2.5 三角函数的应用同步练习（含答案）
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第二章 直角三角形的边角关系
5 三角函数的应用
知识能力全练
知识点一 三角函数的应用——仰角、俯角问题
1.如图所示，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处的仰角为30°，则甲楼高度为（ ）
A.11米 B.（36-15）米 C.15米 D.（36-10）米
2.如图所示，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝30m，在教学楼AC的底部C点测实验楼顶部B点的仰角为α，且sinα＝，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，则教学楼AC的高度是__________m（结果保留根号）.
3.如图所示，小华在楼上D处观察楼前坡度i＝1:2.4的山坡上警示牌CE的底端C的俯角为30°，已知BC＝13米，AB＝18米，求小华的观察点距地面的距离AD的长.
4.为了测量某山（如图所示）的高度.甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为100米，已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB（结果保留根号）.
5.如图所示，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为30°，已知AB＝6m，DE＝10m.求乙楼的高度AC的长.（参考数据:≈1.41，≈1.73，精确到0.1m）
6.如图所示，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度.（精确到0.1米，参考数据:≈1.41，≈1.73）
知识点二 三角函数的应用——方向角问题
7.如图所示，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离约为_________海里（结果保留整数）.（参考数据:sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，≈2.24）
8.如图所示，一艘货轮以18km/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，货轮继续向东航行30分钟后到达C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B的距离是___________km.
9.为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上.
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据:≈1.414，≈1.732）
10.如图所示，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B，C.一艘轮船从A处
出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B，C处分别测得∠ABD＝45°，∠C＝37°.求轮船航行的距离AD.（参考数据:sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
知识点三 三角函数的应用——坡度、坡角问题
11.为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动如图所示，在一个坡度（或坡比）i＝1:2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（ ）
（参考数据:sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
A.17.0米 B.21.9米 C.23.3米 D.33.3米
12.如图所示，某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB.BC长6米，坡角β为45°，AD的
坡角a为30°，则AD的长为__________米（结果保留根号）.
13.如图所示，某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度i＝1:2.4，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD.（参考数据:sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
巩固提高全练
14.为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习.如图所示，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向距离A（30＋30）km处.学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车速度是30km/h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）.
15.如图所示，防洪大堤的横截面ABGH是梯形，背水坡AB的坡度i＝1:（垂直高度AE与水平宽度BE的比），AB＝20米，BC＝30米，身高为1.7米的小明（AM＝1.7米）站在大堤A点（M，A，E三点在同一条直线上），测得电线杆顶端D的仰角∠a＝20°.
（1）求∠ABC的度数；
（2）求电线杆CD的高度.（结果精确到个位，参考数据sin20°≈0.3，cos20°≈0.9，tan20°≈0.4，≈1.7）
16.如图所示，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°若斜面坡度为1:，则斜坡AB的长是__________米.
17.某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度.如图所示，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，求桥AB的长度.
18.数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度.
（精确到1m.参考数据:sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°＝0.67，≈1.73）
19.如图所示，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路.请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7数据信息，解答下列问题:
（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25％，结果提前50天完成了施工任务求施工队原计划每天修建多少千米.
20.下图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图.已知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米.通过计算判断:当sina＝，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部？
21.如图所示，在东西方向的海面线MN上，有A，B两艘巡逻船，两船同时收到渔船C在海面停滞点发出的求救信号，测得渔船分别在巡逻船A，B的北偏西30°和北偏东45°方向，巡逻船A和渔船C相距120海里.（结果取整数，参考数据:≈1.41，≈1.73，≈2.45）
（1）求巡逻船B与渔船C间的距离；
（2）已知在A，B两艘巡逻船间有一观测点D（A，B，D在直线MN上），测得渔船C在观测点D的北偏东15°方向，观测点D的45海里范围内有暗礁.若巡逻船B沿BC方向去营救渔船C，问有没有触礁的危险？并说明理由.
参考答案
1.D 2.（10+40）
3.解析 如图，延长EC交AB于点H，过点C作CF⊥AD于F.
