人教版数学八年级上册13.3.2 等边三角形同步练习（word版有答案）

13.3.2
等边三角形
一、单选题
1．如图，已知点B、C、E在一直线上，、都是等边三角形，联结和，与相交于点F，与相交于点G，下列说法不一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在中，，垂足为D，BE平分交AD于点E，则DE的长为（
）
A．
B．3
C．
D．6
3．如图，在等腰中，的面积为3，将沿射线AB方向平移至的位置，连接CE，若，则AB的长为（
）
A．2
B．
C．
D．
4．如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则（
）
A．100°
B．105°
C．110°
D．115°
5．如图，在等边中，，点E在中线上，现有一动点P沿着折线运动，且在上的速度是4单位/秒，在上的速度是2单位/秒，当点P从A运动到C所用时间最少时，长为（
）
A．3
B．
C．
D．
6．如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（
）
A．30°
B．20°
C．25°
D．15°
7．如图，若是等边三角形，，是边上的高，延长到E，使，则（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
8．将如图所示的纸片折叠、粘合成正方体形状．下列结论：
①粘合时，线段AB与线段FG重合；
②在正方体中，DE所在的面与GH所在的面相对；
③在正方体中，AC
//DE；
④在正方体中，DE与EF的夹角是60°．
其中所有正确结论的序号是（
）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
9．如图，是的中线，，，点、为垂足，若，，则的长为（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
10．如图，等边三角形纸片ABC的周长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
11．如图所示，一个等边三角形纸片剪去一个角后变成一个四边形，则图中的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，且∠ABC＝60°，点O为△ABC内一点，且OA＝OC，作点B关于直线OC的对称点B'．连接BB'、OB'、CB'．下列结论正确的是（　　）
①∠OAB＝∠OCB；②；③当时，．
A．①
B．①③
C．②
D．①②③
13．如图：．按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作圆弧，交射线于点F．连结；②以点F为圆心，长为半径作圆弧，交弧于点G；③连结、．作射线．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（
）
A．
B．垂直平分
C．
D．
14．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，且AD=6，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PC与PE的和最小是（
）
A．3
B．4
C．6
D．8
15．如图，中，分别平分和，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②；③的周长等于的周长；④．其中正确的有（
）
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．②③④
二、填空题
16．如图，将边长为的等边三角形沿边向右平移，得到，则四边形的周长为________．
17．如图，，，若，则线段长为______．
18．如图，是等边三角形，点为的中点，于点，，，则的周长为_____．
19．如图，直线，是等边三角形，若，则的度数为__________．
20．如图，点在内部，，若添加一个条件：______．则是等边三角形．
三、解答题
21．如图，，，．求证：．
22．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，AD+EC＝AB．
（1）试说明：DE＝EF；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数；
（3）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD＝120°，并请说明理由．
23．已知：如图，B、C、E三点共线，，都是等边三角形，连结AE、BD分别交CD、AC于N、M，连结MN．求证：AE＝BD，MN∥BE．
