第二十章
数据的分析
章末复习
重点回顾
1.平均数：
（1）算术平均数：；
（2）加权平均数：=
，其中，wn是xn的权.常见的权有：数值、百分数、比值、频数等.
2.中位数：将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是
数，则处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的
为这组数据的中位数.
3.众数：在一组数据中，出现次数最多的数（有时不止一个），叫做这组数据的众数.
4.方差：s2=
，一组数据的方差越大，数据的波动
；方差越小，数据的波动
.
5.平均数、中位数和众数的区别与联系
（1）联系：平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势，其中以平均数的应用最为广泛；
（2）区别：平均数的大小与这组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动；中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响.当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数来描述其集中趋势；众数主要研究某个数据出现的频数，其大小只与这组数据中的某些数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，我们往往关心众数.
数学思想
1.方程思想
已知三个不相等的正整数的平均数、中位数都是3，则这三个数分别为
.
2.转化思想
求数据388，386，378，383，380的平均数和方差.
3.数形结合思想
我市某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的知识竞赛，采用10分制计分，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀.这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和统计分析表如下所示，其中七年级代表队得6分、10分的选手人数分别为a，b.
队别
平均分
中位数
方差
合格率
优秀率
七年级
6.7
m
3.41
90%
n
八年级
7.1
7.5
1.69
80%
10%
（1）请依据图表中的数据，求a，b的值；
（2）直接写出表中m，n的值；
（3）有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级代表队的成绩比八年级代表队好，但也有人说八年级代表队的成绩比七年级代表队好.请你给出两条支持八年级代表队成绩好的理由.
4.统计思想
在“不闯红灯，珍惜生命”活动中，文明中学的关欣和李好两位同学某天来到城区中心的十字路口，观察、统计上午7：00～12：00中闯红灯的人次，制作如下两个统计图：
（1）求图1提供的五个数据（各时段闯红灯人次）的众数和平均数；
（2）估计一个月（按30天计算）上午7：00～12：00在该十字路口闯红灯的未成年人约有多少人次？
（3）根据统计图提供的信息向交通管理部门提出一条合理化建议.
强化训练
1.某种蔬菜按品质分成三个等级销售，销售情况如下表：
等级
单价/kg
销售量/kg
一等
5.0
20
二等
4.5
40
三等
4.0
40
则售出蔬菜的平均单价为__
__元/kg.
2.某学校把学生的纸笔测试、实践能力两项成绩分别按60％，40％的比例计入学期总成绩.小明实践能力的成绩是81分，若想学期总成绩不低于90分，则纸笔测试的成绩至少是___
___分.
3.已知一组从小到大排列的数据2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，则这组数据的众数是
__.
4.已知一组数据的方差，那么这组数据的平均数为___
__，样本容量为__
__.
5.
考察五位学生的学习情况，得到五个各不相同的数据，统计时，出现了一处错误：将最好成绩写得更高了，计算结果不受影响的是（
）
A.中位数
B.加权平均数
C.方差
D.平均数
6.下列说法正确的是（
）
A.一组数据7，7，6，4，5的中位数是7
B.如果一组数据3，2，x，5，6的平均数是4,则其中位数是5
C.如果一组数据x1，x2,…xn的平均数是，那么(x1-)+(x2-)+…+(xn-)=0
D.中位数是一组数据中居中数据的平均数
7.
在某校举行的“我的中国梦”演讲比赛中，10名参赛学生的成绩统计如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中正确的是（
）
A.平均数是80分
B.众数是5
C.中位数是80分
D.方差是110
8.某校在一次植树活动中，有一个小组15名同学的植树情况如下表：
数量/棵
2
3
4
5
6
人数
3
5
a
b
1
已知植树棵数的众数为3，则a的值可能是（
）
A.1，2，3，4
B.2，3，4
C.1，2，3
D.3，4，5
9.小明和小亮组成团队参加某科学比赛.该比赛的规则是：每轮比赛一名选手参加，若第一轮比赛得分满60则另一名选手晋级第二轮，第二轮比赛得分最高的选手所在团队取得胜利.为了在比赛中取得更好的成绩，两人在赛前分别作了9次测试，下图为二人测试成绩折线统计图，下列说法合理的是（
）
①小亮测试成绩的平均数比小明的高
②小亮测试成绩比小明的稳定
③小亮测试成绩的中位数比小明的高
④小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
10.（2019曲靖期末）中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的九年级男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的九年级男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成如下面两幅不完整的统计图：
请你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）直接写出这次测试成绩的众数和中位数；
（3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1
800人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？
11.
