人教版数学八年级上册13.3.1 等腰三角形同步练习（Word版含答案）

13.3.1
等腰三角形
一、单选题
1．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．已知的周长是10，，则底边长是（
）
A．8
B．6
C．4
D．3
2．如图，CD是△ABC的边AB上的中线，且CD＝AB，则下列结论错误的是（
）
A．AD＝BD
B．∠A＝30°
C．∠ACB＝90°
D．△ADC与△BCD的面积相等
3．如图，在中，为的中点，，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图所示，平分平分，且，设，则的周长为（
）
A．30
B．33
C．36
D．39
5．有下列说法：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高线相等：④等腰三角形两底角的平分线相等其中正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数是（
）
A．6
B．8
C．9
D．10
7．如图，在中，，垂足为，垂直平分，交于点，交于点，，若的周长为cm，cm，则（
）
A．cm
B．cm
C．cm
D．cm
8．若一个等腰三角形的两边分别是和，那么这个等腰三角形的（
）
A．腰长为
B．腰长为
C．周长为
D．周长为或
9．如图，等腰中，，以为圆心，长为半径画弧，分别交、于、两点，并连接、，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在中，，点D在CA的延长线上，于点E，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
11．如图，，和，，分别在的两边上，且，若，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
12．如图，有一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
13．如图，中，是的平分线，交于点，若，，则的长为（
）
A．11
B．12
C．13
D．14
14．如图，甲、乙两人同时从点O出发，并以相同的速度行走，其中甲沿北偏西20°方向行走，乙沿南偏西70°方向行走，行驶中乙始终在甲的（）
A．南偏西30°方向上
B．南偏西35°方向上
C．南偏西25°方向上
D．南偏西20°方向上
15．如图在△ABC中，AB=AC，AD=BC=8，点E，F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（
）
A．6
B．9
C．16
D．24
二、填空题
16．若一条长为32cm的细线能围成一边长等于8cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为___cm．
17．已知等腰的一个角是，则这个三角形的其余两个角为________．
18．如图，已知，，点为的外心，若，则____．
19．如图所示，在中，，则_____．
20．如图，在中，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是__________．
三、解答题
21．已知：如图，GB＝FC，AB=AC，D、E是BC上两点，作GE⊥BC，FD⊥BC，求证：GE＝FD．
22．如图，中，，垂足为点D，，垂足为点E，，和交于点F，联结，试说明．
23．如图，在中，，的垂直平分线交、于点、．
（1）若，求、的度数；
（2）若，，求的周长．
24．如图，在中，，点，在上，．
（1）求证：≌．
（2）若，，求的长．
25．如图，在中，，D为中点，点N在线段上，交于点M，．
（1）求度数；
（2）求的周长．
参考答案
1．C
解：∵△BCE的周长为10，
∴BE+EC+BC=10．
∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE=BE，
∴AE+EC+BC=10，
即AC+BC=10，
∵AC-BC=2，
∴BC=4，
故选：C．
2．B
解：A、∵CD是△ABC的边AB上的中线，
∴AD=BD，故A正确，不符合题意；
B、不能判定出∠A=30°，故B错误，符合题意；
C、∵CD=CD＝AB，
∴CD=AD=BD，
∴CD＝AB，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，
∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠ACD=90°，故C正确，不符合题意；
D、∵△ADC与△BCD边AD和BD上的高相等，且AD=BD，
∴△ADC与△BCD的面积相等，故D正确，不符合题意；
故选：B．
3．D
解：∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD=25°，
∴∠BAC=50°，
故选：D．
4．A
解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，
∴∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，
∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，
∴MO=MB，NO=NC，
∵AB=18，AC=12，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AB+AC=18+12=30．
故选：A．
5．D
解：①等腰三角形的两腰相等；正确；
②等腰三角形的两底角相等；正确；
③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；正确；
④等腰三角形两底角的平分线相等．正确．
故选：D．
6．D