24．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，点E、F分别在边AB，BC上，连接EO、FO，使∠EOF＝60°，连接EF．
（1）求∠BOC的度数．
（2）求证：CF＝BE+EF．
25．如图，在中，，点D，E，F分别在边上，且．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）当时，求的度数；
（3）若，判断是否为等边三角形．
参考答案
1．B
解：∵、都是等边三角形，
∴，=60°，，
∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，
∴（SAS），
∴BD=AE，（故A正确）；
∴∠AEC=∠BDC，又，，
∴（ASA），
∴EG=FD，（故C正确），
FC=GC，（故D正确）
由于B项不能由已知条件得到，故B错误，
故选：B．
2．B
解：∵，
∴，，
∵BE平分，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
3．D
解：过点C作，
，
∵将沿射线AB方向平移至的位置，，
∴，
∴，
∴，
∴在Rt△BCD中，，
∴，
解得，
故选：D．
4．B
解：∵是等边三角形，
∴∠B=60°，AB=AC，
∵是边上的中线，
∴BD=CD=，AD⊥BC，
∵，
∴ED=CD，∠EDC=90°，
∴∠ECD=∠DEC=45°，
∵∠AFC是△FBC的外角，
∴∠AFC=∠B+∠FCD=60°+45°=105°．
故选择：B．
5．D
解：作于点，
则点在上运动时间为，，
，
，
，
当，，共线时，点运动时间最短，
为三角形中线，点为重心，
，，
，
∴．
故选：D．
6．D
解：∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×60°=30°，
∴∠ADC=90°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°．
故选：D．
7．C
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=6，
∵BD是AC边上的高，
∴AD=CD=AC=3，∠DBC=∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴CE=AC=3，
∴BE=BC+CE=6+3=9．
故选：C．
8．B
解：根据正方体的平面展开图，折叠成几何体的直观图，
如图所示：
①粘合时，线段AB与线段FG重合，故①正确，符合题意；
②在正方体中，DE所在的面与GH所在的面相对，故②正确，符合题意；
③在正方体中，AC
和DE不在同一平面内，不平行，故③错误，不符合题意；
④在正方体中，连接BD，所以△BDE为等边三角形，DE与EF所在直线成60°角，故④正确，符合题意．
故选：B．
9．D
解：∵，
∠1+∠2=180°，
∴∠2=60°，
∴∠DCE=30°，
∵点D是CB的中点，BD=CD，
∵，，
∴∠BFD=∠CED=90°，
∵∠BDF=∠CDE，
∴△BDF△CDE，
∴DE=DF
∵，
∴DE=3，
∴CD=6，
∴BC=12，
故选：D
10．B
解：∵等边三角形纸片ABC的周长为6，
∴
∵E，F是边BC上的三等分点，
∴EF=，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
又∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴剪下的△DEF的周长是×3=2．
故选：B．
11．C
解：如图，
由等边三角形可知：
∴∠1+∠2=360°-（∠A+∠B）=360°-120°=240°．
故选：C．
12．D
解：如图，连接OB，设AB交于J．，设OA交于K．
∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
在△ABO和△CBO中，
，
∴△ABO≌△CBO（SSS），
∴∠BAO＝∠BCO，∠ABO＝∠CBO＝30°，故①正确
∵B，关于OC对称，
∴，，故②正确，
∴，
∵，
∴OC⊥AO，
∴∠AOC＝90°，
∵∠OKC＝∠AKJ，∠BCO＝∠B′CO＝∠JAK，
∴∠AJK＝∠COK＝90°，
∴，故③正确．
故选：D．
13．D
解：由作法得OC=OF=
OG，FG=
FC，则OF垂直平分CG，
所以B选项的结论正确；
∵C点与G点关于OF对称
∴∠FOG=∠FOC=30°，
∴∠AOG
=60°，
所以A选项的结论正确;
∴△OCG为等边三角形，
OG
=
CG，
所以C选项的结论正确;
在Rt△OCM中，∵∠COM
=30°
∴OC
=
2CM，
∵CF
>
CM，
FC=
FG，
∴
OC
≠2FG，
所以D选项的结论错误
故选：D.
