19.2.3
一次函数与方程、不等式
课前预习
1.一次函数与一元一次方程的关系
任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为___ax+b=0___（a≠0）的形式，所以解一元一次方程相当于求某个一次函数y=ax+b的函数值为___0___时，自变量x的值.
2.一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为___ax+b＞0___或___ax+b＜0___（a≠0）的形式，所以解一元一次不等式相当于求某个一次函数
y=ax+b___的值大于___0___或小于___0___时，自变量x的___取值范围___.
3.一次函数与二元一次方程（组）的关系
（1）一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的形式，所以每个二元一次方程都对应一个___一次函数___，也对应一条___直线___，这条直线上每个点的坐标（x，y）都是这个二元一次方程的解；
（2）由含有未知数x和y的二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个___一次函数，也对应两条直线.从“数”的角度看，解二元一次方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解二元一次方程组，相当于确定两条相应直线___交点___的坐标.
总结：一次函数与方程、不等式的关系（a≠0）
从“数”的角度看
从“形”的角度看
求方程ax+b=0的解
x为何值时，y=ax+b的值为0
求直线y=
ax+b与x轴交点的横坐标
求不等式ax+b＞0（ax+b＜0）的解集
x为何值时，y=ax+b的值大于（小于）0
直线y=ax+b在x轴上方（下方）时所对应的x的取值范围
求二元一次方程组的解
求自变量为多少时，两个函数值相等，以及这个函数值是多少
求两条直线交点的坐标
课堂练习
知识点1
一次函数与一元一次方程
1.已知直线y=mx+n（m，n为常数）经过（0，-4）和（3，0）两点，则关于x的方程mx+n=0的解为
x=3___.
2.已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（
C
）
知识点2
一次函数与一元一次不等式
3.如图，已知函数y=-2x+4，观察图象填写x，y的取值范围：
（1）当___x＜2___时，y＞0；
（2）当___x=2___时，y=0；
（3）当x≥2时，___y≤0___；
（4）当___x＜0___时，y＞4；
（5）当0＜x＜2时，___0＜y＜4___.
4.（2020西山区期末）如图，已知函数y=x+1和y=ax-1的图象交于点P（n，-2），则根据图象可得不等式x+1＞ax-1的解集是（
D
）
A.x＞
B.x＜-3
C.x＜
D.x＞-3
知识点3
一次函数与二元一次方程组
5.（2019五华区期末）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx和y=x-3的图象如图所示，则关于x，y的二元一次方程组的解为___
.
6.如图中的两直线l1，l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解（
A
）
A.
B.
C.
D.
7.如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（1，b）.
（1）求b的值；
（2）不解关于x，y的方程组请直接写出它的解；
（3）直线l?3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由.
解：（1）∵P（1,b）经过直线y=x+1,
∴b=1+1=2；
（2）
（3）直线y=nx+m也经过点P.
理由如下：∵点P（1，2）在直线y=mx+n上，
∴m+n=2.∴2=n×1+m.
∴直线y=nx+m经过点P.
课时作业
练基础
1.直线y=2x-1和直线y=2x+3的位置关系是
平行___，所以方程组的解的情况是
无解___.
2.一次函数y=-2x+4，当函数值为正时，x的取值范围是___x＜2___.
3.已知方程组的解是则直线y=-x+3与y=x+1的交点坐标是__（1，2）
.
4.已知一次函数y=ax-b的图象经过第一、二、三象限，且与x轴交于点（-2，0），则不等式ax＞b的解集为___x＞-2___.
5.（2019官渡区期末）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点B（-3，0），则关于x的一元一次方程kx+b=0的解为___x=-3___.
6.（2020昭通期末）如图，直线y=kx+b经过点A（m，-2）和点B（-2，0），直线y=2x过点A，则不等式2x＞kx+b的解集为___x＞-1___.