学校开展一次知识竞赛活动，满分10分，学生得分均为整数，6分及以上为合格，9分及以上为优秀，每组参赛人员都是10人.甲、乙两组学生竞赛成绩统计分析表和成绩分布折线统计图如下列图表所示：
成绩统计分析表
组别
平均分
中位数
合格率
优秀率
甲组
a
7.5
80%
20%
乙组
6.6
b
90%
10%
（1）求出成绩统计分析表中a，b的值；
（2）甲、乙两组成绩的方差哪个大？请简要说明判断理由.
中考链接
1.
某校随机抽查了10名参加2016年云南省初中学业水平考试学生的体育成绩，得到的结果如下表：
成绩/分
46
47
48
49
50
人数
1
2
1
2
4
下列说法正确的是（
）
A.这10名同学的体育成绩的众数为50
B.这10名同学的体育成绩的中位数为48
C.这10名同学的体育成绩的方差为50
D.这10名同学的体育成绩的平均数为48
2.（2020昆明）下列判断正确的是（
）
A.北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查
B.乙组数据6，5，8，7，9的中位数是8
C.甲、乙两组学生身高的方差分别为=2.3，=1.8，则甲组学生的身高较整齐
D.命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题
3.（2020云南）某公司员工的月工资如下：
员工
经理
副经理
职员A
职员B
职员C
职员D
职员E
职员F
杂工G
月工资/元
7000
4400
2400
2000
1900
1800
1800
1800
1200
经理、职员C、职员D从不同的角度描述了该公司员工的收入情况.
设该公司员工的月工资数据（见上述表格）的平均数、中位数、众数分别为k，m，n，请根据上述信息完成下列问题：
（1）k=___
__，m=___
__，n=___
___；
（2）上月一个员工辞职了，从本月开始，停发该员工工资.若本月该公司剩下的8
名员工的月工资不变，但这8名员工的月工资数据（单位：元）的平均数比原9名员
工的月工资数据（见上述表格）的平均数减小了.你认为辞职的那名员工可能是
___
___.
4.（2019
云南）某公司销售部有营业员15人，该公司为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励，为了确定一个适当的月销售目标，公司有关部门统计了这15人某月的销售量，如下表所示：
月销售量/件数
1
770
480
220
180
120
90
人数
1
1
3
3
3
4
（1）直接写出这15名营业员该月销售量数据的平均数、中位数、众数；
（2）如果想让一半左右的营业员都能达到月销售目标，你认为（1）中的平均数、中位数、众数中，哪个最适合作为月销售目标？请说明理由.
温馨提示：确定一个适当的月销售目标是一个关键问题，如果目标定得太高，多数营业员完不成任务，会使营业员失去信心；如果目标定得太低，不能发挥营业员的潜力.
5.（2020昆明）某鞋店在一周内销售某款女鞋，尺码（单位：cm）数据收集如下：
24
23.5
21.5
23.5
24.5
23
22
23.5
23.5
23
22.5
23.5
23.5
22.5
24
24
22.5
25
23
23
23.5
23
22.5
23
23.5
23.5
23
24
22
22.5
绘制以下不完整的频数分布表及频数分布直方图：
（1）请补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）若店主要进货，她最应该关注的是尺码的众数，上面数据的众数为___
___；
（3）若店主下周对该款女鞋进货120双，尺码在23.5≤x＜25.5范围的鞋应购进约多少双？第二十章
数据的分析
章末复习
重点回顾
1.平均数：
（1）算术平均数：；
（2）加权平均数：=
，其中，wn是xn的权.常见的权有：数值、百分数、比值、频数等.
2.中位数：将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是
奇
数，则处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的
平均数
为这组数据的中位数.
3.众数：在一组数据中，出现次数最多的数（有时不止一个），叫做这组数据的众数.
4.方差：s2=
[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]
，一组数据的方差越大，数据的波动
越大
；方差越小，数据的波动
越小
.
5.平均数、中位数和众数的区别与联系
（1）联系：平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势，其中以平均数的应用最为广泛；
（2）区别：平均数的大小与这组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动；中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响.当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数来描述其集中趋势；众数主要研究某个数据出现的频数，其大小只与这组数据中的某些数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，我们往往关心众数.
数学思想
1.方程思想
已知三个不相等的正整数的平均数、中位数都是3，则这三个数分别为
1，3，5（或2，3，4）
.
【解析】因为这三个不相等的正整数的中位数是3，设这三个正整数为a，3，b（a＜3＜b）.由平均数是3，得（a+b+3）=3，即a+b=6且a，b为正整数，故a可取1，2，分别求得b的值为5，4.所以这三个数分别为1，3，5或2，3，4.故答案为1，3，5（?或2，3，4?）.
