2021-2022学年华东师大新版九年级上册数学《第24章 解直角三角形》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年华东师大新版九年级上册数学《第24章
解直角三角形》单元测试卷
一．选择题
1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（　　）
A．AC2＝AD?AB
B．CD2＝CA?CB
C．CD2＝AD?DB
D．BC2＝BD?BA
2．如图，在Rt△ABC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，AB＝10，BD＝6，则BC的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C
B．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
D．∠A＝∠B＝3∠C
4．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（　　）
A．图中有三个直角三角形
B．∠1＝∠2
C．∠1和∠B都是∠A的余角
D．∠2＝∠A
5．在△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则cosA的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝5，AB＝13，那么cosA的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，将一个含有45°角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为2cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上．若测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最长边的长是（　　）
A．2cm
B．4cm
C．2cm
D．4cm
8．如图，CD是直角△ABC斜边AB上的高，CB＞CA，图中相等的角共有（　　）
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
9．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝4，则cosB的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．如图，AB⊥AF，EF⊥AF，BE与AF交于点C，点D是BC的中点，∠AEB＝2∠B．若BC＝8，EF＝，则AF的长是（　　）
A．
B．
C．3
D．5
二．填空题
11．在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于　
　°．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝8，DB＝2，则CD的长为　
　．
13．如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝　
　．
14．如图，BC⊥ED于O，∠A＝27°，∠D＝20°，则∠B＝　
　，∠ACB＝　
　．
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8cm，则BC＝　
　cm．
16．在直角三角形中，若两条直角边长分别为6cm和8cm，则斜边上的中线为　
　cm．
17．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠A＝　
　
18．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosB＝　
　．
19．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则tanB＝　
　．
20．在△ABC中，∠A＝90°，∠B、∠C的角平分线BE、CF交于点O，那么∠BOC的度数是　
　．
三．解答题
21．如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，求∠EDF．
22．如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，若AB＝4cm，BC＝10cm，求BD的长．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝2，CD＝4．求BD的长．
24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF⊥AB交CB于F．
（1）求证：CD∥EF；
（2）若∠A＝70°，求∠FEC的度数．
25．如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．
26．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于D，点E在AB的延长线上，∠E＝45°，若AB＝8，求BE的长．
27．如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．
（1）求证：ME＝MF；
（2）若∠A＝50°，求∠FME的度数．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴AC2＝AD?AB，CD2＝DA?DB，BC2＝BD?BA．
故选：B．
2．解：根据射影定理得：AB2＝BD×BC，
∴BC＝＝．
故选：D．
3．解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意；
B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意；
C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意；
D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
4．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，
∴△ACD∽△CBD∽△ABC．
A、∵图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本选项正确；
B、应为∠1＝∠B、∠2＝∠A；故本选项错误；
C、∵∠1＝∠B、∠2＝∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本选项正确；
D、∵∠2＝∠A；故本选项正确．
故选：B．
5．解：∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴AC＝＝12，
∴cosA＝＝，
故选：D．
6．解：∵∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，
∴cosA＝＝，
故选：A．
7．解：过点C作CD⊥AD，∴CD＝2，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD＝30°，
∴AC＝2CD＝2×2＝4，
又∵三角板是有45°角的三角板，
∴AB＝AC＝4，
∴BC2＝AB2+AC2＝42+42＝32，
∴BC＝4，
故选：D．
8．解：∵CD是直角△ABC斜边AB上的高，
∴∠ACB＝∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
同理得：∠B＝∠ACD，
∴相等的角一共有5对，
故选：D．
9．解：如图：
∵∠C＝90°，AC＝，AB＝4，
∴BC＝＝＝1，
∴cosB＝＝，
故选：C．
10．解：∵AB⊥AF，
∴∠FAB＝90°，
∵点D是BC的中点，
∴AD＝BD＝BC，
∴∠DAB＝∠B，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝2∠B，
∵∠AEB＝2∠B，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∵BC＝8，
∴AE＝AD＝4，
∵EF＝，EF⊥AF，
∴AF＝＝＝3，
故选：C．
二．填空题
11．解：在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于90°﹣38°＝52°．
故答案为52．
12．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝8，DB＝2，
∴CD2＝AD?BD＝8×2，
则CD＝4．
故答案是：4．
13．解：在Rt△ABC中，AB＝＝5，
由射影定理得，AC2＝AD?AB，
∴AD＝＝，
故答案为：．
14．解：∵∠A＝27°，∠D＝20°，
∴∠BEO＝∠A+∠D＝27°+20°＝47°，
∵BC⊥ED，
∴∠B＝90°﹣∠BEO＝90°﹣47°＝43°；
在Rt△COD中，∠ACB＝∠D+∠COD＝20°+90°＝110°．
故答案为：43°；110°．
15．解：根据含30度角的直角三角形的性质可知：BC＝AB＝4cm．
故答案为：4．
16．解：根据勾股定理得，斜边＝＝10cm，
∴斜边上的中线＝×斜边＝×10＝5cm．
故答案为：5．
17．解：作BE⊥AC于E，则BE＝6，AE＝5，
∴tan∠A＝＝＝1.2
故答案为1.2．
18．解：法一：
利用三角函数的定义及勾股定理求解．
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
设a＝x，b＝3x，则c＝2x，
∴cosB＝＝．
法二：
利用特殊角的三角函数值求解．
∵tanA＝
∴∠A＝30°，
∵∠C＝90°
∴∠B＝60°，
∴cosB＝cos60°＝．
故答案为：．
19．解：△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5．
∴tanB＝＝．
20．解：∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵角平分线BE、CF交于点O，
∴∠OBC+∠OCB＝45°，
∴∠BOC＝180°﹣45°＝135°．
故答案为135°．
三．解答题
21．解：∵∠AFD＝152°，
∴∠DFC＝28°，
∴∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠EDB＝∠DFC＝28°，
∴∠EDF＝180°﹣∠EDB﹣∠FDC＝180°﹣90°﹣28°＝62°．
22．解：由射影定理得，AB2＝BD?BC，
则BD＝＝1.6．
23．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∵AD＝2，CD＝4，
∴＝，
∴BD＝8．
24．（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
∵∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝45°，
∴∠DCE＝45°﹣20°＝25°，
∵CD∥EF，
∴∠FEC＝∠DCE＝25°．
25．证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAE，
∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠CEF＝∠AED，
∴∠CEF＝∠CFE．
26．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，
∴BC＝AB＝×8＝4，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠ABC＝90°，
又∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∴BD＝BC＝×4＝2，
在Rt△BCD中，CD＝＝＝2，
∵∠E＝45°，
∴∠DCE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DCE＝∠E，
∴DE＝CD＝2，
∴BE＝DE﹣BD＝2﹣2．
27．（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，M为BC的中点，
∴ME＝BC，MF＝BC，
∴ME＝MF；
（2）解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵MF＝MB，ME＝MC，
∴∠MFB＝∠ABC，∠MEC＝∠ACB，
∴∠BMF+∠CME＝360°﹣130°×2＝100°，
∴∠FME＝180°﹣100°＝80°．