黑龙江省哈尔滨市道外区2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷（五四学制）(word解析版)

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市道外区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题：（1-10题，每小题3分，共30分，每题只有一个答案）
1．直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．10
2．下面选项中的四边形不是轴对称图形的是（　　）
A． 平行四边形 B． 矩形
C． 菱形 D． 正方形
3．以下式子中，表示y是x的正比例函数的是（　　）
A．y＝x+1 B．y＝ C．y＝2x2 D．y2＝4x
4．下列一元二次方程是一般形式的是（　　）
A．x（x﹣5）＝0 B．5x2﹣1＝4x C．2x2﹣x+1＝0 D．4x2＝81
5．一次函数y＝x﹣1的图象一定经过的点是（　　）
A．（1，﹣1） B．（1，2） C．（0，1） D．（0，﹣1）
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是（　　）
A．∠BAC＝∠DAC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC
7．如图，在?ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，则?ABCD的面积为（　　）
A．80 B．60 C．48 D．40
8．某兴趣学习小组组织一次跳棋比赛，参赛的每两人之间都要比赛一场，按计划需要进行28场比赛．设参赛的人数为x，则x满足的关系式为（　　）
A．x（x﹣1）＝28 B．x（x+1）＝28
C．x（x+1）＝28 D．x（x﹣1）＝28
9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝8，折叠该纸片，使得AB边落在对角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE，则线段EF的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器中的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．下列说法：①当0≤x≤4时，y与x的函数解析式为y＝5x；
②当4＜x≤12时，y与x的函数解析式为y＝x+15；
③进水5L/min；
④出水3.75L/min．
其中正确的有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（11-20题，每小题3分，共30分）
11．如图，在?ABCD中，若∠ABC＝60°，则∠ADC＝　 　．
12．函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
13．如图，直线y＝2x﹣6与x轴的交点坐标是　 　．
14．一元二次方程x2﹣x﹣k＝0一个根是2，则k＝　 　．
15．顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形一定是　 　．
16．函数y＝2x+b（b＜0）的图象不经过第 　 　象限．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，CD⊥AB于点D，如果AD＝1，那么BC＝　 　．
18．某种家电价格受市场购买力影响，连续两次降价，由原来售价5000元降到3200元，则平均每次降价的百分率为 　 　．
19正方形ABCD的边长为8，点E为正方形边上一点，连接BE，且BE＝10，则AE的长为　　．
20如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点C作CD⊥BC，连接BD，交AC于点E，F为BD中点，连接AF、AD，若AF＝CD，AD＝10，则CD＝　　．
三、解答题：（21-25每题8分，26、27每题10分，共60分。）
21解方程：（1）（x﹣4）2＝16；
（2）x（x﹣4）＝2（x﹣4）．
22图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出一个以AB为一边正方形ABCD，使点C、D在小正方形的顶点上；
（2）在图2中画出一个以AB为一边，面积为6的?ABEF，使点E、F均在小正方形的顶点上，并直接写出?ABEF周长．
23如图，直线y＝x+交x轴于点A，直线y＝﹣x+1交x轴于点B，两直线相交于点C．求△ABC的面积．
24在△ABC中，AB＝AC，点D、O分别是边BC、AC的中点，连接AD，过点A作AE∥BC，交射线DO于点E，连接CE．
（1）如图1，求证：四边形ADCE是矩形；
（2）如图2，连接BE交AD于点F，连接OF，当∠ABC＝60°时，在不添加任何字母和辅助线的情况下，请直接写出四条线段，长度分别是线段OF长度的4倍．
