山东省青岛市城阳区2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷(word解析版)

2020-2021学年山东省青岛市城阳区八年级（下）期末数学试卷
一、单选题(本题满分24分,共有8道小题,每小题3分)请将1—8各小题所选答案涂在答题纸规定的位置
1．下面图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．据气象台预报，2021年6月某日我区最高气温25℃，最低气温17℃，则当天气温t（℃）的变化范围是（　　）
A．t≥17 B．t≤25 C．17≤t≤25 D．17＜t＜25
3．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2
B．10x3y4＝2xy?5x2y3
C．2xy﹣4xy2+x＝2y（x﹣2xy）+x
D．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
4．如图，Rt△ABC的顶点C的坐标为（1，0），点A在x轴正半轴上，且AC＝2．将△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向左平移3个单位，则点A的对应点A′的坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣1，3）
5．张叔叔想买同一种大小一样、形状相同的地砖铺设客厅，为了能够做到无缝隙、不重叠铺设，有以下几种地砖
①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形；⑤正十边形，可以购买的地砖形状是（　　）
A．①④ B．①③ C．③⑤ D．②④
6．化简﹣x+2的结果是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于点E，CD＝6，则AB等于（　　）
A．6+12 B．6+6 C．4 D．4+4
8．若不等式组有解，则a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2
二、填空题(本题满分24分,共有8道小题,每小题3分)请将9-16各小题的答案填写在答题纸规定的位置.
9．分解因式：﹣16x2+9y2＝　 　．
10．若分式的值为0，则x的值为　 　．
11．三角形各边长分别是6cm，8cm，10cm，则以各边中点为顶点的三角形面积是 　 　cm2．
12．已知函数，y1＝﹣2x+3，y2＝3x+4，则当y1＞y2时，则x的取值范围是 　 　．
13．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB的中点，连接CD，∠ACB＝46°，则∠A＝　 　．
14．如图，在△ABC中，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，使旋转角∠DAB＝70°，则∠AEC＝　 　°．
15．如图，在△ABC中，∠C＝45°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D；AC的垂直平分线交AC于点G，交BC于点F，连接AD，AF．若AF＝2cm，BC＝8cm，则DF＝　 　cm．
16．观察：∵＝×（1﹣），＝×（），＝×（﹣），…＝×（﹣），
∴+++…+＝×（1﹣+﹣+…﹣）＝．
请用你发现的规律计算求值：+++…+　 　．
三、作图题(共4分)
17．（8分）（1）已知：△ABC（如图1）．
求作：BC边上的高AD（用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）．
结论：
（2）如图2，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣1，2）．
①平移△ABC，使其顶点A平移到点A1（﹣3，0）处，画出平移后的△A1B1C1；
②以点C为旋转中心，画出△ABC按顺时针旋转90°的△A2B2C2．
四、解答题(本大题满分64分)
18．（16分）（1）解不等式组：；
（2）化简：（﹣2x）÷；
（3）分解因式：x2y﹣8xy+16y；
（4）解方程：+＝1．
19．（6分）某校团委组织七年级和八年级共100名同学参加义卖活动，所获利润全部捐给贫困地区学生，七年级学生每人义卖平均获得净利润10元，八年级学生每人义卖平均获得净利润15元，为了保证义卖获得净利润总钱数不少于1200元，至少需要多少名八年级学生参加活动？
20．（6分）已知：如图，∠CAB＝∠ABD＝90°，且CB＝AD，CB、AD交于点E，EF⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若BD＝6，则EF＝　 　．
21．（6分）已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC的中点，连接OE并延长使EF＝OE，连接BF、CF．
求证：（1）OB＝CF；
（2）四边形OFCD是平行四边形．
22．（10分）某商场计划购进A、B两种品牌的卡通笔袋，A品牌笔袋的进价是B品牌笔袋的进价的2倍，用100元购进A品牌笔袋的件数比用100元购进B品牌笔袋的件数少10件．
（1）求每件A品牌笔袋、B品牌笔袋的进价分别是多少元？