∵BC的坡度为1:2.4，∴设CH＝x（x＞0）米，则HB＝2.4x米，
由勾股定理，得CH2＋HB2＝BC2,即x2＋（2.4x）2＝132，解得x＝5.
∴CH＝AF＝5米，HB＝12米,∴CF＝HB＋AB＝12＋18＝30米.
在Rt△DCF中，DF＝CF·tan∠DCF＝30×tan30°＝10米.
∴AD＝AF＋DF＝（5＋10）米.
∴小华的观察点距地面的距离AD的长为（5＋10）米.
4.解析 根据题意，知AB⊥BD，∠CAB＝∠ACB＝45°，∠D＝∠EAD＝30°，CD＝100米，
在Rt△ABC中，AB＝BC，在Rt△ABD中，BD＝BC＋CD＝AB＋100，
tanD＝tan30°＝，即.解得AB＝50（＋1）米.
答:山高AB为50（＋1）米.
5.解析 过点E作EF⊥AC于F，则四边形CDEF为矩形.
∴EF＝CD，CF＝DE＝10m.易知∠EBF＝60°，∠DAC＝45°，
设AC＝xm，则CD＝EF＝xm，BF＝（x-16）m，
在Rt△BEF中，∠EBF＝60°，tan∠EBF＝，
∴。∴x＝24＋8≈37.8.
答:乙楼的高度AC的长约为37.8m.
6.解析 延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如图所示.
由题意，得MB＝HG＝FE＝ND＝1.6米，HF＝GE＝8米，MF＝BE，HN＝GD，MN＝BD＝24米.设AM＝x米，则CN＝x米，
在Rt△AFM中，MF＝（米）.
在Rt△CNH中，HN＝（米）.
∴HF＝MF＋HN-MN＝x＋x-24，即8＝x＋x-24，∴x≈11.7.
∴AB＝AM＋MB＝11.7＋1.6＝13.3（米）.
答:教学楼AB的高度为13.3米.
22 8. 18
9.解析 （1）由题意，得∠PAB＝90°-60°＝30°，∠ABP＝90°＋45＝135°，
∴∠APB＝180°-∠PAB-∠ABP＝180-30-135°＝15°.
（2）过点P作PH⊥AB于H，如图.
∵∠PBH＝45°，∴BH＝PH.设BH＝PH＝x海里，
由题意，得AB＝40×＝20（海里），则AH＝AB＋BH＝（20＋x）海里.
在Rt△APH中，tan∠PAH＝tan30°＝，即.
∴x＝10＋10≈27.32＞25.
∴海监船继续向正东方向航行安全.
10.解析 如图，过点D作DH⊥AC于点H.
在Rt△DCH中，CH＝.
在Rt△DBH中，BH＝.
∵BC＝CH-BH，∴DH-DH＝6.∴DH＝18 km.
在Rt△DAH中，AD＝km.
答:轮船航行的距离AD约为20km.
11.C 12.6
13.解析 如图，过点B作BE⊥AD于点E，过点B作BF⊥CD于点F.
易知四边形BEDF是矩形.∴FD＝BE，FB＝DE.
在Rt△ABE中，BE:AE＝1:2.4＝5:12.设BE＝5x米，AE＝12米，x＞0，
根据勾股定理，得AB2＝AE2＋BE2，即522＝（12x）2＋（5x）2，解得x＝4.
∴BE＝FD＝20米，AE＝48米.∴DE＝FB＝AD-AE＝72-48＝24米.
∴在Rt△CBF中，CF＝FB·tan∠CBF＝24×tan53°＝24×＝32米.
∴CD＝FD＋CF＝20＋32＝52米.
答:大楼的高度CD约为52米.
14.解析 如图，过点B作BD⊥AC于D.
由题意得，∠BAE＝45°，∠ABC＝180°-45°30°＝105°.
又∠CAE＝15°，∴∠BAC＝30°，∴∠ACB＝45°.设BD＝xkm.
在Rt△BCD中，∠DCB＝45°＝∠CBD，∴CD＝BD＝xkm，BC＝xkm.