14．C
解：如图，连接BE，与AD交于点P，连接CP，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，BC=AC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，根据两点之间线段最短，BE的长就是PE+PC的最小值，
∵E是AC的中点，
∴BE⊥AC，
∵S△ABC=BC·AD=AC·BE，
∴BE=AD=6，
即PC与PE的和最小值是6．
故选：C．
15．C
解：①是的角平分线，
，
又，
，
，故①正确；
②同理，故②正确；
③假设为等边三角形，则，如图，连接，
，，
，，
的周长，
是，的平分线的交点
第三条平分线必过其点，即平分，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
即的周长的周长，故③错误；
④在中，（1），
在中，
即（2），
（2）（1）得，故④正确；
故选C．
16．21
解：∵△ABC沿边BC向右平移3cm得到△DEF，
∴DF=AC=5cm，AD=CF=3cm，
∴四边形ADFB的周长=AB+BC+CF+DF+AD，
=5+5+3+5+3，
=21（cm），
故答案为：21．
17．8
解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
在△DHE和△FCE中，
故答案为8．
18．27
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC．
∵点D为AB的中点，AD=6，
∴AB=2AD=12．
∵DE⊥AC于点E，AD=6，
∴∠ADE=30°，
∴AE=AD=3，
∴CE=AC-AE=9．
∵EF//AB，
∴∠FEC=∠A=60°，
∵∠C=60°，
∴△EFC是等边三角形．
∴△EFC的周长=9+9+9=27．
故答案为27．
19．
解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
20．AD=DE或∠EAD=60°或∠BAC=60°或AB=BC等
解：∵△DAB≌△EAC，
∴AD=AE，
若添加条件：AD=DE，则△EAD是等边三角形；
若添加条件：∠EAD=60°，则△EAD是等边三角形；
若添加条件：∠BAC=60°，
∵△DAB≌△EAC，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴∠EAD=∠CAE+∠CAD=∠BAD
+∠CAD
=60°，
∴△EAD是等边三角形；
若添加条件：AB=BC，同理可得△EAD是等边三角形．
故答案为：AD=DE或∠EAD=60°或∠BAC=60°或AB=BC等．
21．证明见解析
证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
22．（1）证明见解析；（2）70°；（3）∠A=60°，理由见解析．
解：（1）∵AB＝AD+BD，AB＝AD+EC，
∴BD＝EC，
在△DBE和△ECF中，，
∴△DBE≌△ECF（SAS）
∴DE＝EF．
（2）∵∠A＝40°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠BDE+∠DEB＝180°-40°=110°．
∵△DBE≌△ECF，
∴∠BDE＝∠FEC，
∴∠FEC+∠DEB＝110°，
∴∠DEF＝180°-110°=70°．
（3）当∠A＝60°时，∠EDF+∠EFD＝120°，理由如下：
∵∠EDF+∠EFD＝120°，
∴∠DEF＝180°-120°=60°，
由（2）知，∠DEF＝∠B，
∴∠B＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴当∠A＝60°时，∠EDF+∠EFD＝120°．
23．见解析
证明：都是等边三角形
∴
∠1＋∠2＋∠3＝180°
∴∠2＝60°∴
在和中
（已证）
∴（SAS）
∴（全等三角形对应边相等）
（全等三角形对应角相等）
在和中
（已证）
∴（ASA）
∴（全等三角形对应边相等）
∵∠2＝60°
∴是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴∠6＝60°，∴∠6＝∠1
∴（内错角相等，两直线平行）
24．（1）∠BOC＝120°；（2）见解析．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OCB＝，
∴∠BOC＝∠OBC∠OCB＝；
（2）以点O为顶点，OF为一边，作∠FOG＝，交BC于点G，
∵∠BOC＝，
∴∠BOF+∠COG＝，
∵∠EOF＝，
∴∠EOB+∠BOF＝，
∴∠COG＝∠EOB，
∵∠ABO＝∠ABC＝，
∴∠EBO＝∠OCG，
在BOE与COG中，
，
∴，
∴OG＝OE，BE＝CG，
在OEF与OGF中，
，
∴，
∴EF＝FG，
∵CF＝FG+CG，
∴CF＝EF+BE．
25．（1）见解析；（2）65°；（3）是，理由见解析
解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BDE和△CEF中，
∵，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵∠DEC=∠B+∠BDE，
即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠CEF=∠BDE，
∴∠DEF=∠B，
又∵在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，
∴∠B=65°，
∴∠DEF=65°；
（3）由（1）知：△DEF是等腰三角形，即DE=EF，
由（2）知，∠DEF=∠B，
∵∠A=∠DEF，
∴∠A=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠A=∠B=∠C，
∴△ABC的等边三角形，
∴∠B=∠DEF=60°，
∴△DEF是等边三角形．