（2）商场计划用500元来购进A、B两种品牌笔袋，其中A、B两种品牌笔袋的总数量至少为60件，设A品牌笔袋购进a件，那么A品牌笔袋最多购进多少件？
（3）在（1）（2）的条件下，若A品牌笔袋每件的售价是15元，B品牌笔袋每件的售价8元，若A、B两种品牌笔袋全部售完，请求出总利润W与a的表达式？并求该超市利润最低是多少元？
23．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝15米，CD＝24米，BC＝46米，∠D＝150°，点P在BC上由点C向点B出发，速度为每秒4米；点Q在边AD上，同时由点A向点D运动，速度为每秒1米，当点Q运动到点D时，P、Q同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时PQ∥CD？
（2）设四边形PCDQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使点D在线段PC的垂直平分线上？并求出此刻t的值．
24．（10分）【问题提出】：将一个边长为n（n≥2）的正方形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方形的个数（此处长方形包括正方形）和正方形个数分别是多少？
【问题探究】：要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律．
探究一：将一个边长为2的正方形的四条边分别2等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方形的个数（此处长方形包括正方形）和正方形个数分别是多少？
如图1，从上往下，共有2行，我们先研究长方形（此处长方形包括正方形）的个数：
（1）第一行有宽边长为1，底长为1～2的长方形，共有2+1＝3个；
（2）第二行有宽边长为1，底长为1～2的长方形，共有2+1＝3个；
为了便于归纳分析，我们把长方形下面的底在第二行的所有长方形均算作第二行的长方形，以下各行类同第二行．因此底第二行还包括宽边长为2，底长为1～2的长方形，共有2+1＝3个．
即：第二行长方形共有2×3个．
所以如图1，长方形共有2×3+3＝9＝（2+1）2．
我们再研究正方形的个数：
分析：边长为1的正方形共有22个，边长为2的正方形共有12个，
所以：如图1，正方形共有22+12＝5＝×2×3×5个．
探究二：将一个边长为3的正方形的四条边分别3等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方形（此处长方形包括正方形）的个数和正方形个数分别是多少？
如图2，从上往下，共有3行，我们先研究长方形的个数：
（1）第一行有宽长为1底长为1～3的长方形，共有3+2+1＝6个；
（2）第二行有宽边长为1，底长为1～3的长方形，共有3+2+1＝6个；
底在第二行还包括宽边长为2，底长为1～3的长方形，共有3+2+1＝6个．
即：第二行长方形共有2×6个．
（3）第三行有宽边长为1，底长为1～3的长方形，共有3+2+1＝6个；
底在第三行还包括宽边长为2，底长为1～3的长方形，共有3+2+1＝6个．
底在第三行还包括宽边长为3，底长为1～3的长方形，共有3+2+1＝6个．
即：第三行长方形共有3×6个．
所以如图2，长方形共有3×6+2×6+6＝（3+2+1）×6＝（3+2+1）2．
我们再研究正方形的个数：分析：边长为1的正方形共有3个，边长为2的正方形共有22个，边长为3的正方形共有12个．
所以：如图2，正方形共有32+22+12＝14＝×3×4×7个．
探究三：将一个边长为5的正方形的四条边分别5等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方形（此处长方形包括正方形）的个数和正方形个数分别是多少？
如图3，从上往下，共有5行，我们先研究长方形的个数：
（1）第一行有宽边长为1，底长为1～5的长方形，共有5+4+3+2+1＝15个．
（2）第二行有宽边长为1，底长为1～5的长方形，共有5+4+3+2+1＝15个；
底在第二行还包括宽边长为2，底长为1～5的长方形，共有5+4+3+2+1＝15个．
即：第二行长方形共有2×15个．
（3）模仿上面的探究，第三行长方形总共有3×15个．
（4）按照上边的规律，第四行长方形总共有 　 　个．
（5）按照上边的规律，第五行长方形总共有 　 　个．
所以，如图3，长方形总共有 　 　个．
我们再研究正方形的个数：
分析：边长为1的正方形共有52个，边长为2的正方形共有42个，边长为3的正方形共有32个，边长为4的正方形共有22个，边长为5的正方形共有12个．
所以：如图3，正方形共有52+42+32+22+12＝×　 　个（仿照前面的探究，写成三个整数相的形式）．
【问题解决】将一个边长为n（n≥2）的正方形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，根据上边的规律，得出该正方形被剖分的网格中的长方形（此处矩形包括正方形）的个数是 　 　和正方形个数分别是×　 　．（用含n的代数式表示）
【问题应用】将一个边长为n（n≥2）的正方形的四条边12等分，连接各边对应的等分点，若得出该正方形被剖分的网格中的长方形的（此处长方形包括正方形）个数是 　 　个，正方形个数是 　 　个．
2020-2021学年山东省青岛市城阳区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题(本题满分24分,共有8道小题,每小题3分)请将1—8各小题所选答案涂在答题纸规定的位置
