广东省珠海市2012届高三第二次调研考试数学理（2012珠海二模）

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珠海市2011-2012学年度第二学期高三质量监测
理科数学
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请在答题卡相应位置填涂答案）
１．已知全集，集合，则等于（ C ）
A.， B. ， C.，， D.，
２．等比数列中，，又，则公比　　　
A．　　B．　　C．2　　D．
３．在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是 （ ）
A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i
４．已知a、b是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条
5． 中，角所对的边，若，，，则　　　
A．　　B．　　C．　　D．
6．已知函数满足：当x1时，=；当x＜1时，=，则=
A． B． C． D．
7．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：
认为作业多 认为作业不多 总数
喜欢玩电脑游戏 18 9 27
不喜欢玩电脑游戏 8 15 23
总数 26 24 50
根据表中数据得到，参考下表：
P(K2≥k) 0.050 0.025 0.010 0.001
k 3.841 5.024 6.635 10.828
则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（ ）
A．97.5% B．95% C．90% D．99.9%
8． 起点到终点的最短距离为（ ） 21世纪教育网
A．16 B．17 C． 18 D．1921世纪教育网
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．答案请填在答题卡上.
9.（理科）某校高中部有三个年级，其中高三有学生人，现采用分层抽样法抽取一个容量为的样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽取了人，则高中部共有学生____人.
10．（理科）已知单位向量，，其夹角为，则=__________
11．（理科）已知随机变量，， .
12．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是_________；
13．甲乙两艘船都要在某个泊位停靠，若分别停靠4小时、8小时，假定它们在一昼夜的时间段内任意时刻到达，则这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为 ．
14．（坐标系与参数方程选做题）．
如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且，则 ．
15．（坐标系与参数方程选做题）曲线对称的曲线的极坐标方程为 。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边都在第一象限内，并且分别与单位圆相交于A，B两点，已知A点的纵坐标为，B点的纵坐标为．（1）求的值；（2） 求的值．
17．（本小题满分12分）某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；
（2）请估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数；
（3）若样本第一组中只有一个女生，其他都是男生，第五组则只有一个男生，其他都是女生，现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男同学的数量为，求的分布列和期望．
21世纪教育网
18.（本小题满分14分）如图，长方体中，，．
（1）若分别是、中点，求证EF//平面；
（2）求二面角的正弦值．
21世纪教育网
19.（本小题满分14分）已知圆C方程：（x－1）2 + y 2=9，垂直于x轴的直线L与圆C相切于N点（N在圆心C的右侧），平面上有一动点P，若PQ⊥L，垂足为Q，且；
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知D为点P的轨迹曲线上第一象限弧上一点，O为原点，A、B分别为点P的轨迹曲线与轴的正半轴的交点，求四边形OADB的最大面积及D点坐标.
21世纪教育网
20.（本小题满分14分）已知函数HYPERLINK " http://www./".
（Ⅰ）若曲线经过点HYPERLINK " http://www./"，曲线在点HYPERLINK " http://www./"处的切线与直线平行，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求函数HYPERLINK " http://www./"（为实常数，HYPERLINK " http://www./"）的极大值与极小值之差；
（Ⅲ）若在区间HYPERLINK " http://www./"内存在两个不同的极值点，求证：.
21世纪教育网
21.已知函数，，数列满足：，
，
(1) 当时，求的值并写出数列的通项公式（不要求证明）；
(2) 求证：当时，；
(3) 求证：。
数学理参考答案
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请在答题卡相应位置填涂答案）
１．C
２．A
３．C
４．A
5． C
6．C
7．A 21世纪教育网
8．B
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．答案请填在答题卡上.
9. 3700
10．
11．
12．
13．
14．
15．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.解: 本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。
（1）由条件得 ， …………………………………………2分
为锐角，故 且 ，同理可得 ……………4分
因此，。 …………………………………………6分
（2），
…………………………………………7分
…………8分
，在上单调递增，
且 ，∴，……………10分
同理，∴ ……………11分
从而 ………………12分
17.
解：（1）由频率分布直方图知，成绩在第一组的为优秀，频率为0.06，
人数为：50×0.06=3
所以该样本中成绩优秀的人数为3。 …………………… 3分
（2）由频率分布直方图知，成绩在第三组的频率0.38，以此估计本年级900名学生成绩属于第三组的概率为0.38，
人数为：900×0.38=342
所以估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数为342。……… 7分
（3）的可能取值为1，2，3；
……… 8分
……… 9分
……… 10分
的分布列为
P 1 2 3
1/3 1/2 1/6
…… 11分
∴
…… 12分
18.．
(Ⅰ)证明：连接，则长方体中，
，，
、分别是和的中点
……………………………………………………………２分
………………………………………………4分
(Ⅱ)解：(理)连接设交于，连接
正方形中，又平面
平面……………………………5分
过作于，作于，连接、
平面 ………………………………6分
平面
……………………………………8分
就是二面角…………………………10分
，
，
，……………1２分
二面角的正弦值是 ……………………14分
19.
解：（1）设点坐标为，…………………………………………………………1分
则，………………………………………………………………2分
………………………………………………………………3分
因为，所以， …………………………………4分
化简得………………………………………………………………5分
所以点的轨迹方程是……………………………………………6分
（2）依题意得，点坐标为，点坐标为…………………………………7分
设点坐标为，…………………………………………8分
则四边形的面积,………………………………………9分
………………10分
……………………………………11分
又因为，所以…………………………………………………12分
所以，即
所以四边形的最大面积为，………………………………………13分
当四边形的面积取最大时，，即，
此时点坐标为………………………………………………………………14分
20. 解：（Ⅰ）HYPERLINK " http://www./"，………………………1分
直线的斜率为2，曲线在点处的切线的斜率为,
……① ………………………………………2分
曲线经过点，
……② ………………………………………3分
由①②得： ……………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，，, 由，或.……………5分
当，即或时，，，变化如下表
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
由表可知：
……………7分
当即时，，，变化如下表
- 0 + 0 -
极小值 极大值
由表可知：
………………8分
综上可知：当或时，；
当时，……………………………………9分
（Ⅲ）因为在区间内存在两个极值点 ，所以 ( http: / / www. / )，
即在 ( http: / / www. / )内有两个不等的实根．
∴ …………………………………………………………11分
由 （1）+（3）得： ( http: / / www. / )， ………………………………………………………12分
由（4）得：，由（3）得： ( http: / / www. / )，
( http: / / www. / )，∴． …………………………13分
故 …………………………………………………………………………14分
21.
(1)解：， ……………………………………2分
(2)证明：设，则，
∴在上为减函数，即，即，………………4分
设，则，
∴在上为增函数，即，即，………………5分
∴当时，。 ……………………………………6分
(3)由(1)知：当时，，
同理可证：当时，，即对，恒有：。…………7分
由得：，
∴ （） ………………8分
∴，，……，，
从而， …………………………………………10分
…11分
…………………13分
∴成立。 …………………14分
．
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