解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有6个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：D．
7．A
解：∵AD⊥BC，BD=DE，EF垂直平分AC
∴AB=AE=EC
∵△ABC周长是26cm，AF=5cm
∴AC=10cm
∴AB+BC=16cm
∴AB+BE+EC=16cm
即2DE+2EC=16cm
∴DE+EC=8cm
∴DC=DE+EC=8cm
故选A．
8．B
解：当3为底时，其它两边都为6cm，3cm、6cm、6cm可以构成三角形，周长为15cm；
当3cm为腰时，其它两边为3cm和6cm，因为3+3=6(cm)，所以不能构成三角形，故舍去，
所以3cm不能作为腰长，6cm可以作为腰长，周长只能是15cm．
故选：B．
9．A
解：
由题意：
故选A
10．C
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：C．
11．D
解：∵AB=BC，
∴∠ACB=∠A=18°，
∴∠CBD=∠A+∠ACB=36°，
∵BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD=36°，
∴∠DCE=∠A+∠CDA=18°+36°=54°，
∵CD=DE，
∴∠CED=∠DCE=54°，
∴∠EDF=∠A+∠AED=18°+54°=72°，
∵DE=EF，
∴∠EFD=∠EDF=72°，
∴∠GEF=∠A+∠AFE=18°+72°=90°．
故选：D．
12．B
解：由题知，如图，为等腰直角三角形，∴
；
直尺边相互平行，∴
，∴；
又，∴
；
故选：B；
13．A
解：中，是的平分线，
，
，
∴∠BAD=∠ADE，
，
∵，,
，
．
故选：．
14．C
解：由题意得，∠1＝20°，∠2＝70°，AO＝BO，
∴∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵∠3＝∠1＝20°，
∴∠4＝25°，
∴乙始终在甲的南偏西25°方向上．
故选：C．
15．C
解：∵AB=AC，AD=BC=8，AD是△ABC的中线，
∴BD=DC=BC=4，AD⊥BC，
∴△ABC关于直线AD对称，
∴B、C关于直线AD对称，
∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，
∴S△BEF=S△CEF，
∵△ABC的面积是：×BC×AD=×8×8=32，
∴图中阴影部分的面积是S△ABC=16．
故选：C．
16．12
解：若腰长为8cm，则此三角形的另一边长为32-8-8=16（cm），
而8+8=16，无法构成三角形，
∴此情形舍去；
若底边为8cm，则腰长为（32-8）÷2=12（cm），
此时12+12＞8，12+8＞8，可以构成三角形．
故答案为：12．
17．70°，70°或40°，100°
解：①40°角是顶角时，底角=（180°-40°）=×140°=70°，
另两个角为70°，70°；
②40°角是底角时，顶角为180°-40°×2=100°，
另两个角为40°，100°，
所以，另两个角度数为70°，70°或40°，100°．
故答案为：70°，70°或40°，100°．
18．140
解：∵，
∴∠AED==70°
如图，延长BF，交AE于H点
∵点为的外心
∴F点在AE的垂直平分线上
又
∴BH是AE的垂直平分线，
∴BH⊥AE，
∴∠FBE=90°-∠AED=20°，
同理可得∠FCD=90°-70=20°
∴180°-∠FBE-∠FCD=140°
故答案为：140．
19．30°
解：∵∠ABC=120°，
∴∠A+∠C=180°-120°=60°．
∵AM=AN，CN=CP，
∴∠ANM=，∠CNP=，
∴∠MNP=180°--
=180°-90°+∠A-90°+∠C
=（∠A+∠C）
=×60°
=30°，
故答案为：30°．
20．9.6
解：∵，是的平分线，
∴（等腰三角形三线合一），
设点Q关于直线AD对称的对称点为，连接，如图，
∵是的平分线，
∴点在AB上（根据轴对称性质和角平分线性质），
∴，
∴当且C、P、三点共线时，
有最小值，即，
∵,
，，，
∴，
解得，，
∴的最小值是9.6，
故答案为：9.6
21．见详解
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵GE⊥BC，FD⊥BC，
∴∠GEB＝∠FDC＝90°，
又∵GB＝FC，
∴△BEG≌△CDF（AAS），
∴GE＝FD．
22．见解析．
解：∵，（已知），
∴，，（垂直的意义），
∴（等量代换）.
∵，
∴（等量代换）.
∵（对顶角相等），
∴
在与中，
∴（ASA），
∴（全等三角形的对应边相等），
∴.
∵，
∴．
23．（1）；；（2）19
解：∵AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，
∴BE=AE，∠ADE=∠BDE，
∵AB=BC，
∴∠C=∠BAC=∠3+∠4=72°，
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=180°-72°-72°=36°，
∴∠3=∠B=36°，
∴∠1=90°-∠3=54°；
（2）∵BD=6，
∴AB=2BD=2×6=12，
∴BC=12，
∵AE=BE，
∴AE+CE+AC=BC+AC=12+7=19．
即△AEC的周长为19．
24．（1）见解析；（2）2
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴≌．
（2）∵，，
∴，
∴，
∵≌，
∴．
25．（1）20°；（2）11
解：（1）∵
∴是等腰三角形．
∵，
∴．
又∵D为中点，
∴平分，即．
∴．
（2）∵，
∴．
又∵
∴．
∴是等腰三角形．
∴．
∵，，
∴的周长为：
．