1．下面图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．据气象台预报，2021年6月某日我区最高气温25℃，最低气温17℃，则当天气温t（℃）的变化范围是（　　）
A．t≥17 B．t≤25 C．17≤t≤25 D．17＜t＜25
【分析】根据2021年6月某日我区最高气温25℃和最低气温17℃得出答案即可．
【解答】解：∵2021年6月某日我区最高气温25℃，最低气温17℃，
∴当天气温t（℃）的变化范围是17≤t≤25，
故选：C．
3．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2
B．10x3y4＝2xy?5x2y3
C．2xy﹣4xy2+x＝2y（x﹣2xy）+x
D．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式，叫做因式分解，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、10x3y4不是多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、2xy﹣4xy2+x＝2y（x﹣2xy）+x，右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意；
D、x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，是因式分解，故此选项符合题意．
故选：D．
4．如图，Rt△ABC的顶点C的坐标为（1，0），点A在x轴正半轴上，且AC＝2．将△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向左平移3个单位，则点A的对应点A′的坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣1，3）
【分析】求出两次变换后点A的对应点的坐标即可．
【解答】解：∵点C的坐标为（1，0），AC＝2，
∴点A的坐标为（3，0），
将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，
则点A的对应点坐标为（1，﹣2），
再向左平移3个单位长度，
则变换后点A的对应点坐标为（﹣2，﹣2）．
故选：A．
5．张叔叔想买同一种大小一样、形状相同的地砖铺设客厅，为了能够做到无缝隙、不重叠铺设，有以下几种地砖
①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形；⑤正十边形，可以购买的地砖形状是（　　）
A．①④ B．①③ C．③⑤ D．②④
【分析】根据一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°求解即可．
【解答】解：①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能够铺满地面．
②正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能够铺满地面．
③正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能够铺满地面．
④正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8＝135°，不能整除360°，不能够铺满地面．
⑤正十边形的每个内角为：180°﹣360°÷10＝144°，不能整除360°，不能够铺满地面．
故选：B．
6．化简﹣x+2的结果是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝，
故选：B．
7．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于点E，CD＝6，则AB等于（　　）
A．6+12 B．6+6 C．4 D．4+4
【分析】根据角平分线的性质得到DE＝CD＝6，根据等腰直角三角形的性质求出AD，进而求出AC，再根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝90°，
∴∠A＝45°，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DE⊥AB，CD＝6，
∴DE＝CD＝6，
在Rt△DEA中，∠C＝90°，∠A＝45°，
∴AD＝DE＝6
∴AC＝AD+CD＝6+6，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，
∴AB＝AC＝12+6，
故选：A．
8．若不等式组有解，则a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有解得出﹣a≤2，再求出答案即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x≥﹣a，
解不等式②，得x＜2，
∵不等式组有解，
∴﹣a≤2，
解得：a≥﹣2，
故选：B．
二、填空题(本题满分24分,共有8道小题,每小题3分)请将9-16各小题的答案填写在答题纸规定的位置.