25如图，在一块长16米、宽10米的矩形场地上修建一横一竖两条甬道，场地其余部分种植草坪，已知横、竖甬道的宽度之比为2：1，设竖甬道的宽度为x米，草坪面积为y平方米．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（不必写出取值范围）
（2）若草坪的面积为120平方米，请求出竖甬道的宽度．
26已知正方形ABCD的边BC上有两点E、F，连接AE、DF相交于点P．
（1）如图1，当PF＝PE时，求证：PA＝PD；
（2）如图2，连接BP，BP延长线交CD于点G，当AP＝AB时，求∠DPG的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长BC到M，使CM＝CF，以DC、CM为邻边作矩形DCMN，延长BG交MN于点Q，当PE＝2，QM＝6时，求AB的长．
27如图，平面直角坐标系中，O为原点，直线y＝x+1分别交x轴、y轴于点A、B，直线y＝﹣x+5分别交x轴、y轴于点C、D，直线AB、CD相交于点E．
（1）请直接写出A、D的坐标；
（2）P为直线CD上方直线AE上一点，横坐标为m，线段PE长度为d，请求出d与m的关系式；
（3）在（2）的条件下，连接PC、PD，若∠CPD＝135°，求点P的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．10
【分析】利用勾股定理即可求出斜边长．
【解答】解：由勾股定理得：斜边长为：＝5．
故选：B．
2．下面选项中的四边形不是轴对称图形的是（　　）
A． 平行四边形 B． 矩形
C． 菱形 D． 正方形
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不合题意．
故选：A．
3．以下式子中，表示y是x的正比例函数的是（　　）
A．y＝x+1 B．y＝ C．y＝2x2 D．y2＝4x
【分析】根据正比例函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是一次函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意；
B．是正比例函数，故本选项符合题意；
C．是二次函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意；
D．不是正比例函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．下列一元二次方程是一般形式的是（　　）
A．x（x﹣5）＝0 B．5x2﹣1＝4x C．2x2﹣x+1＝0 D．4x2＝81
【分析】根据一元二次方程是一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）可直接得到答案．
【解答】解：一元二次方程是一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），只有C符合．
故选：C．
5．一次函数y＝x﹣1的图象一定经过的点是（　　）
A．（1，﹣1） B．（1，2） C．（0，1） D．（0，﹣1）
【分析】分别代入x＝1，x＝0求出y值，再对照四个选项中点的坐标，即可得出结论．
【解答】解：∵当x＝1时，y＝1﹣1＝0，
∴一次函数y＝x﹣1的图象一定经过的点（1，0），选项A，B不符合题意；
∵当x＝0时，y＝0﹣1＝﹣1，
∴一次函数y＝x﹣1的图象一定经过的点（0，﹣1），选项C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是（　　）
A．∠BAC＝∠DAC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC
【分析】根据菱形的性质逐项分析即可得到问题答案．
【解答】解：由菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质可知OA＝OC，故选项D成立；
由菱形的性质：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角可知选项A，C成立；
所以B不一定正确．
故选：B．
7．如图，在?ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，则?ABCD的面积为（　　）
A．80 B．60 C．48 D．40
【分析】利用勾股定理求得AC的长，然后用底成高求得面积即可．
【解答】解：平行四边形ABCD中AD＝8，
∴BC＝AD＝8，
∵AC⊥BC，AB＝10，
∴AC＝＝＝6，
∴?ABCD的面积为BC?AC＝6×8＝48，
故选：C．
8．某兴趣学习小组组织一次跳棋比赛，参赛的每两人之间都要比赛一场，按计划需要进行28场比赛．设参赛的人数为x，则x满足的关系式为（　　）
A．x（x﹣1）＝28 B．x（x+1）＝28
C．x（x+1）＝28 D．x（x﹣1）＝28
【分析】设参赛的人数为x，由参赛的每两人之间都要比赛一场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设参赛的人数为x，
依题意，得：x（x﹣1）＝28．
故选：D．