2.转化思想
求数据388，386，378，383，380的平均数和方差.
解：将这5个数分别减去380后得8，6，-2，3，0.这组新数据的平均数为=3，方差为×［（8-3）2+（6-3）2+（-2-3）2+（3-3）2+（0-3）2］=13.6.
故原数据的平均数为380+3=383，方差为13.6.
3.数形结合思想
我市某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的知识竞赛，采用10分制计分，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀.这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和统计分析表如下所示，其中七年级代表队得6分、10分的选手人数分别为a，b.
队别
平均分
中位数
方差
合格率
优秀率
七年级
6.7
m
3.41
90%
n
八年级
7.1
7.5
1.69
80%
10%
（1）请依据图表中的数据，求a，b的值；
（2）直接写出表中m，n的值；
（3）有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级代表队的成绩比八年级代表队好，但也有人说八年级代表队的成绩比七年级代表队好.请你给出两条支持八年级代表队成绩好的理由.
解：（1）根据题意，得
解得
（2）m=6，n=20%；
（3）八年级的平均分高于七年级，方差小于七年级，成绩比较稳定，
故八年级代表队比七年级代表队成绩好.
4.统计思想
在“不闯红灯，珍惜生命”活动中，文明中学的关欣和李好两位同学某天来到城区中心的十字路口，观察、统计上午7：00～12：00中闯红灯的人次，制作如下两个统计图：
（1）求图1提供的五个数据（各时段闯红灯人次）的众数和平均数；
（2）估计一个月（按30天计算）上午7：00～12：00在该十字路口闯红灯的未成年人约有多少人次？
（3）根据统计图提供的信息向交通管理部门提出一条合理化建议.
解：（1）众数为15人次，平均数为（10+15×2+20+40）÷5=20（人次）；
（2）100×35%×30=1
050（人次）.
答：在该十字路口闯红灯的未成年人约为1
050人次；
（3）加强对11：00～12：00点时段的交通管理，或加强对中青年人（或未成年人）的交通安全教育.
强化训练
1.某种蔬菜按品质分成三个等级销售，销售情况如下表：
等级
单价/kg
销售量/kg
一等
5.0
20
二等
4.5
40
三等
4.0
40
则售出蔬菜的平均单价为___4.4___元/kg.
2.某学校把学生的纸笔测试、实践能力两项成绩分别按60％，40％的比例计入学期总成绩.小明实践能力的成绩是81分，若想学期总成绩不低于90分，则纸笔测试的成绩至少是___96___分.
3.已知一组从小到大排列的数据2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，则这组数据的众数是
5___.
4.已知一组数据的方差，那么这组数据的平均数为___2___，样本容量为___4___.
5.（2020昆明期末）考察五位学生的学习情况，得到五个各不相同的数据，统计时，出现了一处错误：将最好成绩写得更高了，计算结果不受影响的是（
A
）
A.中位数
B.加权平均数
C.方差
D.平均数
6.下列说法正确的是（
C
）
A.一组数据7，7，6，4，5的中位数是7
B.如果一组数据3，2，x，5，6的平均数是4,则其中位数是5
C.如果一组数据x1，x2,…xn的平均数是，那么(x1-)+(x2-)+…+(xn-)=0
D.中位数是一组数据中居中数据的平均数
7.（2020曲靖期末）在某校举行的“我的中国梦”演讲比赛中，10名参赛学生的成绩统计如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中正确的是（
C
）
A.平均数是80分
B.众数是5
C.中位数是80分
D.方差是110
8.某校在一次植树活动中，有一个小组15名同学的植树情况如下表：
数量/棵
2
3
4
5
6
人数
3
5
a
b
1
已知植树棵数的众数为3，则a的值可能是（
B
）
A.1，2，3，4
B.2，3，4
C.1，2，3
D.3，4，5
9.小明和小亮组成团队参加某科学比赛.该比赛的规则是：每轮比赛一名选手参加，若第一轮比赛得分满60则另一名选手晋级第二轮，第二轮比赛得分最高的选手所在团队取得胜利.为了在比赛中取得更好的成绩，两人在赛前分别作了9次测试，下图为二人测试成绩折线统计图，下列说法合理的是（
D
）
①小亮测试成绩的平均数比小明的高
②小亮测试成绩比小明的稳定
③小亮测试成绩的中位数比小明的高
④小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
10.（2019曲靖期末）中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的九年级男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的九年级男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成如下面两幅不完整的统计图：
请你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）直接写出这次测试成绩的众数和中位数；
（3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1
800人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？
解：（1）补全后的条形统计图如图所示：
（2）众数为5，中位数为5；
（3）1
800×=810（名）.