9．分解因式：﹣16x2+9y2＝　（3y+4x）（3y﹣4x）　．
【分析】根据a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可推断出﹣16x2+9y2＝（3y+4x）（3y﹣4x）．
【解答】解：﹣16x2+9y2
＝9y2﹣16x2
＝（3y）2﹣（4x）2
＝（3y+4x）（3y﹣4x）．
故答案为：（3y+4x）（3y﹣4x）．
10．若分式的值为0，则x的值为　﹣5　．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由题意可得：x+5＝0且x﹣2≠0，
解得x＝﹣5．
故答案为：﹣5．
11．三角形各边长分别是6cm，8cm，10cm，则以各边中点为顶点的三角形面积是 　6　cm2．
【分析】根据三角形中位线定理分别求出DE、DF、EF，根据勾股定理的逆定理得到以各边中点为顶点的三角形是直角三角形，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵D、E分别为AB、BC的中点，AC＝8cm，
∴DE＝AC＝4（cm），
同理可得：DF＝5cm，EF＝3cm，
∵32+42＝9+16＝25＝52，
∴以各边中点为顶点的三角形是直角三角形，
∴以各边中点为顶点的三角形面积＝×3×4＝6（cm2），
故答案为：6．
12．已知函数，y1＝﹣2x+3，y2＝3x+4，则当y1＞y2时，则x的取值范围是 　x＜﹣　．
【分析】由已知可得不等式﹣2x+3＞3x+4，解不等式即可求解．
【解答】解：∵y1＝﹣2x+3，y2＝3x+4，y1＞y2，
∴﹣2x+3＞3x+4，
∴x＜﹣，
故答案为x＜﹣．
13．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB的中点，连接CD，∠ACB＝46°，则∠A＝　67°　．
【分析】由等腰三角形的性质可得CD⊥AB，∠ACD＝23°，进而可求解．
【解答】解：∵AC＝BC，D是AB的中点，
∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，
∵∠ACB＝46°，
∴∠ACD＝∠BCD＝23°，
∴∠A＝90°﹣23°＝67°．
故答案为67°．
14．如图，在△ABC中，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，使旋转角∠DAB＝70°，则∠AEC＝　55　°．
【分析】根据旋转的性质得AE＝AC，∠BAD＝∠EAC，再根据等腰三角形的性质得∠AEC＝∠ACE，则∠AEC＝∠ACE＝55°．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，
∴AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝70°，
∴∠ACE＝∠AEC，
∴∠AEC＝∠ACE＝＝55°，
故答案为55．
15．如图，在△ABC中，∠C＝45°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D；AC的垂直平分线交AC于点G，交BC于点F，连接AD，AF．若AF＝2cm，BC＝8cm，则DF＝　　cm．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，FC＝AF，根据三角形的外角性质求出∠AFD＝90°，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，AF＝2cm，
∴DA＝DB，FC＝AF＝2cm，
∴∠FAC＝∠C＝45°，
∴∠AFD＝∠FAC+∠C＝90°，
∵BC＝8cm，FC＝2cm，
∴BF＝8﹣2＝6（cm），
设DF＝xcm，则DA＝DB＝（6﹣x）cm，
在Rt△ADF中，AD2＝AF2+DF2，即（6﹣x）2＝22+x2，
解得：x＝，即DF＝cm，
故答案为：．
16．观察：∵＝×（1﹣），＝×（），＝×（﹣），…＝×（﹣），
∴+++…+＝×（1﹣+﹣+…﹣）＝．
请用你发现的规律计算求值：+++…+　＝　．
【分析】由所给的式子可得：，＝，…根据此规律，对所求的式子进行解答即可．
【解答】解：∵，
＝，
∴+…+
＝+++…+
＝×（+…+）
＝
＝
＝．
故答案为：．
三、作图题(共4分)
17．（8分）（1）已知：△ABC（如图1）．
求作：BC边上的高AD（用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）．
结论：
（2）如图2，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣1，2）．
①平移△ABC，使其顶点A平移到点A1（﹣3，0）处，画出平移后的△A1B1C1；
②以点C为旋转中心，画出△ABC按顺时针旋转90°的△A2B2C2．
【分析】（1）根据三角形的高的定义作出图形即可．
（2）①利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
②利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图1中，线段AD即为所求．
（2）①如图2中，△A1B1C1即为所求．
②如图2中，△A2B2C2即为所求．
四、解答题(本大题满分64分)
18．（16分）（1）解不等式组：；
（2）化简：（﹣2x）÷；
（3）分解因式：x2y﹣8xy+16y；
（4）解方程：+＝1．
【分析】（1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可；
（2）先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再算乘法即可；
（3）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；
（4）先方程两边都乘x﹣6，再求出整式方程的解，最后进行检验即可．
【解答】解：（1），
解不等式①，得x≤2，
解不等式②，得x＞﹣2，
所以不等式组的解集是﹣2＜x≤2；
（2）（﹣2x）÷
＝?