9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝8，折叠该纸片，使得AB边落在对角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE，则线段EF的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用勾股定理列式求出AC，设BE＝x，表示出CE，根据翻折的性质可得BE＝EF，AF＝AB，再求出CF，然后利用勾股定理列方程求出x，即可．
【解答】解：由勾股定理得，AC＝＝10，
设BE＝x，则CE＝8﹣x，
由翻折的性质得，BE＝EF＝x，AF＝AB＝6，
所以，CF＝10﹣6＝4，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2+CF2＝CE2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴EF＝3，
故选：A．
10．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器中的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．下列说法：①当0≤x≤4时，y与x的函数解析式为y＝5x；
②当4＜x≤12时，y与x的函数解析式为y＝x+15；
③进水5L/min；
④出水3.75L/min．
其中正确的有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据函数图象，可知当0≤x≤4时，此函数为正比例函数，故可设y＝kx（k≠0），再把（4，20）代入y＝kx，求出k的值，即可求出对应的函数解析式；
②根据函数图象，可知当4＜x≤12时，该函数为一次函数，故可设y＝k1x+b（k1≠0），再把（4，20）和（12，30）分别代入解析式y＝k1x+b，组成二元一次方程组，求出k1x+b，组成二次一次方程组，求出k1，b的值，即可求出对应的函数解析式；
③由于前4分钟只进水不出水，再结合图象可知，每分钟进水20÷4＝5（升），
④设每分钟出水m升，由等量关系：8分钟的进水量减去8分钟的出水量等于这8分钟容器多出来的水量，可得5×8﹣8m＝30﹣20，求出m的值即可．
【解答】解：①当0≤x≤4时，设y＝kx（k≠0），
∵函数y＝kx的图象过（4，20），
∴4k＝20，
∴k＝5，
∴y＝5x（0≤x≤4）；
故①正确．
②当4＜x≤12时，设y＝k1x+b（k1≠0），
∵函数y＝k1x+b的图象过（4，20）、（12，30），
∴，
解得：，
∴y＝x+15（4＜x≤12）；
故②正确．
③根据图象，每分钟进水20÷4＝5（升），
故③正确．
（4）设每分钟出水m升，
则5×8﹣8m＝30﹣20，
解得：m＝，
故④正确．
故选：D．
二．填空题（共8小题）
11．如图，在?ABCD中，若∠ABC＝60°，则∠ADC＝　60°　．
【分析】由于∠ADC和∠ABC是平行四边形的一组对角，根据平行四边形的对角相等就可以求出．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°．
故答案为：60°．
12．函数y＝中，自变量x的取值范围是　x＞3　．
【分析】根据分母不等于0，被开方数大于等于0列式计算即可．
【解答】解：根据题意得，x﹣3＞0，
解得x＞3．
故答案为：x＞3．
13．如图，直线y＝2x﹣6与x轴的交点坐标是　（3，0）　．
【分析】代入y＝0可求出x的值，进而可得出直线与x轴的交点坐标．
【解答】解：当y＝0时，2x﹣6＝0，
解得：x＝3，
∴直线y＝2x﹣6与x轴的交点坐标是（3，0）．
故答案为：（3，0）．
14．一元二次方程x2﹣x﹣k＝0一个根是2，则k＝　2　．
【分析】知道方程的一根，把该根代入方程中，求出未知量k．
【解答】解：由题意知，关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k＝0的一个根是2，
故22﹣2﹣k＝0，
解得k＝2，
故答案为：2．
15．顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形一定是　平行四边形　．
【分析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形．
【解答】证明：如图，连接AC，
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，
∴HG∥AC，HG＝AC，EF∥AC，EF＝AC；
∴EF＝HG且EF∥HG；
∴四边形EFGH是平行四边形．
故答案是：平行四边形．
16．函数y＝2x+b（b＜0）的图象不经过第 　一　象限．
【分析】直接利用y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴上，进而得出答案．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+b，且b＜0，
∴它的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故答案为：一．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，CD⊥AB于点D，如果AD＝1，那么BC＝　2　．