7.（2019临沧期末）在平面直角坐标系中，若直线y=x+m与直线y=nx+6（n＜0）相交于点P（3，5），则关于x的不等式x+m＜nx+6的解集是（
B
）
A.x＞3
B.x＜3
C.x＞5
D.x＜5
8.利用一次函数y=kx+b（k≠0）的图象解关于x的不等式kx+b≤0，若它的解集是x≥-2，则一次函数y=kx+b的图象为（
C
）
9.（2020盘龙区期末）已知一次函数y=ax+b（a，b是常数），x与y的部分对应值如下表：
x
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
y
﹣4
﹣2
0
2
4
6
8
下列说法中，错误的是（
B
）
A.图象经过第一、二、三象限
B.函数值y随自变量x的增大而减小
C.方程ax+b=0的解是x=-1
D.不等式ax+b＞0的解集是x＞-1
10.如图，已知直线y1=k1x+m和直线y2=k2x+n交于点P（-1，2），则关于x的不等式（k1-k2）x＞-m+n的解是（
B
）
A.x＞2
B.x＞-1
C.-1＜x＜2
D.x＜-1
11.如图，直线y=-x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为-2，则关于x的不等式-x+m＞nx+4n＞0的整数解为（
D
）
A.-1
B.-5
C.-4
D.-3
12.（2020盘龙区期末）已知直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4）.
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线y=2x-4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，写出关于x的不等式2x-4＞kx+b的解集.
解：（1）∵直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4），
∴解得
∴直线AB的解析式为y=-x+5；
（2）∵直线y=2x-4与直线AB相交于点C，
∴解得
∴点C（3，2）；
（3）根据图象可得x＞3.
13.（2019官渡区期末）如图，一次函数数y1=-x-2与y2=x-m的图象相交于点A(n，-3).
（1）求点A的坐标及m的值；
（2）若一次函数y1=-x-2与y2=x-m的图象与x轴分别相交于点B，C，求△ABC的面积；
（3）结合图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围.
解：（1）把A（n，-3）代入y1=-x-2中，解得n=1.
∴A（1，-3）.把A（1，-3）代入y2=x-m中，解得m=4；
（2）当y1=0时，-x-2=0，解得x=-2，则点B的坐标为(-2，0).
当y?2=0时，x-4=0，解得x=4，则点C的坐标为(4，0).
∴BC=4-(-2)=6.
∴△ABC的面积=×6×3=9；
（3）根据图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜1.
提能力
14.（2020玉溪红塔区期末）甲、乙两辆汽车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，甲车出发2
h后休息，与乙车相遇后，继续行驶.设甲、乙两车与A地的路程分别为y甲（单位：km）、y乙（单位：km），乙车行驶的时间为x（单位：h），y甲，y乙与x之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题：
（1）求y乙与x之间的函数解析式（也叫关系式）；
（2）求甲车与乙车相遇后y甲与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.
解：（1）设y乙与x之间的函数解析式为y乙＝kx+b，
解得
即y乙与x之间的函数解析式为y乙＝﹣80x+400；
（2）当y乙＝200时，200＝﹣80x+400，得x＝2.5，
设甲车与乙车相遇后y甲与x的函数解析式为y甲＝mx+n，
则甲车与乙车相遇后函数过点（2.5，200），（5，400），
解得
即甲车与乙车相遇后y甲与x的函数解析式为y甲＝80x（2.5≤x≤5）．19.2.3
一次函数与方程、不等式
课前预习
1.一次函数与一元一次方程的关系
任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为___
___（a≠0）的形式，所以解一元一次方程相当于求某个一次函数y=ax+b的函数值为__
___时，自变量x的值.
2.一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为___
___或___
__（a≠0）的形式，所以解一元一次不等式相当于求某个一次函数
___的值大于__
___或小于___
__时，自变量x的__
___.
3.一次函数与二元一次方程（组）的关系
（1）一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的形式，所以每个二元一次方程都对应一个___
___，也对应一条___
___，这条直线上每个点的坐标（x，y）都是这个二元一次方程的解；
（2）由含有未知数x和y的二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个___
，也对应两条直线.从“数”的角度看，解二元一次方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解二元一次方程组，相当于确定两条相应直线___