＝?
＝﹣（x﹣y）
＝y﹣x；
（3）x2y﹣8xy+16y
＝y（x2﹣8x+16）
＝y（x﹣4）2；
（4）+＝1，
方程两边都乘x﹣6，得3﹣x﹣1＝x﹣6，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣6≠0，所以x＝4是原方程的解，
即原方程的解是x＝4．
19．（6分）某校团委组织七年级和八年级共100名同学参加义卖活动，所获利润全部捐给贫困地区学生，七年级学生每人义卖平均获得净利润10元，八年级学生每人义卖平均获得净利润15元，为了保证义卖获得净利润总钱数不少于1200元，至少需要多少名八年级学生参加活动？
【分析】设需要x名八年级学生参加活动，则需要（100﹣x）名七年级学生参加活动，利用义卖获得净利润总额＝10×七年级参加活动的人数+15×八年级参加活动的人数，结合义卖获得净利润总钱数不少于1200元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：设需要x名八年级学生参加活动，则需要（100﹣x）名七年级学生参加活动，
依题意得：10（100﹣x）+15x≥1200，
解得：x≥40．
答：至少需要40名八年级学生参加活动．
20．（6分）已知：如图，∠CAB＝∠ABD＝90°，且CB＝AD，CB、AD交于点E，EF⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若BD＝6，则EF＝　3　．
【分析】（1）根据HL可证Rt△ABC≌Rt△BAD，即可求证AC＝BD．
（2）先证明△ABE是等腰三角形，再根据三线合一可得F是AB中点，在证明EF∥BD，可得EF是△ABD的中位线，根据中位线的性质即可求解EF的长度．
【解答】（1）证明：∵∠CAB＝∠ABD＝90°
∴△ABC和△ABD为直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ABD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴AC＝BD．
（2）解：∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠DAB＝∠CDA，
∴△ABE是等腰三角形，
∵EF⊥AB于点F，
∴F是AB的中点，
又∵∠EFA＝90°＝∠ABD，
∴EF∥BD，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF＝BD＝．
故答案为：3．
21．（6分）已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC的中点，连接OE并延长使EF＝OE，连接BF、CF．
求证：（1）OB＝CF；
（2）四边形OFCD是平行四边形．
【分析】（1）根据E是BC中点，得到BE＝CE，由于EF＝OE，得到四边形OBFC是平行四边形，根据平行四边形的性质得到OB＝CF；
（2）根据平行四边形的性质得到BO＝DO，根据三角形的中位线定理得到OE∥CD，即OF∥CD，根据平行四边形的性质得到OD∥CF，由平行四边形的判定定理得到四边形OFCD是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵E是BC中点，
∴BE＝CE，
∵EF＝OE，
∴四边形OBFC是平行四边形，
∴OB＝CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵BE＝CE，
∴OE∥CD，
即OF∥CD，
∵四边形OBFC是平行四边形，
∴OB∥CF，
∴OD∥CF，
∴四边形OFCD是平行四边形．
22．（10分）某商场计划购进A、B两种品牌的卡通笔袋，A品牌笔袋的进价是B品牌笔袋的进价的2倍，用100元购进A品牌笔袋的件数比用100元购进B品牌笔袋的件数少10件．
（1）求每件A品牌笔袋、B品牌笔袋的进价分别是多少元？
（2）商场计划用500元来购进A、B两种品牌笔袋，其中A、B两种品牌笔袋的总数量至少为60件，设A品牌笔袋购进a件，那么A品牌笔袋最多购进多少件？
（3）在（1）（2）的条件下，若A品牌笔袋每件的售价是15元，B品牌笔袋每件的售价8元，若A、B两种品牌笔袋全部售完，请求出总利润W与a的表达式？并求该超市利润最低是多少元？