在Rt△BDA中，AD＝km，AB＝2xkm.
∵CD＋AD＝（30＋30）km，∴x＋x＝30＋30.解得x＝30.
∴BC＝30km，AB＝60km.
第一组用时:60÷40＝1.5（h）；第二组用时:30÷30＝（h）.
∵＜1.5，第二组先到达目的地. 15.解析 （1）∵tan∠ABE＝i＝1:，∴∠ABE＝30°.∴∠ABC＝150°.
（2）如图，过M点作MN⊥CD于点N.
∵AB＝20米，∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝×20＝10米，BE＝AB·cos30°＝20×＝10米.∴CN＝ME＝AE＋AM＝10＋1.7＝11.7 ，MN＝CE＝ CB＋BE＝（30＋10）米.∵∠NMD＝20°，∴DN＝MN·tan20°≈（30＋10）×0.4＝（12＋4）米.
∴CD＝CN＋DN＝11.7＋12＋4＝23.7＋4≈31米.
答:电线杆CD的高度约为31米.
16.20
17.解析 如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D.
由题意，得∠MCA＝∠A＝60°，∠NCB＝∠B＝45°，CD＝120米.
在Rt△ACD中，AD＝（米），
在Rt△BCD中，BD＝＝120（米）.∴AB＝AD＋BD＝（40＋120）米.
答:桥AB的长度为（40＋120）米.
18.解析 在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，∠CAE＝34°，CE＝55m，
∵tan∠CAE＝，∴AC＝≈82.1（m）.
∵AB＝21m，∴BC＝AC-AB＝82.1-21＝61.1（m）.
在Rt△BCD中，tan∠DBC＝tan60°＝，
∴CD＝BC≈1.73×61.1＝105.7（m）.
∴DE＝CD-EC＝105.7-55≈51（m）.
答:炎帝塑像DE的高度约为51m.
19.解析 （1）如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.
在Rt△BCD中，CD＝BC·sinB＝BC·sin30°＝100×＝50（千米），
BD＝BC·cosB＝BC·cos30°＝100×＝50（千米）.
在Rt△ACD中，∠A＝45°，∴AD＝CD＝50（千米），AC＝（千米）.
∴AB＝AD＋DB＝（50＋50）千米.
∴AC＋BC-AB＝50＋100-（50＋50）＝50＋50-50≈35（千米）.
答:从A地到景区B旅游可以少走35千米.
（2）设施工队原计划每天修建x千米，依题意有，
解得.检验，是原方程的解..
答:施工队原计划每天修建约0.54千米.
20.解析 ∵BH＝0.6米，sina＝，∴AB＝米.
∴AH＝0.8米.∵AF＝FC＝2米，∴FB＝AF-AB＝1米.
过F作FK⊥BG，过E作EJ⊥FK，垂足分别为K、J.
在Rt△BKF中，sin∠KFB＝sina＝，BF＝1米，∴BK＝0.6米.
在Rt△EJF中，EF＝1.6米，∠FEJ＝a，∴可求得EJ＝1.28米，
∴EJ＋KB＝1.88米＜2米，∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部.
21.解析（1）过点C作CE⊥MN于E，如图所示，则∠ACE＝30°，∠CBE＝45°，
∴CE＝AC·cos30°＝120×＝60海里，∴BE＝CE＝60海里，
∴BC＝＝CE＝606≈147海里.
答:巡逻船B与渔船C间的距离约为147海里.
（2）没有触礁的危险.理由如下:
∵AE＝AC＝60海里，∴AB＝BE＋AE＝（60＋60）海里.
∵∠ACD＝∠ACE＋∠DCE＝30＋15°＝45°，∴∠ACD＝∠ABC.
又∵∠CAD＝∠BAC，∴△CAD∽△BAC.
∴，即，解得AD＝120（-1）.
∴BD＝AB-AD＝60＋60-120（-1）＝（180-60）海里.
过点D作DF⊥BC于F，如图所示.
∵∠ABC＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形.
∴DF＝BD·sin45°＝BD＝90-30≈53海里.