【分析】先根据直角三角形两锐角互余可得∠A＝60°，∠ACD＝30°，再根据直角三角形含30°角的性质可得AC，AB的长，最后根据勾股定理求出BC的长．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∵∠A＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∵AD＝1，
∴AC＝2AD＝2，
∴AB＝2AC＝4，
∴BC＝＝＝2．
故答案为：2．
18．某种家电价格受市场购买力影响，连续两次降价，由原来售价5000元降到3200元，则平均每次降价的百分率为 　20%　．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意得：5000（1﹣x）2＝3200，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．
故答案为：20%．
19正方形ABCD的边长为8，点E为正方形边上一点，连接BE，且BE＝10，则AE的长为　　．
【考点】正方形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】作出图形，然后分①点E在AD上时，利用勾股定理列式求解即可得到AE，②点E在CD上时，利用勾股定理列式求出CE，再求出DE，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：①如图1，点E在AD上时，
根据勾股定理得，AE＝＝＝6；
②如图2，点E在CD上时，
根据勾股定理得，CE＝＝＝6，
所以，DE＝CD﹣CE＝8﹣6＝2，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得，AE＝＝＝2，
综上所述，AE的长为6或2．
故答案为：6或2．
20如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点C作CD⊥BC，连接BD，交AC于点E，F为BD中点，连接AF、AD，若AF＝CD，AD＝10，则CD＝　　．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】推理填空题；方程思想；构造法；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力；模型思想；应用意识．
【答案】
【分析】本题由垂直平分线的判定，先得出AM为线段BC的垂直平分线，继而得出AM＝MC＝MB及AF||DC，再进一步得出FM与CD的数量关系，再由平行四边的判定及性质得出FC＝AD，从而构建直角三角形FMC，运用勾股定理，得出FM的长度，从而得出CD的长度．
【解答】解：
延长AF交BC于点M，连接FC，
∵DC⊥BC，点F为BD的中点，
∴FC＝BD＝FB，
∴点F在线段BC的垂直平分线上，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，即点A是线段BC垂直平分线上的点，
∴AM是线段BC的垂直平分线，
∴AM⊥BC，BM＝CM＝AM，
∵DC⊥BC，AM⊥BC，
∴AM||DC，
∴△BME∽△BCD，
∴，即FM＝DC，
∵AF＝DC，AM＝AF+FM，
∴FM＝AM＝MC，
∵AM||DC，AF＝DC，
∴四边形AFCD是平行四边形，
又∵AD＝10，
∴FC＝AD＝10，
设FM＝x，MC＝3x，
在Rt△FMC中，∵FM2+MC2＝FC2，
∴x2+（3x）2＝102，解得x＝，
∴FM＝，
∴CD＝2FM＝．
故答案是，
21解方程：（1）（x﹣4）2＝16；
（2）x（x﹣4）＝2（x﹣4）．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝8，x2＝0；
（2）x1＝4，x2＝2．
【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）移项后把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：（1）（x﹣4）2＝16，
开方，得x﹣4＝±4，
解得：x1＝8，x2＝0；
（2）x（x﹣4）＝2（x﹣4），
移项，得x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0，
（x﹣4）（x﹣2）＝0，
x﹣4＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝4，x2＝2．
22图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出一个以AB为一边正方形ABCD，使点C、D在小正方形的顶点上；
（2）在图2中画出一个以AB为一边，面积为6的?ABEF，使点E、F均在小正方形的顶点上，并直接写出?ABEF周长．
【考点】平行四边形的性质；作图—应用与设计作图．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）作图见解析部分，
（2）作图见解析部分，4+2．
【分析】（1）根据正方形的定义作出图形即可．
（2）作一个底为2，高为3的平行四边形即可．
【解答】解：（1）如图，正方形ABCD即为所求．