【分析】（1）设每件B品牌笔袋的进价是x元，则每件A品牌笔袋的进价是2x元，利用数量＝总价÷单价，结合用100元购进A品牌笔袋的件数比用100元购进B品牌笔袋的件数少10件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设A品牌笔袋购进a件，则B品牌笔袋购进（100﹣2a）件，根据购进A、B两种品牌笔袋的总数量至少为60件，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（3）利用总利润＝每件的利润×销售数量，即可找出W关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每件B品牌笔袋的进价是x元，则每件A品牌笔袋的进价是2x元，
依题意得：﹣＝10，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×5＝10．
答：每件A品牌笔袋的进价是10元，每件B品牌笔袋的进价是5元．
（2）设A品牌笔袋购进a件，则B品牌笔袋购进＝（100﹣2a）件，
依题意得：a+（100﹣2a）≥60，
解得：a≤40．
答：A品牌笔袋最多购进40件．
（3）依题意得：W＝（15﹣10）a+（8﹣5）（100﹣2a）＝﹣a+300．
∵﹣1＜0，
∴W随a的增大而减小，
又∵a≤40，
∴当a＝40时，W取得最小值，最小值＝﹣1×40+300＝260．
答：总利润W与a的表达式为W＝﹣a+300，该超市利润最低是260元．
23．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝15米，CD＝24米，BC＝46米，∠D＝150°，点P在BC上由点C向点B出发，速度为每秒4米；点Q在边AD上，同时由点A向点D运动，速度为每秒1米，当点Q运动到点D时，P、Q同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时PQ∥CD？
（2）设四边形PCDQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使点D在线段PC的垂直平分线上？并求出此刻t的值．
【分析】（1）由题意可证四边形PCDQ是平行四边形，可得QD＝PC，可列等式，即可求解；
（2）过点D作DH⊥BC于H，由平行线的性质可求∠C＝30°，由直角三角形的性质可求DH的长，由梯形面积公式可求解；
（3）在Rt△DCH中，由勾股定理可求CH的长，由垂直平分线的性质可求CP＝2CH，即可求解．
【解答】解：（1）∵PQ∥CD，AD∥BC，
∴四边形PCDQ是平行四边形，
∴QD＝PC，
∴15﹣t＝4t，
∴t＝3；
（2）存在，
如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠C＝180°，
∴∠C＝30°，
∴DH＝CD＝12（米），
∴S＝×DH×（QD+PC）＝6（15﹣t+4t）＝90+18t；
（3）∵DH⊥BC，DC＝24米，DH＝12米，
∴CH＝＝＝12（米），
∵点D在线段PC的垂直平分线上，
∴CP＝2CH＝24（米），
∴t＝＝6（秒）．
24．（10分）【问题提出】：将一个边长为n（n≥2）的正方形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方形的个数（此处长方形包括正方形）和正方形个数分别是多少？
【问题探究】：要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律．
探究一：将一个边长为2的正方形的四条边分别2等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方形的个数（此处长方形包括正方形）和正方形个数分别是多少？
如图1，从上往下，共有2行，我们先研究长方形（此处长方形包括正方形）的个数：
（1）第一行有宽边长为1，底长为1～2的长方形，共有2+1＝3个；
（2）第二行有宽边长为1，底长为1～2的长方形，共有2+1＝3个；
为了便于归纳分析，我们把长方形下面的底在第二行的所有长方形均算作第二行的长方形，以下各行类同第二行．因此底第二行还包括宽边长为2，底长为1～2的长方形，共有2+1＝3个．
即：第二行长方形共有2×3个．
所以如图1，长方形共有2×3+3＝9＝（2+1）2．
我们再研究正方形的个数：
分析：边长为1的正方形共有22个，边长为2的正方形共有12个，
所以：如图1，正方形共有22+12＝5＝×2×3×5个．
探究二：将一个边长为3的正方形的四条边分别3等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方形（此处长方形包括正方形）的个数和正方形个数分别是多少？
如图2，从上往下，共有3行，我们先研究长方形的个数：
（1）第一行有宽长为1底长为1～3的长方形，共有3+2+1＝6个；
