新疆兵团二中2012届高三第五次月考 数学文试题

兵团二中2012届高三第五次月考
数学（文科）试题（5-15）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1. 若是纯虚数，则的值为（ ）
A.-7 B. C.7 D.或
2．抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
3. 若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4. “cosα =”是“cos2α= -”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 过点（0,1）且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为 （ ）
A． B．
C． D．
6. 已知正项数列中，，，，则等于（ ）
A.16 B.8 C. D.4
7.△外接圆的半径为，圆心为，且， ，则等于（ ）
A. B. C. D.
8. 函数, 把的图象按向量 (>0)平移后，恰好得到函数=()的图象，则的值可以为（ ）
A． 　　 B． 　　 C．π 　　 D．
9. 若满足条件AB=，C=的三角形有两个，则边长BC的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10．现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（ ）
A. B. C. D.
11．若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为（ ）
A. 3 ：1 B . 4 ：1 C . 5 ：1 D. 6 ：1
12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形．若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题．每小题5分．共20分。把答案填写在答题卷上)
13．某长方体的三视图如右图，长度为的体对角线在正视图中的长度为，在侧视图中的长度为，则该长方体的全面积为________________.
14. 等差数列的首项为，公差为，其前项和为，则数列为递增数列的充分必要条件是________________.
15. 已知P是双曲线上一点，F1、F2是左右焦点，⊿P F1F2的三边长成等差数列，且∠F1 P F2=120°，则双曲线的离心率等于
16. 如果直线和函数的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是_______________.
三、解答题(本大题有6个小题；共70分．解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤)
17.（本题满分12分）
若的图像与直线相切，并且切点横坐标依次成公差为的等差数列.
(1)求和的值；
(2)在⊿ABC中，、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边。若是函数图象的一个对称中心，且=4，求⊿ABC外接圆的面积。
18.（本小题满分12分）
有A、B、C、D、E五位工人参加技能竞赛培训．现分别从A、B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．用茎叶图表示这两组数据如下：
　（Ⅰ）　现要从A、B中选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参加合适 请说明理由；
　（Ⅱ）　若从参加培训的5位工人中选2人参加技能竞赛，求A、B二人中至少有一人参加技能竞赛的概率．
19．（本题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB＝4， G为PD中点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC.
（Ⅰ）求证：AG⊥平面PCD；
（Ⅱ）求证：AG∥平面PEC；
（Ⅲ）求点G到平面PEC的距离.
20.（本小题满分12分）
已知抛物线：，过点（其中为正常数）任意作一条直线交抛物线于两点，为坐标原点.
（1）求的值；
（2）过分别作抛物线的切线，试探求与的交点是否在定直线上，证明你的结论.
21．（本小题满分12分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．
22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.
自圆外一点引圆的一条切线，切点为，为的中点，过点引圆的割线交该圆于两点，且，.
⑴求证： 与相似；
⑵求的大小.
23． (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
已知点P在曲线：（为参数，）上，点Q在曲线：上
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）求点P与点Q之间距离的最小值。
24. (本小题满分10分）选修4一5：不等式选讲
已知，不等式的解集为M .
(I)求M;
(II)当时，证明：.
第五次月考文数答案
答案及参考评分标准
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D D A C D C B C C C B
9C 若满足条件的三角形有两个，则应，又因为，故，. 故选C.
10C 通过将基本事件进行列举，求得概率为. 故选C.
12.【解析】如图，由题意知，，且 ．；．
∴，因此选B。
二、填空题：
13、 14、且.
15、 16、
13
14由，可得，整理得，而，所以且. 因此数列单调递增的充要条件是: 且.
16根据指数函数的性质，可知函数恒过定点.
将点代入，可得.
由于始终落在所给圆的内部或圆上，所以.
由，解得或，这说明点在以和为端点的线段上运动，所以的取值范围是.
三、解答题(本大题有6个小题；共70分．解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤)
17.
解：（1）= ………………3分
由题意，函数的周期为，且最大值为，
所以， ………………………………6分
（2）∵（是函数图象的一个对称中心
∴,又因为A为⊿ABC的内角，所以 ………………………8分
⊿ABC中，设外接圆半径为R，
则由正弦定理得：，即：
则⊿ABC的外接圆面积 ………………………………12分
18.　解：（Ⅰ）派B参加比较合适.理由如下：
＝=85，
＝=85，…2分
S2B＝［（78-85）2+（79-85）2+（80-85）2+（83-85）2+（85-85）2+（90-85）2+（92-85）2+（95-85）2］=35.5
S2A＝［（75-85）2+（80-85）2+（80-85）2+（83-85）2+（85-85）2+（90-85）2+（92-85）2+（95-85）2］=41……4分
∵＝，S2B＞S2A，∴B的成绩较稳定，派B参加比较合适. ……6分
（Ⅱ）任派两个（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10种情况；A、B两人都不参加（C，D），（C，E），（D，E）有3种．…10分
至少有一个参加的对立事件是两个都不参加，所以P=1-=．…12分
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥AG，
又PD⊥AG
∴AG⊥平面PCD …………4分
（Ⅱ）证明：作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD
∴EF∥AG，又AG 面PEC，EF 面PEC，
∴AG∥平面PEC ………………7分
（Ⅲ）由AG∥平面PEC知A、G两点到平面PEC的距离相等
由（Ⅱ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD ∴ AE∥平面PCD
∴ AE∥GF，∴ 四边形AEFG为平行四边形，∴ AE＝GF 、
PA＝AB＝4， G为PD中点，FG CD
∴FG＝2 ∴ AE＝FG＝2 ………………………9分
∴
又EF⊥PC，EF＝AG
∴
又 ，∴，即，∴
∴ G点到平面PEC的距离为. ………………………12分
20.解：(Ⅰ)设直线方程为，
消去得，所以……………2分
=
故. ……………6分
（Ⅱ）
方程为整理得
同理得方程为 ……………9分
联立方程
得 ，
故的交点在定直线上. ……………12分
21. 解：（Ⅰ）． ………………1分
① 当时，．
所以在单调递增，在单调递减． ………………2分
当，．
② 当时，令，得，，与的情况如下：
↘ ↗ ↘
故的单调减区间是，；单调增区间是． ………4分
③ 当时，与的情况如下：
↗ ↘ ↗
所以的单调增区间是；单调减区间是，．
………………6分
（Ⅱ）：由（Ⅱ）得， 时不合题意． ………………7分
当时，由（Ⅱ）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值．
设为的零点，易知，且．从而时，；时，．
若在上存在最小值，必有，解得．
所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．
………………9分
当时，由（Ⅱ）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值．
若在上存在最大值，必有，解得，或．
所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．
………………11分
综上，的取值范围是． ………………12分
22. 【解】
⑴ 因为为圆的切线，所以.
又为中点，所以.
因为，所以与相似. （5分）
⑵ 由⑴中与相似，可得.
在中，由，
得. (10分)
23. 解(1)由得曲线的普通方程 (x-1)2+y2=1(y≥0), ……………2分
又由=，得=,　∴　=9．
∴曲线的直角坐标方程为 x+y=9． ……………5分
半圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的圆心(1，0)到直线x+y=9的距离为4，
所以｜PQ｜min=4 1． …………………………10分
24.
P
A
G
D
C
B
E
P
A
G
D
C
B
E
F
O
∥
＝