广东省珠海市2012届高三第二次调研考试数学文（2012珠海二模）

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珠海市2011-2012学年度第二学期高三质量监测
文科数学
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请在答题卡相应位置填涂答案）
１．已知全集，集合，则等于（ C ）
A.， B. ， C.，， D.，
２．已知单位向量，，其夹角为，则=（ ），
A.3 B. C.2 D.
３．在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是 （ ）
A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i
４．已知a、b是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条
５．斜率为的直线经过抛物线的焦点，则直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
６． 中，角所对的边，若，，，则　　　
A．　　B．　　C．　　D．
７．已知函数满足：当x1时，=；当x＜1时，=，则=
A． B． C． D．
8．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：
认为作业多 认为作业不多 总数
喜欢玩电脑游戏 18 9 27
不喜欢玩电脑游戏 8 15 23
总数 26 24 50
根据表中数据得到，参考下表：
P(K2≥k) 0.050 0.025 0.010 0.001
k 3.841 5.024 6.635 10.828
则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（ ）
A．97.5% B．95% C．90% D．99.9%
9．观察下列数表规律
则发生在数2012附近的箭头方向是(　　) 21世纪教育网
A． B． C． D．
10． 起点到终点的最短距离为（ ）
A．16 B．17 C． 18 D．19
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．答案请填在答题卡上.
11．某校高中部有三个年级，其中高三有学生人，现采用分层抽样法抽取一个容量为的样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽取了人，则高中部共有学生__________人.
12．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是_________；
13．甲乙两艘船都要在某个泊位停靠，若分别停靠4小时、8小时，假定它们在一昼夜的时间段内任意时刻到达，则这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为 ．
14．（坐标系与参数方程选做题）．
如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且，则 ．
15．（坐标系与参数方程选做题）曲线对称的曲线的极坐标方程为
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边都在第一象限内，并且分别与单位圆相交于A，B两点，已知A点的纵坐标为，B点的纵坐标为．（1）求的值；（2） 求的值．
17．（本小题满分12分）已知等比数列中，．
(1) 求通项；
(2) 若，数列的前项和为，求满足不等式<2012的n的最大值．
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18.（本小题满分14分）某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；
（2）请估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数；
（3）若样本第一组中只有一个女生，其他都是男生，第五组则只有一个男生，其他都是女生，现从第一、五组中各抽一个同学组成一个新的组，求这个新组恰好由一个男生和一个女生构成的概率．
19.（本小题满分14分）（文）在边长为的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．
（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；
（2）证明AB⊥平面BEF；
（3）求多面体E-AFNM的体积．
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20.（本小题满分14分）已知圆C方程：（x－1）2 + y 2=9，垂直于x轴的直线L与圆C相切于N点（N在圆心C的右侧），平面上有一动点P，若PQ⊥L，垂足为Q，且；
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知D为点P的轨迹曲线上第一象限弧上一点，O为原点，A、B分别为点P的轨迹曲线与轴的正半轴的交点，求四边形OADB的最大面积及D点坐标.
21.（本小题满分14分）已知函数HYPERLINK " http://www./" EMBED Equation.DSMT4 .
（Ⅰ）若曲线HYPERLINK " http://www./"经过点，曲线HYPERLINK " http://www./"在点处的切线与直线平行，求HYPERLINK " http://www./"的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求函数（HYPERLINK " http://www./"为实常数，）的极大值与极小值之差；
（Ⅲ）若HYPERLINK " http://www./"在区间内存在两个不同的极值点，求证：HYPERLINK " http://www./".
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文科数学
１．C２．B３．C４．A５．D６． C７．C8．A9．C10．B
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．答案请填在答题卡上.
11．3700
12．
13．
14．
15．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.解: 本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。
（1）由条件得 ， …………………………………………2分
为锐角，故 且 ，同理可得 ……………4分
因此，。 …………………………………………6分
（2），
…………………………………………7分
…………8分
，在上单调递增，
且 ，∴，……………10分
同理，∴ ……………11分
从而 ………………12分
17．
解：（1）数列是等比数列，
……………………………………………………………………… 2分
…………………………………………………………………………… 4分
于是… …………………………………………6分
（2）由可得… ………………………………..7分
又因为
所以数列是一个以为首项，为公差的等差数列。 …………………………8分
于是 …………………………………………………10分
因为，即，即
解得即……………11分
经过估算，得到的最大值为45…………………………………………………………12分
18.
解：
（1）由频率分布直方图知，成绩在第一组的为优秀，频率为0.06，
人数为：50×0.06=3
所以该样本中成绩优秀的人数为3。 …………………… 3分
（2）由频率分布直方图知，成绩在第三组的频率0.38，以此估计本年级900名学生成绩属于第三组的概率为0.38，
人数为：900×0.38=342
所以估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数为342。……… 7分
（3）样本中第一组共有3人，
由第五组的频率为0.08，可得第五组共有4人。
其中第五组四人记为、、、，其中a为男生，b、c、d为女生，第一组三人记为1、2、3，其中1、2为男生，3为女生，基本事件列表如下：
a b c d
1 1a 1b 1c 1d
2 2a 2b 2c 2d
3 3a 3b 3c 3d
所以基本事件有12个 …………………………………………………10分
恰为一男一女的事件有1b，1c，1d，2b，2c，2d，3a；共7个 ………12分
因此新组恰由一男一女构成的概率是. …………………13分
19.解：， ………1分
证明如下：
因翻折后B、C、D重合（如图），
所以MN应是的一条中位线， ………………3分
则HYPERLINK " http://www./"． ………6分
（2）因为 且
平面BEF， ……………8分
(3) 方法一 ，
∴， ………………………………………10分
又 　………………………………12分
∴． …………………………………14分
方法二：
………………………………………10分
由（2）知AB即是三棱锥A-BEF的高，AB=4
MB即是三棱锥M-BEN的高，MB=2，………………………………11分
………………………………………13分
………………………………14分
20.
.
解：（1）设点坐标为，…………………………………………………………1分
则，………………………………………………………………2分
………………………………………………………………3分
因为，所以， …………………………………4分
化简得………………………………………………………………5分
所以点的轨迹方程是……………………………………………6分
（2）依题意得，点坐标为，点坐标为…………………………………7分
设点坐标为，…………………………………………8分
则四边形的面积,………………………………………9分
………………10分
……………………………………11分
又因为，所以…………………………………………………12分
所以，即
所以四边形的最大面积为，………………………………………13分
当四边形的面积取最大时，，即，
此时点坐标为………………………………………………………………14分
21.解：（Ⅰ）HYPERLINK " http://www./"，………………………1分
直线的斜率为2，曲线在点处的切线的斜率为,
……① ………………………………………2分
曲线经过点，
……② ………………………………………3分
由①②得： ( http: / / www. / ) ……………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，，, 由，或.……………5分
当，即或时，，，变化如下表
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
由表可知：
……………7分
当即时，，，变化如下表
- 0 + 0 -
极小值 极大值
由表可知：
………………8分
综上可知：当或时，；
当时，……………………………………9分
（Ⅲ）因为在区间内存在两个极值点 ，所以，
即 ( http: / / www. / )在内有两个不等的实根．
∴ ( http: / / www. / ) …………………………………………………………11分
由 （1）+（3）得：， ………………………………………………………12分
由（4）得： ( http: / / www. / )，由（3）得：，
，∴ ( http: / / www. / )． …………………………13分
故 …………………………………………………………………………14分
．
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