节课的收获，教师适当的补充、概括，以本节知识目标的要求进行把关，确保基础知识的当堂落实。
采取师生互动的形式完成。
七、布置作业
课后作业。2、设计题可根据自己的喜好和学有余力的同学完成。
1．若复数满足方程，则（
）
A.
B.
C.
D.
解：Ｄ
2．复数等于（
）
A．
B。 C。
D。
解：Ｄ
3．是虚数单位，（ ）
A．
B． C． D．
解：Ａ
4．已知的值。
解：＝，又，所以原式＝0。
5．计算：
解：。
6．已知的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数的模
解：，
，。
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