2021-2022学年人教版八年级数学上册13.3.1 等腰三角形 同步练习 (word版含答案解析 ）

13.3.1 等腰三角形
一、单选题
1．如图，把一张长方形的纸，按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
2．若等腰三角形的周长为false，其中一边长为false，则该等腰三角形的底边为（ ）
A．false B．false C．false或false D．false
3．如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形．
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知在平面直角坐标系false中，false点false在false轴或false轴上移动，若false三点可构成等腰三角形，则符合条件的false点有（ ）
A．false个 B．false个 C．false个 D．false个
5．如图，在false的正方形网格中有两个格点A、B，连接false，在网格中再找一个格点C，使得false是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，在false中，false和false的角平分线交于点false，过点false作false交false于点false，交false于点false．若false，false，则false的长为（ ）
A．10 B．5.5 C．6 D．5
7．如图，在false中，false，以点false为圆心，任意长为半径画弧分别交false于点false和false，再分别以false为圆心，大于false的长为半径画弧，两弧交于点false，连接false并延长交false于点false，则下列结论不正确的是（ ）
A．false是∠BAC的平分线 B．false
C．点false在false的垂直平分线上 D．false
8．如图，已知OC平分∠AOB，false，若CD=3cm，则OD等于（ ）
A．3cm B．4cm C．1.5cm D．2cm
9．如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（　　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．在false中，false于D，false平分false交false于E，则下列结论一定成立的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．如图，在false中，false，false，false的垂直平分线false交false于点false，交false于点false，若false，则false的长为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．false
12．如图，在false中，false，false，false，则false的度数为（ ）
A．12° B．13° C．14° D．15°
二、填空题
13．若（a－4）2+|b－2|=0，则有两边长为a、b的等腰三角形的周长为________．
14．过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为____．
15．如图，在false中，false过点false作false，交false于点false，则false_______________________false．
16．如图，△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E，若AB＝9cm，△BCE的周长为16cm，则BC＝________cm．
17．如图，在false中，false，false是false边上一点，将false沿false翻折，点false落到点false的位置，false边与false边交于点false，如果false，那么false_________度．
18．在false中， false，将一块足够大的直角三角尺false按如图所示放置，顶点P在线段false上滑动，三角尺的直角边false始终经过点C，并且与false的夹角false，斜边false交false于点D．在点P的滑动过程中，若false是等腰三角形，则夹角false的大小是_____
三、解答题
19．已知，falseABC三条边的长分别为false．
（1）若false，当falseABC为等腰三角形，求falseABC的周长．
（2）化简：false．
20．如图，已知false平分false，false，false是false的中点，试说明false的理由，
21．如图，已知在等腰false中false，点D，点E和点F分别是false，false和false边上的点，且false，false，试说明false．
22．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC平分∠DAB，DE⊥AC，垂足为E，且AE＝AB．
（1）求证：BC＝DE；
（2）若∠DAC＝40°，求∠CDE的度数．
23．如图，在false中，false的平分线交false于点false，过点false作false；交false于点false．
（1）求证：false；
（2）若false，求false的度数．