（2）第二行有宽边长为1，底长为1～3的长方形，共有3+2+1＝6个；
底在第二行还包括宽边长为2，底长为1～3的长方形，共有3+2+1＝6个．
即：第二行长方形共有2×6个．
（3）第三行有宽边长为1，底长为1～3的长方形，共有3+2+1＝6个；
底在第三行还包括宽边长为2，底长为1～3的长方形，共有3+2+1＝6个．
底在第三行还包括宽边长为3，底长为1～3的长方形，共有3+2+1＝6个．
即：第三行长方形共有3×6个．
所以如图2，长方形共有3×6+2×6+6＝（3+2+1）×6＝（3+2+1）2．
我们再研究正方形的个数：分析：边长为1的正方形共有3个，边长为2的正方形共有22个，边长为3的正方形共有12个．
所以：如图2，正方形共有32+22+12＝14＝×3×4×7个．
探究三：将一个边长为5的正方形的四条边分别5等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方形（此处长方形包括正方形）的个数和正方形个数分别是多少？
如图3，从上往下，共有5行，我们先研究长方形的个数：
（1）第一行有宽边长为1，底长为1～5的长方形，共有5+4+3+2+1＝15个．
（2）第二行有宽边长为1，底长为1～5的长方形，共有5+4+3+2+1＝15个；
底在第二行还包括宽边长为2，底长为1～5的长方形，共有5+4+3+2+1＝15个．
即：第二行长方形共有2×15个．
（3）模仿上面的探究，第三行长方形总共有3×15个．
（4）按照上边的规律，第四行长方形总共有 　4×15　个．
（5）按照上边的规律，第五行长方形总共有 　5×15　个．
所以，如图3，长方形总共有 　（5+4+3+2+1）2　个．
我们再研究正方形的个数：
分析：边长为1的正方形共有52个，边长为2的正方形共有42个，边长为3的正方形共有32个，边长为4的正方形共有22个，边长为5的正方形共有12个．
所以：如图3，正方形共有52+42+32+22+12＝×　5×6×11　个（仿照前面的探究，写成三个整数相的形式）．
【问题解决】将一个边长为n（n≥2）的正方形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，根据上边的规律，得出该正方形被剖分的网格中的长方形（此处矩形包括正方形）的个数是 　（n+n﹣1+n﹣2+…+1）2　和正方形个数分别是×　n（n+1）（2n+1）　．（用含n的代数式表示）
【问题应用】将一个边长为n（n≥2）的正方形的四条边12等分，连接各边对应的等分点，若得出该正方形被剖分的网格中的长方形的（此处长方形包括正方形）个数是 　6084　个，正方形个数是 　650　个．
【分析】本题是找规律的试题，通过第一行，第二行，可推出第三行的规律为 3×（4+3+2+1）个，进而推出第四行的规律为 4×（4+3+2+1）个，在通过边数得到长方形的个数（n+n﹣1+n﹣2+…+1）2，正方形的个数n（n+1）（2n+1），再通过找规律得到其他答案．
【解答】解：探究三：
（3）通过第一行，第二行，可推出第三行长方形总共有 3×（5+4+3+2+1）个．
故答案为：3×15；
（4）按照上边的规律，可推出第四行长方形总共有43×（5+4+3+2+1）个．
故答案为：4×15；
（5）按照以上规律，第五行长方形共有 5×（5+4+3+2+1）个，
所以，如图 3，长方形共有 5×（5+4+3+2+1）+4×（5+4+3+2+1）+3×（5+4+3+2+1）+2×（5+4+3+2+1）+（5+4+3+2+1）＝（5+4+3+2+1）×（5+4+3+2+1）＝（5+4+3+2+1）2个．
我们再研究正方形的个数：
分析：边长为1的正方形共有52个，边长为2的正方形共有42个，边长为3的正方形共有32个，边长为4的正方形共有22个，边长为5的正方形共有1个．
所以：如图3，正方形共有52+42+32+22+12＝（×5×6×11）个，（仿照前面的探究，写成三个整数相乘的形式）
故答案为：5×15，（5+4+3+2+1）2，5×6×11；
【问题解决】
将一个边长为n（n≥2）的正方形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，根据上边的规律，得出该正方形被剖分的网格中的长方形形的个数是（n+n﹣1+n﹣2+…+1）2和正方形个数分别n（n+1）（2n+1）个．（用含n的代数式表示）
故答案为：（n+n﹣1+n﹣2+…+1）2，n（n+1）（2n+1）；
【问题应用】
根据题意可得，n＝12时，
该正方形被剖分的网格中的长方形的（此处长方形包括正方形）个数是（n+n﹣1+n﹣2+…+1）2＝6084个，正方形个数是数n（n+1）（2n+1）＝650个，
故答案为：6084，650；