新疆兵团二中2012届高三第五次月考 数学理试题

兵团二中2012届高三第五次月考
数学（理科）试题（5-15）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1. 若是纯虚数，则的值为（ ）
A.-7 B. C.7 D.或
2．抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
3. 若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4. “cosα =”是“cos2α= -”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 过点（0,1）且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6. 已知正项数列中，，，，则等于（ ）
A.16 B.8 C. D.4
7.△外接圆的半径为，圆心为，且， ，则等于（ ）
A. B. C. D.
8. 函数, 把的图象按向量 (>0)平移后，恰好得到函数=()的图象，则的值可以为（ ）
A． 　　 B． 　　 C．π 　　 D．
9. 现有4名教师参加说题比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一道题没有被这4位选中的情况有（ ）
A.288种 B.144种 C.72种 D.36种
10．设集合，，从集合中随机
地取出一个元素，则的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为（ ）
A. 3 ：1 B . 4 ：1 C . 5 ：1 D. 6 ：1
12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形．若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题．每小题5分．共20分。把答案填写在答题卷上)
13．若展开式中二项式系数之和是1024，常数项为，则实数的值是 ．
14. 如果随机变量则，
，.
已知随机变量，则 ；
15. 在斜三棱柱中, 底面是以∠ABC为直角的等腰三角形, 点在平面ABC上的射影为AC的中点D, AC＝2,＝3,则与底面ABC所成角的正切值为 .
16. 已知P是双曲线上一点，F1、F2是左右焦点，⊿P F1F2的三边长成等差数列，且∠F1 P F2=120°，则双曲线的离心率等于
三、解答题(本大题有6个小题；共70分．解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤)
17.（本题满分12分）
若的图像与直线相切，并且切点横坐标依次成公差为的等差数列.
(1)求和的值；
(2)在⊿ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边。若是函数图象的一个对称中心，且a=4，求⊿ABC外接圆的面积。
18.（本小题共12分）
甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．
19. （本小题满分12分）
如图，在斜三棱柱中，点、分别是、的中点，平面．已知，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求异面直线与所成的角；
（Ⅲ）求与平面所成角的正弦值．
20.（本小题满分12分）
已知抛物线：，过点（其中为正常数）任意作一条直线交抛物线于两点，为坐标原点.
（1）求的值；
（2）过分别作抛物线的切线，试探求与的交点是否在定直线上，证明你的结论.
21．（本小题满分12分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．
22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.
自圆外一点引圆的一条切线，切点为，为的中点，过点引圆的割线交该圆于两点，且，.
⑴求证： 与相似；
⑵求的大小.
23． (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
已知点P在曲线：（为参数，）上，点Q在曲线：上
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）求点P与点Q之间距离的最小值。
24. (本小题满分10分）选修4一5：不等式选讲
已知，不等式的解集为M .
(I)求M;
(II)当时，证明：.
第五次月考理数答案
理科数学 答案及参考评分标准
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D D A C D C B B B C B
9 B 首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法为，而后再将获得同一道题目的2位老师选出，选法为，最后将3道题目，分配给3组老师，分配方式为，即满足题意的情况共有种. 故选B.
12.【解析】如图，由题意知，，且 ．；．
∴，因此选B。
二、填空题：
13、 14、0.1362 15、 16、
三、解答题(本大题有6个小题；共70分．解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤)
17. （本小题满分12分）
解：（1）= ………………3分
由题意，函数的周期为，且最大值为，
所以， ………………………………6分
（2）∵（是函数图象的一个对称中心
∴,又因为A为⊿ABC的内角，所以 ………………………7分
⊿ABC中，设外接圆半径为R，
则由正弦定理得：，即：
则⊿ABC的外接圆面积 ………………………………12分
18. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，
故，解得或．
又，所以． …………………6分
（Ⅱ）依题意知的所有可能取值为2，4，6．
，，，
所以随机变量的分布列为：
所以的数学期望．………………12分
19. 19．解法一：（Ⅰ）证明：∵点、分别是、的中点，
∴ ，又∵平面，平面，
∴平面． 4分
（Ⅱ）∵平面，∴，又∵，且，
∴平面,∴． 6分
又∵， ∴四边形为菱形，
∴，且∴平面,
∴，即异面直线与所成的角为． 8分
(Ⅲ) 设点到平面的距离为，∵，
即△． 10分
又∵在△中，,∴△．
∴，∴与平面所成角的正弦值． 12分
解法二：如图建系，，
，
，
，
．………………2分
（Ⅰ）∵，，∴
，即，
又∵平面，平面，∴平面． 6分
（Ⅱ）∵，，∴，即∴，
∴异面直线与所成的角为． 8分
(Ⅲ)设与平面所成角为，∵，
设平面的一个法向量是
不妨令，可得， 10分
∴，∴与平面所成角的正弦值．
20.解：(Ⅰ)设直线方程为，
消去得，所以……………2分
=
故. ……………6分
（Ⅱ）
方程为整理得
同理得方程为 ……………9分
联立方程
得 ，
故的交点在定直线上. ……………12分
21. 解：（Ⅰ）． ………………1分
① 当时，．
所以在单调递增，在单调递减． ………………2分
当，．
② 当时，令，得，，与的情况如下：
故的单调减区间是，；单调增区间是． ………4分
↘ ↗ ↘
③ 当时，与的情况如下：
↗ ↘ ↗
所以的单调增区间是；单调减区间是，．
………………6分
（Ⅱ）：由（Ⅱ）得， 时不合题意． ………………7分
当时，由（Ⅱ）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值．
设为的零点，易知，且．从而时，；时，．
若在上存在最小值，必有，解得．
所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．
………………9分
当时，由（Ⅱ）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值．
若在上存在最大值，必有，解得，或．
所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．
………………11分
综上，的取值范围是． ………………12分
22. 【解】
⑴ 因为为圆的切线，所以.
又为中点，所以.
因为，所以与相似. （5分）
⑵ 由⑴中与相似，可得.
在中，由，
得. (10分)
23. 解(1)由得曲线的普通方程 (x-1)2+y2=1(y≥0), ……………2分
又由=，得=,　∴　=9．
∴曲线的直角坐标方程为 x+y=9． ……………5分
半圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的圆心(1，0)到直线x+y=9的距离为4，
所以｜PQ｜min=4 1． …………………………10分
24.