∵53＞45，∴没有触礁的危险.
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第二章 直角三角形的边角关系
5 三角函数的应用
知识能力全练
知识点一 三角函数的应用——仰角、俯角问题
1.如图所示，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处的仰角为30°，则甲楼高度为（ ）
A.11米 B.（36-15）米 C.15米 D.（36-10）米
2.如图所示，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝30m，在教学楼AC的底部C点测实验楼顶部B点的仰角为α，且sinα＝，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，则教学楼AC的高度是__________m（结果保留根号）.
3.如图所示，小华在楼上D处观察楼前坡度i＝1:2.4的山坡上警示牌CE的底端C的俯角为30°，已知BC＝13米，AB＝18米，求小华的观察点距地面的距离AD的长.
4.为了测量某山（如图所示）的高度.甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为100米，已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB（结果保留根号）.
5.如图所示，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为30°，已知AB＝6m，DE＝10m.求乙楼的高度AC的长.（参考数据:≈1.41，≈1.73，精确到0.1m）
6.如图所示，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度.（精确到0.1米，参考数据:≈1.41，≈1.73）
知识点二 三角函数的应用——方向角问题
7.如图所示，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离约为_________海里（结果保留整数）.（参考数据:sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，≈2.24）
8.如图所示，一艘货轮以18km/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，货轮继续向东航行30分钟后到达C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B的距离是___________km.
9.为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上.
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据:≈1.414，≈1.732）
10.如图所示，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B，C.一艘轮船从A处
出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B，C处分别测得∠ABD＝45°，∠C＝37°.求轮船航行的距离AD.（参考数据:sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
知识点三 三角函数的应用——坡度、坡角问题
11.为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动如图所示，在一个坡度（或坡比）i＝1:2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（ ）
（参考数据:sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
A.17.0米 B.21.9米 C.23.3米 D.33.3米
12.如图所示，某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB.BC长6米，坡角β为45°，AD的
坡角a为30°，则AD的长为__________米（结果保留根号）.
13.如图所示，某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度i＝1:2.4，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD.（参考数据:sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
巩固提高全练
14.为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习.如图所示，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向距离A（30＋30）km处.学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车速度是30km/h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）.
15.如图所示，防洪大堤的横截面ABGH是梯形，背水坡AB的坡度i＝1:（垂直高度AE与水平宽度BE的比），AB＝20米，BC＝30米，身高为1.7米的小明（AM＝1.7米）站在大堤A点（M，A，E三点在同一条直线上），测得电线杆顶端D的仰角∠a＝20°.
（1）求∠ABC的度数；
（2）求电线杆CD的高度.（结果精确到个位，参考数据sin20°≈0.3，cos20°≈0.9，tan20°≈0.4，≈1.7）
16.如图所示，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°若斜面坡度为1:，则斜坡AB的长是__________米.
17.某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度.如图所示，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，求桥AB的长度.
18.数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度.
（精确到1m.参考数据:sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°＝0.67，≈1.73）
19.如图所示，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路.请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7数据信息，解答下列问题:
（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25％，结果提前50天完成了施工任务求施工队原计划每天修建多少千米.
20.下图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图.已知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米.通过计算判断:当sina＝，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部？
21.如图所示，在东西方向的海面线MN上，有A，B两艘巡逻船，两船同时收到渔船C在海面停滞点发出的求救信号，测得渔船分别在巡逻船A，B的北偏西30°和北偏东45°方向，巡逻船A和渔船C相距120海里.（结果取整数，参考数据:≈1.41，≈1.73，≈2.45）
（1）求巡逻船B与渔船C间的距离；
（2）已知在A，B两艘巡逻船间有一观测点D（A，B，D在直线MN上），测得渔船C在观测点D的北偏东15°方向，观测点D的45海里范围内有暗礁.若巡逻船B沿BC方向去营救渔船C，问有没有触礁的危险？并说明理由.
参考答案
1.D 2.（10+40）
3.解析 如图，延长EC交AB于点H，过点C作CF⊥AD于F.
