2021-2022学年华东师大新版八年级上册数学《第14章 勾股定理》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年华东师大新版八年级上册数学《第14章
勾股定理》单元测试卷
一．选择题
1．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（　　）
A．2，3，4
B．4，5，6
C．6，8，11
D．5，12，13
2．已知△ABC中，∠B≠∠C，求证：AB≠AC．若用反证法证这个结论，应首先假设（　　）
A．∠B＝∠C
B．∠A＝∠B
C．AB＝AC
D．∠A＝∠C
3．如图是我国一位古代数学家在注解《周髀算经》时给出的，曾被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它通过对图形的切割拼接，巧妙地证明了勾股定理这位伟大的数学家是（　　）
A．杨辉
B．刘徽
C．祖冲之
D．赵爽
4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，AM＝AC，BN＝BC，则MN的长为（　　）
A．2
B．2.6
C．3
D．4
5．如图，已知正方形B的面积为144，正方形C的面积为169时，那么正方形A的面积为（　　）
A．313
B．144
C．169
D．25
6．如图，三个正方形围成一个直角三角形，64，400分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积是（　　）
A．400+64
B．
C．400﹣64
D．4002﹣642
7．下列各组数据不是勾股数的是（　　）
A．2，3，4
B．3，4，5
C．5，12，13
D．6，8，10
8．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设（　　）
A．四边形中没有一个角是钝角或直角
B．四边形中至多有一个钝角或直角
C．四边形中没有一个角是锐角
D．四边形中没有一个角是钝角
9．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M为（　　）
A．2
B．﹣1
C．﹣1
D．
10．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．b2﹣c2＝a2
B．a：b：c＝5：12：13
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
D．∠C＝∠A﹣∠B
二．填空题
11．若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为　
　．
12．用反证法证明“如果|a|＞a，那么a＜0．”是真命题时，第一步应先假设　
　．
13．在直角三角形中，两边长分别为3和4，则最长边的长度为
　
　．
14．若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为　
　．
15．已知：在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则斜边AB＝　
　，斜边AB上的高线长为　
　．
16．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABDE的方法证明了勾股定理（如图），若Rt△ABC的斜边AB＝5，BC＝3，则图中线段CE的长为　
　．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE，AF分别是∠ABC，∠CAB平分线，BE，AF交于点O，OM⊥AB，AB＝10，AC＝8，则OM＝　
　．
18．三角形的三边长为a、b、c，且满足等式（a+b）2﹣c2＝2ab，则此三角形是　
　三角形（直角、锐角、钝角）．
19．若3，4，a和5，b，13是两组勾股数，则a+b的值是　
　．
20．用反证法证明“已知五个正数的和等于1，求证：这五个正数中至少有一个大于或等于”时，首先要假设　
　．
三．解答题
21．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且∠ABC＝90°，连接AC，试判断△ACD的形状．
22．利用勾股定理可以在数轴上画出表示的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹：
第一步：（计算）尝试满足＝，使其中a，b都为正整数，你取的正整数a＝　
　，b＝　
　；
第二步：（画长为的线段）以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt△OEF，使O为原点，点E落在数轴的正半轴上，∠OEF＝90°，则斜边OF的长即为．
请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）
第三步：（画表示的点）在下面的数轴上画出表示的点M，并描述第三步的画图步骤：　
　．
23．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会（ICM2002）的会标（图2），其图案正是由“弦图”演变而来．“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题：
（1）叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；
（2）证明勾股定理；
（3）若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值．
24．如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8．在其右侧的同一个平面内作△BCD，使BC＝8，CD＝2．求证：AB∥DC．
25．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
26．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
（1）在网格中画出长为的线段AB．
（2）在网格中画出一个腰长为、面积为3的等腰△DEF．
27．已知：如图，△ABC的面积为84，BC＝21，现将△ABC沿直线BC向右平移a（0＜a＜21）个单位到△DEF的位置．
（1）求BC边上的高；
（2）若AB＝10，
①求线段DF的长；
②连接AE，当△ABE是等腰三角形时，求a的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、22+32≠42，故不是直角三角形，故错误；
B、42+52≠62，故不是直角三角形，故错误；
C、62+82≠112，故不是直角三角形，故错误；
D、52+122＝132，故是直角三角形，故正确．
故选：D．
2．解：∵已知△ABC中，∠B≠∠C，求证：AB≠AC．
∴若用反证法证这个结论，应首先假设：AB＝AC．
故选：C．
3．解：由题意，可知这位伟大的数学家是赵爽．
故选：D．
4．解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB＝＝13，
又∵AC＝12，BC＝5，AM＝AC，BN＝BC，
∴AM＝12，BN＝5，
∴MN＝AM+BN﹣AB＝12+5﹣13＝4．
故选：D．
5．解：如图所示：
根据题意得：EF2＝169，DF2＝144，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