___的坐标.
总结：一次函数与方程、不等式的关系（a≠0）
从“数”的角度看
从“形”的角度看
求方程ax+b=0的解
x为何值时，y=ax+b的值为0
求直线y=
ax+b与x轴交点的横坐标
求不等式ax+b＞0（ax+b＜0）的解集
x为何值时，y=ax+b的值大于（小于）0
直线y=ax+b在x轴上方（下方）时所对应的x的取值范围
求二元一次方程组的解
求自变量为多少时，两个函数值相等，以及这个函数值是多少
求两条直线交点的坐标
课堂练习
知识点1
一次函数与一元一次方程
1.已知直线y=mx+n（m，n为常数）经过（0，-4）和（3，0）两点，则关于x的方程mx+n=0的解为
___.
2.已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（
）
知识点2
一次函数与一元一次不等式
3.如图，已知函数y=-2x+4，观察图象填写x，y的取值范围：
（1）当___
___时，y＞0；
（2）当___
__时，y=0；
（3）当x≥2时，___
___；
（4）当___
__时，y＞4；
（5）当0＜x＜2时，___
___.
4.（2020西山区期末）如图，已知函数y=x+1和y=ax-1的图象交于点P（n，-2），则根据图象可得不等式x+1＞ax-1的解集是（
）
A.x＞
B.x＜-3
C.x＜
D.x＞-3
知识点3
一次函数与二元一次方程组
5.
在平面直角坐标系中，一次函数y=kx和y=x-3的图象如图所示，则关于x，y的二元一次方程组的解为___
.
6.如图中的两直线l1，l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解（
）
A.
B.
C.
D.
7.如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（1，b）.
（1）求b的值；
（2）不解关于x，y的方程组请直接写出它的解；
（3）直线l?3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由.
课时作业
练基础
1.直线y=2x-1和直线y=2x+3的位置关系是
___，所以方程组的解的情况是
___.
2.一次函数y=-2x+4，当函数值为正时，x的取值范围是__
___.
3.已知方程组的解是则直线y=-x+3与y=x+1的交点坐标是__
.
4.已知一次函数y=ax-b的图象经过第一、二、三象限，且与x轴交于点（-2，0），则不等式ax＞b的解集为___
__.
5.（2019官渡区期末）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点B（-3，0），则关于x的一元一次方程kx+b=0的解为___
___.
6.（2020昭通期末）如图，直线y=kx+b经过点A（m，-2）和点B（-2，0），直线y=2x过点A，则不等式2x＞kx+b的解集为___
___.
7.（2019临沧期末）在平面直角坐标系中，若直线y=x+m与直线y=nx+6（n＜0）相交于点P（3，5），则关于x的不等式x+m＜nx+6的解集是（
）
A.x＞3
B.x＜3
C.x＞5
D.x＜5
8.利用一次函数y=kx+b（k≠0）的图象解关于x的不等式kx+b≤0，若它的解集是x≥-2，则一次函数y=kx+b的图象为（
）
9.（2020盘龙区期末）已知一次函数y=ax+b（a，b是常数），x与y的部分对应值如下表：
x
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
y
﹣4
﹣2
0
2
4
6
8
下列说法中，错误的是（
）
A.图象经过第一、二、三象限
B.函数值y随自变量x的增大而减小
C.方程ax+b=0的解是x=-1
D.不等式ax+b＞0的解集是x＞-1
10.如图，已知直线y1=k1x+m和直线y2=k2x+n交于点P（-1，2），则关于x的不等式（k1-k2）x＞-m+n的解是（
）
A.x＞2
B.x＞-1
C.-1＜x＜2
D.x＜-1
11.如图，直线y=-x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为-2，则关于x的不等式-x+m＞nx+4n＞0的整数解为（
）
A.-1
B.-5
C.-4
D.-3
12.（2020盘龙区期末）已知直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4）.
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线y=2x-4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，写出关于x的不等式2x-4＞kx+b的解集.
13.
如图，一次函数数y1=-x-2与y2=x-m的图象相交于点A(n，-3).
（1）求点A的坐标及m的值；
（2）若一次函数y1=-x-2与y2=x-m的图象与x轴分别相交于点B，C，求△ABC的面积；
（3）结合图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围.
提能力
14.（2020玉溪红塔区期末）甲、乙两辆汽车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，甲车出发2
h后休息，与乙车相遇后，继续行驶.设甲、乙两车与A地的路程分别为y甲（单位：km）、y乙（单位：km），乙车行驶的时间为x（单位：h），y甲，y乙与x之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题：
（1）求y乙与x之间的函数解析式（也叫关系式）；
（2）求甲车与乙车相遇后y甲与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.