答：该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的大约有810名.
11.（2020昆明期末）学校开展一次知识竞赛活动，满分10分，学生得分均为整数，6分及以上为合格，9分及以上为优秀，每组参赛人员都是10人.甲、乙两组学生竞赛成绩统计分析表和成绩分布折线统计图如下列图表所示：
成绩统计分析表
组别
平均分
中位数
合格率
优秀率
甲组
a
7.5
80%
20%
乙组
6.6
b
90%
10%
（1）求出成绩统计分析表中a，b的值；
（2）甲、乙两组成绩的方差哪个大？请简要说明判断理由.
解：（1）甲组成绩的平均分a=（5×2+6×1+7×2+8×3+9×2）=7.2；
由折线统计图可知，乙组成绩从小到大排列为3，6，6，6，6，6，7，8，8，10，
∴中位数b==6.
答：成绩统计分析表中a，b的值分别为7.2和6；
（2）乙组成绩的方差大；
因为由折线统计图来看，乙组成绩的波动比较大.
中考链接
1.（2016云南）某校随机抽查了10名参加2016年云南省初中学业水平考试学生的体育成绩，得到的结果如下表：
成绩/分
46
47
48
49
50
人数
1
2
1
2
4
下列说法正确的是（
A
）
A.这10名同学的体育成绩的众数为50
B.这10名同学的体育成绩的中位数为48
C.这10名同学的体育成绩的方差为50
D.这10名同学的体育成绩的平均数为48
2.（2020昆明）下列判断正确的是（
D
）
A.北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查
B.乙组数据6，5，8，7，9的中位数是8
C.甲、乙两组学生身高的方差分别为=2.3，=1.8，则甲组学生的身高较整齐
D.命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题
3.（2020云南）某公司员工的月工资如下：
员工
经理
副经理
职员A
职员B
职员C
职员D
职员E
职员F
杂工G
月工资/元
7000
4400
2400
2000
1900
1800
1800
1800
1200
经理、职员C、职员D从不同的角度描述了该公司员工的收入情况.
设该公司员工的月工资数据（见上述表格）的平均数、中位数、众数分别为k，m，n，请根据上述信息完成下列问题：
（1）k=___2
700___，m=___1
900___，n=___1
800___；
（2）上月一个员工辞职了，从本月开始，停发该员工工资.若本月该公司剩下的8
名员工的月工资不变，但这8名员工的月工资数据（单位：元）的平均数比原9名员
工的月工资数据（见上述表格）的平均数减小了.你认为辞职的那名员工可能是
___经理或副经理___.
4.（2019
云南）某公司销售部有营业员15人，该公司为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励，为了确定一个适当的月销售目标，公司有关部门统计了这15人某月的销售量，如下表所示：
月销售量/件数
1
770
480
220
180
120
90
人数
1
1
3
3
3
4
（1）直接写出这15名营业员该月销售量数据的平均数、中位数、众数；
（2）如果想让一半左右的营业员都能达到月销售目标，你认为（1）中的平均数、中位数、众数中，哪个最适合作为月销售目标？请说明理由.
温馨提示：确定一个适当的月销售目标是一个关键问题，如果目标定得太高，多数营业员完不成任务，会使营业员失去信心；如果目标定得太低，不能发挥营业员的潜力.
解：（1）这15名营业员该月销售量数据的平均数为278，中位数为180，众数为90；
（2）中位数最适合作为月销售目标.
理由如下：因为中位数为180，即月销售量大于180与小于180的人数一样多，所以中位数最适合作为月销售目标，有一半左右的营业员能达到销售目标.
5.（2020昆明）某鞋店在一周内销售某款女鞋，尺码（单位：cm）数据收集如下：
24
23.5
21.5
23.5
24.5
23
22
23.5
23.5
23
22.5
23.5
23.5
22.5
24
24
22.5
25
23
23
23.5
23
22.5
23
23.5
23.5
23
24
22
22.5
绘制以下不完整的频数分布表及频数分布直方图：
（1）请补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）若店主要进货，她最应该关注的是尺码的众数，上面数据的众数为___23.5
___；
（3）若店主下周对该款女鞋进货120双，尺码在23.5≤x＜25.5范围的鞋应购进约多少双？
解：（1）补全后的频数分布表和频数分布直方图如下图所示：
（2）23.5；
（3）120×=60（双）.
答：尺码在23.5≤x＜25.5范围的鞋应购进约60双.