DE2＝EF2﹣DF2＝169﹣144＝25，
即正方形A的面积为25；
故选：D．
6．解：根据勾股定理和正方形的面积公式，得M＝400﹣64．
故选：C．
7．解：A、12+32≠42
，不能构成直角三角形，所以不是勾股数，故符合题意；
B、32+42＝52，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；
C、52+122＝132，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；
D、62+82＝102，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；
故选：A．
8．解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角．
故选：A．
9．解：由题意得AC＝＝＝，
故AM＝，BM＝AM﹣AB＝﹣3，
又∵点B表示的数为2，
∴点M表示的数为﹣1．
故选：C．
10．解：A、由b2﹣c2＝a2，可得：b2＝c2+a2，是直角三角形，故本选项错误；
B、由a：b：c＝5：12：13，可得（5x）2+（12x）2＝（13x）2，是直角三角形，故本选项错误；
C、由∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可得：∠C＝75°，不是直角三角形，故选项正确；
D、由∠C＝∠A﹣∠B，可得∠A＝90°，是直角三角形，故本选项错误；
故选：C．
二．填空题
11．解：∵52+122＝132，
∴三边长分别为5、12、13的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5、12，
∴此三角形的面积为×5×12＝30．
12．解：用反证法证明“如果|a|＞a，那么a＜0．”是真命题时，第一步应先假设：a≥0．
故答案为：a≥0．
13．解：①当4为斜边时，此时最长边为4．
②当4是直角边时，斜边＝＝5，此时最长边为5．
故答案是：4或5．
14．解：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，
故斜边长＝＝10，
故答案为
10．
15．解：根据勾股定理，得：AB＝＝10，
三角形的面积是×6×8＝24，
AB边上的高为＝4.8，
故答案为10，4.8
16．解：在Rt△ABC中，AC＝＝4，
∵Rt△ACB≌Rt△EFA，
∴AF＝BC＝3，EF＝AC＝4，
∴FC＝AC﹣AF＝1，
∴CE＝＝，
故答案为：．
17．解：过O作OG⊥AC于G，OH⊥BC于H，连接OC，
∵AF平分∠CAB，BE平分∠ABC，
∴OG＝OH＝OM，
∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝＝6
∴S△ABC＝AC?BC＝×AB?OM+AC?OG+BC?OH，
∴×8×6＝+×8×OG+，
∴OM＝2，
故答案为：2．
18．解：∵（a+b）2﹣c2＝2ab，
∴a2+2ab+b2﹣c2＝2ab，
∴a2+b2＝c2，
∴三角形是直角三角形．
故答案为直角．
19．解：∵3，4，a和5，b，13是两组勾股数，
∴a＝5，b＝12，
∴a+b＝17，
故答案为：17．
20．解：首先要假设这五个数都小于．
故答案为：这五个数都小于．
三．解答题
21．解：△ACD是直角三角形．理由是：
∵∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，
∴AC2＝AB2+BC2＝1+4＝5，
∴AC＝，
又∵AC2+CD2＝5+4＝9，AD2＝9，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形．
22．解：第一步：a＝4，b＝2；
第二步：如图，OF为所作；
第三步：如图，以原点为圆心，OF为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M为所作．
故答案为4，2；以原点为圆心，OF为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M为所作．
23．解：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
在直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，a2+b2＝c2．
（2）∵S大正方形＝c2，S小正方形＝（b﹣a）2，4SRt△＝4×ab＝2ab，
∴c2＝2ab+（b﹣a）2＝2ab+b2﹣2ab+a2＝a2+b2，
即a2+b2＝c2．
（3）∵4SRt△＝S大正方形﹣S小正方形＝13﹣1＝12，
∴2ab＝12．
∴（a+b）2
＝a2+b2+2ab
＝c2+2ab
＝13+12
＝25．
24．证明：∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8，
∴BD＝＝＝6，
∵BC＝8，CD＝2，
∴62+（2）2＝82，
∴△BDC是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥DC．
25．（1）证明：设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，
则AB＝5x，
在Rt△ACD中，AC＝＝5x，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：S△ABC＝×5x×4x＝40cm2，而x＞0，
∴x＝2cm，
则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．
①当MN∥BC时，AM＝AN，
即10﹣t＝t，
∴t＝5；
当DN∥BC时，AD＝AN，
得：t＝6；
∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6．
②∵点E是边AC的中点，CD⊥AB，
∴DE＝AC＝5，
当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；
当t＝4时，点M运动到点D，不构成三角形
当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．
如果DE＝DM，则t﹣4＝5，
∴t＝9；
如果ED＝EM，则点M运动到点A，
∴t＝10；
如果MD＝ME＝t﹣4，
过点E作EF⊥AB于F，如图3所示：
∵ED＝EA，
∴DF＝AF＝AD＝3，
在Rt△AEF中，EF＝4；
∵BM＝t，BF＝7，
∴FM＝t﹣7
则在Rt△EFM中，（t﹣4）2﹣（t﹣7）2＝42，
∴t＝．
综上所述，符合要求的t值为9或10或．
26．解：（1）如图所示：线段AB即为所求；
（2）△DEF即为所求．
27．解：（1）作AM⊥BC于M，
∵△ABC的面积为84，
∴×BC×AM＝84，
解得，AM＝8，即BC边上的高为8；
（2）①在Rt△ABM中，BM＝＝6，
∴CM＝BC﹣BM＝15，
在Rt△ACM中，AC＝＝17，
由平移的性质可知，DF＝AC＝17；
②当AB＝BE＝10时，a＝BE＝10；
当AB＝AE＝10时，BE＝2BM＝12，
则a＝BE＝12；
当EA＝EB＝a时，ME＝a﹣6，
在Rt△AME中，AM2+ME2＝AE2，
即82+（a﹣6）2＝a2，
解得，a＝，
则当△ABE是等腰三角形时，a的值为10或12或．