（2）如图，平行四边形ABEF即为所求．周长为4+2．
23如图，直线y＝x+交x轴于点A，直线y＝﹣x+1交x轴于点B，两直线相交于点C．求△ABC的面积．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【专题】一次函数及其应用；三角形；运算能力．
【答案】6．
【分析】先分别求出A、B的坐标，求出C的坐标，求出AB的值，再求出△ABC的面积即可．
【解答】解：y＝x+，
当y＝0时，x+＝0，
解得：x＝﹣5，
即OA＝5，
y＝﹣x+1，
当y＝0时，﹣x+1＝0，
解得：x＝1，
即OB＝1，
所以AB＝1+5＝6，
解方程组得：，
即点C的坐标是（﹣1，2），
所以△ABC的面积是2＝6．
24在△ABC中，AB＝AC，点D、O分别是边BC、AC的中点，连接AD，过点A作AE∥BC，交射线DO于点E，连接CE．
（1）如图1，求证：四边形ADCE是矩形；
（2）如图2，连接BE交AD于点F，连接OF，当∠ABC＝60°时，在不添加任何字母和辅助线的情况下，请直接写出四条线段，长度分别是线段OF长度的4倍．
【考点】等腰三角形的性质；三角形中位线定理；矩形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）AB、BC、AC、DE．
【分析】（1）先证四边形ABDE是平行四边形，得AE＝BD＝CD，则四边形ADCE是平行四边形，再由等腰三角形的性质得∠ADC＝90°，即可得出结论；
（2）证△ABC是等边三角形，得AB＝AC＝BC，再由平行四边形的性质和矩形的性质得BF＝EF，OD＝OE，AC＝DE，然后由三角形中位线定理得BD＝2OF，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵点D、O分别是边BC、AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，BD＝CD，
∴OD∥AB，
∴DE∥AB，
∵AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD＝CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCE是矩形；
（2）解：长度分别是线段OF长度的4倍的线段为：AB、BC、AC、DE，理由如下：
∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
由（1）得：四边形ABDE是平行四边形，四边形ADCE是矩形，
∴BF＝EF，OD＝OE，AC＝DE，
∴OF是△BDE的中位线，
∴BD＝2OF，
∵AB＝AC＝DE＝BC＝2BD，
∴AB＝AC＝DE＝BC＝4OF．
25如图，在一块长16米、宽10米的矩形场地上修建一横一竖两条甬道，场地其余部分种植草坪，已知横、竖甬道的宽度之比为2：1，设竖甬道的宽度为x米，草坪面积为y平方米．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（不必写出取值范围）
（2）若草坪的面积为120平方米，请求出竖甬道的宽度．
【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）y＝2x2﹣42x+160；
（2）1米．
【分析】（1）设竖甬道的宽度为x米，草坪面积为y平方米，则横甬道的宽度为2x米，剩余部分可合成长（16﹣x）米，宽（10﹣2x）米的矩形，利用矩形的面积计算公式，即可找出y与x之间的函数关系式；
（2）由（1）的结论结合草坪的面积为120平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设竖甬道的宽度为x米，草坪面积为y平方米，则横甬道的宽度为2x米，剩余部分可合成长（16﹣x）米，宽（10﹣2x）米的矩形，
依题意得：y＝（16﹣x）（10﹣2x）＝2x2﹣42x+160．
（2）依题意得：2x2﹣42x+160＝120，
整理得：x2﹣21x+20＝0，
解得：x1＝1，x2＝20．
当x＝1时，10﹣2x＝10﹣2×1＝8＞0，符合题意；
当x＝20时，10﹣2x＝10﹣2×20＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．
答：竖甬道的宽度为1米．
26已知正方形ABCD的边BC上有两点E、F，连接AE、DF相交于点P．
（1）如图1，当PF＝PE时，求证：PA＝PD；
（2）如图2，连接BP，BP延长线交CD于点G，当AP＝AB时，求∠DPG的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长BC到M，使CM＝CF，以DC、CM为邻边作矩形DCMN，延长BG交MN于点Q，当PE＝2，QM＝6时，求AB的长．
【考点】四边形综合题．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）见解答过程；（2）45°；（3）15．
【分析】（1）根据PF＝PE，得∠PFE＝∠PEF，再根据两直线平行，内错角相等，可转化为∠DAP＝∠ADP，从而有AP＝DP；
（2）由AP＝AB＝AD，得∠ABP＝∠APB，∠APD＝∠ADP，再由三角形内角和为180°得∠BPA+∠APD＝135°，即可解决问题；