24．如图，在false中，false为false的中点，false，false，动点false从点false出发，沿false方向以3个单位长度每秒的速度向点false运动；同时动点false从点false出发，沿false方向以3个单位长度每秒的速度向点false运动，运动时间是false秒．
（1）在运动过程中，当false______秒时，false；
（2）在运动过程中，当false时，求出false的值；
（3）是否存在某一时刻false，使false？若存在，求出false的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
解：由题可得，AB与AC可重合，即AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：C．
2．B
解：①4cm是底边时，腰长为false×（16-4）=6，能组成三角形，
②4cm是腰长时，底边为16-2×4=8，
∵4+4=8，
∴不能组成三角形，
综上所述，该等腰三角形的底边长为6cm．
故选：B．
3．C
解：∵AB＝AC＝BD，
∴△ABD与△BAC是等腰三角形，
在△ABD与△BAC中，
false，
∴△ABD≌△BAC（SSS），
∴∠D＝∠C＝72°，
∴∠BAD＝∠D＝∠C＝∠ABC＝72°，
∴∠∠ABD＝∠BAC＝36°，
∴∠DAE＝∠CBE＝36°，
∴∠AED＝∠BEC＝72°，
∴∠D＝∠AED＝∠C＝∠BEC，
∴△ADE和△BCE是等腰三角形，
∵∠AED＝∠BEC，
∴△ADE≌△BCE（AAS），
∴AE＝BE，
∴△ABE是等腰三角形，
故选：C．
4．B
解：由题意得，false
①分别以点O和点A为圆心，5为半径作弧，交x轴和y轴，于点B1、B2、B5、B6、B7、B8，共6个点；
②AB的垂直平分线x轴和y轴，于点B3和B4，共两个点．
故答案为B．
5．B
解：如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．
故共有3个点，
故选：B．
6．D
解：∵MN∥BC，
∴∠MEB=∠CBE，∠NEC=∠BCE，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠BCE，
∴∠MEB=∠MBE，∠NEC=∠NCE，
∴ME=MB，NE=NC，
∴MN=ME+NE=BM+CN=2+3=5，
故选：D．
7．D
解：根据作图方法可得false是false的平分线，故A正确；
∵false，
∴false．
∵false是false的平分线，
∴false．
∴false．故B正确；
过D作DE⊥AB
∵false，
∴false．
∴AE=BE
∴点D在false的垂直平分线上．故C正确；
∵false，
∴false，
∵false，
∴false．
∴false，false，
∴false，
∴false，
∴false，故D错误．
故选择：D．
8．A
解：false平分false，
false，
false，
false，
false，
false，
故选：A．
9．B
解：如图，在false上截取false 连接false
false平分false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
故选：false
10．D
解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE．
又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BC=BE．
故选：D．
11．C
解：∵BC=AB，false，
∴∠C=∠A=36°，
∵false的垂直平分线false交false于点false，交false于点false，
∴AE=BE，
∴∠A=∠ABE=36°，
∴∠BEC=2∠A=72°，
∴∠CBE=180°-72°-36°=72°，
∴∠CBE=∠BEC，
∴CE=BC=AB=10，
故选：C．
12．D
解：如图，过C作CE⊥AD于E，过D作DF⊥BC于F．
∵∠CAD=30°，
∴∠ACE=60°，且CE=falseAC，
∵AC=AD，∠CAD=30°，
∴∠ACD=75°，
∴∠FCD=90°-∠ACD=15°，∠ECD=∠ACD-∠ACE=15°，
在△CED和△CFD中，
false，
∴△CED≌△CFD（AAS），
∴CF=CE=falseAC=falseBC，
∴CF=BF，
∵DF⊥BC，
∴BD=CD，
∴∠DCB=∠CBD=15°，
故选：D．
13．10
解：根据题意得，a－4=0，b－2=0，
解得a=4，b=2，
①若2是腰长，则底边为4，三角形的三边分别为2、2、4，不能组成三角形，
②若4是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为4、4、2，能组成三角形，周长=4+4+2=10．
故答案为：10．
14．45°或36°
解：①如图1，
当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC=BC，AD=CD=BD，
设∠A=x°，
则∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，
∴∠BCD=∠B=x°，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°，
∴x+x+x+x=180，
解得x=45，
∴原等腰三角形的底角是45°；
②如图2，
△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，
∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，
∵∠CDA=2∠B，
∴∠CAB=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴原等腰三角形的底角为36°；
故答案为45°或36°
15．false
解：设falsex°
∵false，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°+ x°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=false，
∵∠ADB为△ADC的外角，
∴∠ADB=∠DAC+∠C，即x°+false，
∴x=26．
故答案为26．
16．7
解：∵AB=9cm，
∴AC=AB=9cm，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴BE+CE=AE+CE=AC=AB=9cm，
∵△BCE的周长为16cm，
∴BC=16-9=7cm．
故答案为：7．
17．108
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
设∠B=∠C=x，
∵∠B=∠D，
∴∠D=x，
∵AE=ED，
∴∠EAD=∠D=x，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE=90°-false，
∵∠AEF+∠AEB=180°，∠AFE+∠EFD=180°，
∴∠AEB=∠EFD=90°+false，
∵∠AEB=∠AED，
∴∠AED=90°+false，
∴∠FED=x，
在△EFD中，∠D+∠FED+∠EFD=180°，
∴x+90°+false+x=180°，
解得：x=36°，
∴∠BAC=180°-36°×2=108°，
故答案为：108．
18．50°或80°或20°
解：∵△PCD是等腰三角形，
∠PCD=120°-α，∠CPD=40°，
①当PC=PD时，
∴∠PCD=∠PDC=false=70°，即120°-α=70°，
∴∠α=50°；
②当PD=CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD=∠CPD=40°，即120°-α=40°，
∴α=80°；
③当PC=CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠CDP=∠CPD=40°，
∴∠PCD=180°-2×40°=100°，
即120°-α=100°，
∴α=20°，
此时点P与点B重合，点D和A重合，
综合所述：当△PCD是等腰三角形时，α=50°或80°或20°．
故答案为：50°或80°或20°．
19．（1）△ABC的周长为10；（2）false．
解：（1）∵false，
∴a-2=0，b-4=0，
∴a=2，b=4，
∵△ABC为等腰三角形，
当2为腰时，则三边为2，2，4，
而2+2<4，不能组成三角形，舍去；
当2为底时，则三边为2，4，4，
而2+4>4，能组成三角形，
∴△ABC的周长为2+4+4=10；
（2）∵△ABC三条边的长分别为a、b、c，
∴false，false，false，
即false，false，
∴false
false
false
false．
20．见解析
解：证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵BE∥AD，
∴∠EBA=∠BAD，∠E=∠CAD，
∴∠EBA=∠E，
∴AE=AB，
又∵F是BE的中点，
∴AF⊥BE．
21．见解析．
解：∵false（已知），
∴false（等边对等角）．
∵false（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
false（已知），
∴false（等量代换）．
∵false（已知），
∴false（等式性质）．
在false与false中，
false，
∴false（ASA），
∴false（全等三角形的对应边相等）．
22．（1）见解析；（2）20°
证明：∵DE⊥AC，∠B=90°，
∴∠B=∠AED=90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC=∠EAD，
在△ABC和△AED中，
false，
∴△ABC≌△AED（ASA），
∴BC=DE；
（2）∵△ABC≌△AED，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠DAC=40°，DE⊥AC，
∴∠ACD=∠ADC=70°，∠ADE=50°，
∴∠CDE=20°．
23．（1）见详解；（2）false
（1）证明：∵BD平分false，
∴false，
∵false，
∴false，
∴false，
∴false；
（2）解：∵false，
∴false，
由（1）可得false．
24．（1）false；（2）false；（3）不存在；答案见解析．
解：（1）由题意得BP＝CQ＝3t，
则CP＝8﹣3t，
∵CP＝CQ，
∴8﹣3t＝3t，
解得，tfalse，
则当tfalse时，false；
（2）∵D为AB的中点，AB＝AC＝10，
∴BD＝5，
∵△BPD≌△CQP，
∴BD＝CP，
∴8﹣3t＝5，
解得，t＝1，
则当△BPD≌△CQP时，t＝1；
（3）不存在，∵△BPD≌△CPQ，
∴BD＝CQ，BP＝CP，
则3t＝5，3t＝8﹣3t
解得，tfalse，tfalse，
∴不存在某一时刻t，使△BPD≌△CPQ．