∵BC的坡度为1:2.4，∴设CH＝x（x＞0）米，则HB＝2.4x米，
由勾股定理，得CH2＋HB2＝BC2,即x2＋（2.4x）2＝132，解得x＝5.
∴CH＝AF＝5米，HB＝12米,∴CF＝HB＋AB＝12＋18＝30米.
在Rt△DCF中，DF＝CF·tan∠DCF＝30×tan30°＝10米.
∴AD＝AF＋DF＝（5＋10）米.
∴小华的观察点距地面的距离AD的长为（5＋10）米.
4.解析 根据题意，知AB⊥BD，∠CAB＝∠ACB＝45°，∠D＝∠EAD＝30°，CD＝100米，
在Rt△ABC中，AB＝BC，在Rt△ABD中，BD＝BC＋CD＝AB＋100，
tanD＝tan30°＝，即.解得AB＝50（＋1）米.
答:山高AB为50（＋1）米.
5.解析 过点E作EF⊥AC于F，则四边形CDEF为矩形.
∴EF＝CD，CF＝DE＝10m.易知∠EBF＝60°，∠DAC＝45°，
设AC＝xm，则CD＝EF＝xm，BF＝（x-16）m，
在Rt△BEF中，∠EBF＝60°，tan∠EBF＝，
∴。∴x＝24＋8≈37.8.
答:乙楼的高度AC的长约为37.8m.
6.解析 延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如图所示.
由题意，得MB＝HG＝FE＝ND＝1.6米，HF＝GE＝8米，MF＝BE，HN＝GD，MN＝BD＝24米.设AM＝x米，则CN＝x米，
在Rt△AFM中，MF＝（米）.
在Rt△CNH中，HN＝（米）.
∴HF＝MF＋HN-MN＝x＋x-24，即8＝x＋x-24，∴x≈11.7.
∴AB＝AM＋MB＝11.7＋1.6＝13.3（米）.
答:教学楼AB的高度为13.3米.
22 8. 18
9.解析 （1）由题意，得∠PAB＝90°-60°＝30°，∠ABP＝90°＋45＝135°，
∴∠APB＝180°-∠PAB-∠ABP＝180-30-135°＝15°.
（2）过点P作PH⊥AB于H，如图.
∵∠PBH＝45°，∴BH＝PH.设BH＝PH＝x海里，
由题意，得AB＝40×＝20（海里），则AH＝AB＋BH＝（20＋x）海里.
在Rt△APH中，tan∠PAH＝tan30°＝，即.
∴x＝10＋10≈27.32＞25.
∴海监船继续向正东方向航行安全.
10.解析 如图，过点D作DH⊥AC于点H.
在Rt△DCH中，CH＝.
在Rt△DBH中，BH＝.
∵BC＝CH-BH，∴DH-DH＝6.∴DH＝18 km.
在Rt△DAH中，AD＝km.
答:轮船航行的距离AD约为20km.
11.C 12.6
13.解析 如图，过点B作BE⊥AD于点E，过点B作BF⊥CD于点F.
易知四边形BEDF是矩形.∴FD＝BE，FB＝DE.
在Rt△ABE中，BE:AE＝1:2.4＝5:12.设BE＝5x米，AE＝12米，x＞0，
根据勾股定理，得AB2＝AE2＋BE2，即522＝（12x）2＋（5x）2，解得x＝4.
∴BE＝FD＝20米，AE＝48米.∴DE＝FB＝AD-AE＝72-48＝24米.
∴在Rt△CBF中，CF＝FB·tan∠CBF＝24×tan53°＝24×＝32米.
∴CD＝FD＋CF＝20＋32＝52米.
答:大楼的高度CD约为52米.
14.解析 如图，过点B作BD⊥AC于D.
由题意得，∠BAE＝45°，∠ABC＝180°-45°30°＝105°.
又∠CAE＝15°，∴∠BAC＝30°，∴∠ACB＝45°.设BD＝xkm.
在Rt△BCD中，∠DCB＝45°＝∠CBD，∴CD＝BD＝xkm，BC＝xkm.
在Rt△BDA中，AD＝km，AB＝2xkm.