（3）先通过SAS证明△BCH≌△DCI，证得∠DIH＝90°，从而NI是∠DIQ的角平分线，得NL＝NK，再证△DNL≌△QNK（ASA），从而有BF＝MQ＝6，再通过等角对等边可证EF＝PE＝2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AB的方程，即解决问题．
【解答】证明：（1）∵PF＝PE，
∴∠PFE＝∠PEF，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAP＝∠AEF，∠ADP＝∠PFE，
∴∠DAP＝∠ADP，
∴AP＝DP；
（2）∵AP＝AB＝AD，
∴∠ABP＝∠APB，∠APD＝∠ADP，
∵∠BAP+∠DAP＝90°，
∴∠ABP+∠APB+∠APD+∠ADP＝270°，
∴∠BPA+∠APD＝135°，
∴∠DPG＝45°；
（3）如图，连接CN，DG，过点N作NL⊥DG于L，NK⊥GQ于K，过点C作CH⊥CI，交BG于H，
∵CM∥DN，CM＝CF＝DN，
∴四边形DFCN是平行四边形，
∴∠NIK＝∠DPQ＝∠HIC＝45°，
∴△HCI是等腰直角三角形，
∴CH＝CI，∠HCI＝∠BCD，
∴∠BCH＝∠DCI，
∴△BCH≌△DCI（SAS），
∴∠DIC＝∠BHC＝135°，
∴∠DIH＝90°，
∴NI是∠DIQ的角平分线，
∴NL＝NK，
∵∠NLI＝∠NKI＝∠LIQ＝90°，
∴四边形LIKN是矩形，
∴∠LNK＝90°，
∴∠DNL＝∠KNQ，
∴△DNL≌△QNK（ASA），
∴DN＝NQ，
∵DN＝CF，
∴CF＝NQ，
∴BF＝BC﹣CF＝MN﹣NQ＝MQ＝6，
∵AP＝AB＝AD，
∴∠APD＝∠ADP，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝DFE，
∴DFE＝∠FPE，
∴EF＝PE＝2，
∴BE＝8，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AB2+BE2＝AE2，
∴AB2+82＝（AB+2）2，
解得：AB＝15．
27如图，平面直角坐标系中，O为原点，直线y＝x+1分别交x轴、y轴于点A、B，直线y＝﹣x+5分别交x轴、y轴于点C、D，直线AB、CD相交于点E．
（1）请直接写出A、D的坐标；
（2）P为直线CD上方直线AE上一点，横坐标为m，线段PE长度为d，请求出d与m的关系式；
（3）在（2）的条件下，连接PC、PD，若∠CPD＝135°，求点P的坐标．
【考点】一次函数综合题．
【专题】函数的综合应用；应用意识．
【答案】（1）A（﹣1，0），D（0，5）；（2）d＝（m﹣2）；（3）点P的坐标为（3，4）．
【分析】（1）分别令直线y＝x+1，直线y＝﹣x+5x0，y＝0，即可求得A点坐标和D点坐标；
（2））过点P作PM⊥x轴，交CD于F，M是垂足，先求出P、F的坐标，即可求出PE＝2m﹣4，再通过已知和辅助线判断△PEF是等腰直角三角形，从而得出PE＝PF，即可得出结论；
（3）先过点C作CN⊥DP，交DP的延长线于点N，连接OP，ON，过O作OG⊥ON，交PD的延长线于G，然后证明△ODG≌△OCN，再证明△OCN≌△OPN，得出OP＝5，在直角三角形OMP中用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+1分别交x轴、y轴于点A、B，
∴令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（0，1），
又∵直线y＝﹣x+5分别交x轴、y轴于点C、D，
∴令x＝0，则y＝5，令y＝0，则x＝5，
∴C（5，0），D（0，5）
∴A（﹣1，0），D（0，5）；
（2）过点P作PM⊥x轴，交CD于F，M是垂足，如图所示，
由（1）知OA＝OB，OC＝OD，
∴∠ABO＝∠DCO＝45°，
∴△AEC为等腰直角三角形，
∴∠PEF＝90°，
又∵∠DCO＝45°，
∴∠EFP＝∠MFC＝45°，
∴△PEF为等腰直角三角形，
∴PE＝EF＝PF，
∵P在直线y＝x+1上，P的横坐标为m，
∴P（m，m+1），
F在直线y＝﹣x+5上，F的横坐标为m，
∴F（m，﹣m+5），
∴PF＝m+1﹣（﹣m+5）＝m+1+m﹣5＝2m﹣4，
∴d＝PE＝PF＝（2m﹣4）＝（m﹣2）；
（3）过点C作CN⊥DP，交DP的延长线于点N，连接OP，ON，
过O作OG⊥ON，交PD的延长线于G，如图所示，
∵∠DOC＝∠CND＝90°，
∴∠ODN+∠OCN＝180°，
又∵∠ODG+∠ODN＝180°，
∴∠ODG＝∠OCN，
∵∠DOG＝90°﹣∠DON，∠CON＝90°﹣∠DON，
∴∠DOG＝∠CON，
在△ODG和△OCN中，
，
∴△ODG≌△OCN（ASA），
∴OG＝ON，
∴∠ONG＝∠OGN＝45°，
∴∠CNO＝∠PNO＝45°，
∵∠CPD＝135°，CN⊥DP，
∴∠CPN＝45°，
∴∠PCN＝45°，
∴NP＝NC，
在△OCN和△OPN中，
，
∴△OCN≌△OPN（SAS），
∴OP＝OC＝5，
在Rt△OPM中，
OP2＝OM2+MP2，
∴52＝m2+（m+1）2，
解得：m＝3或m＝﹣4（舍去），
∴m+1＝4，
∴点P的坐标为（3，4）．