∵CD＋AD＝（30＋30）km，∴x＋x＝30＋30.解得x＝30.
∴BC＝30km，AB＝60km.
第一组用时:60÷40＝1.5（h）；第二组用时:30÷30＝（h）.
∵＜1.5，第二组先到达目的地. 15.解析 （1）∵tan∠ABE＝i＝1:，∴∠ABE＝30°.∴∠ABC＝150°.
（2）如图，过M点作MN⊥CD于点N.
∵AB＝20米，∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝×20＝10米，BE＝AB·cos30°＝20×＝10米.∴CN＝ME＝AE＋AM＝10＋1.7＝11.7 ，MN＝CE＝ CB＋BE＝（30＋10）米.∵∠NMD＝20°，∴DN＝MN·tan20°≈（30＋10）×0.4＝（12＋4）米.
∴CD＝CN＋DN＝11.7＋12＋4＝23.7＋4≈31米.
答:电线杆CD的高度约为31米.
16.20
17.解析 如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D.
由题意，得∠MCA＝∠A＝60°，∠NCB＝∠B＝45°，CD＝120米.
在Rt△ACD中，AD＝（米），
在Rt△BCD中，BD＝＝120（米）.∴AB＝AD＋BD＝（40＋120）米.
答:桥AB的长度为（40＋120）米.
18.解析 在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，∠CAE＝34°，CE＝55m，
∵tan∠CAE＝，∴AC＝≈82.1（m）.
∵AB＝21m，∴BC＝AC-AB＝82.1-21＝61.1（m）.
在Rt△BCD中，tan∠DBC＝tan60°＝，
∴CD＝BC≈1.73×61.1＝105.7（m）.
∴DE＝CD-EC＝105.7-55≈51（m）.
答:炎帝塑像DE的高度约为51m.
19.解析 （1）如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.
在Rt△BCD中，CD＝BC·sinB＝BC·sin30°＝100×＝50（千米），
BD＝BC·cosB＝BC·cos30°＝100×＝50（千米）.
在Rt△ACD中，∠A＝45°，∴AD＝CD＝50（千米），AC＝（千米）.
∴AB＝AD＋DB＝（50＋50）千米.
∴AC＋BC-AB＝50＋100-（50＋50）＝50＋50-50≈35（千米）.
答:从A地到景区B旅游可以少走35千米.
（2）设施工队原计划每天修建x千米，依题意有，
解得.检验，是原方程的解..
答:施工队原计划每天修建约0.54千米.
20.解析 ∵BH＝0.6米，sina＝，∴AB＝米.
∴AH＝0.8米.∵AF＝FC＝2米，∴FB＝AF-AB＝1米.
过F作FK⊥BG，过E作EJ⊥FK，垂足分别为K、J.
在Rt△BKF中，sin∠KFB＝sina＝，BF＝1米，∴BK＝0.6米.
在Rt△EJF中，EF＝1.6米，∠FEJ＝a，∴可求得EJ＝1.28米，
∴EJ＋KB＝1.88米＜2米，∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部.
21.解析（1）过点C作CE⊥MN于E，如图所示，则∠ACE＝30°，∠CBE＝45°，
∴CE＝AC·cos30°＝120×＝60海里，∴BE＝CE＝60海里，
∴BC＝＝CE＝606≈147海里.
答:巡逻船B与渔船C间的距离约为147海里.
（2）没有触礁的危险.理由如下:
∵AE＝AC＝60海里，∴AB＝BE＋AE＝（60＋60）海里.
∵∠ACD＝∠ACE＋∠DCE＝30＋15°＝45°，∴∠ACD＝∠ABC.
又∵∠CAD＝∠BAC，∴△CAD∽△BAC.
∴，即，解得AD＝120（-1）.
∴BD＝AB-AD＝60＋60-120（-1）＝（180-60）海里.
过点D作DF⊥BC于F，如图所示.
∵∠ABC＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形.
∴DF＝BD·sin45°＝BD＝90-30≈53海里.
∵53＞45，∴没有触礁的危险.
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