浙江省牌头中学、大田中学2012届高三3月联考数学（理）试题

一、选择题（共10题，每题5分，共50分）(请把选择题答案涂在答题卡上)
1、设全集,,，则是 （ ）
A、(0,1] B、(0,1) C、 D、
2、复数等于 （ ）
A、 B、 C、 D、
3、“” 的 条件是“” （ ）
A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要
4、设a，b为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是（ ）
A、若则 B、若则
C、若则 D、若则
5、若实数x，y满足的最小值为3，则实数b的值为 （ ）
A、 B、2 C、 D、
6、已知，且，，则的值等于 （ ）
A、8 B、2 C、 D、4
7、如图，在一花坛A，B，C，D四个区域种花，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法总数为 （ ）
A、60 B、48 C、84 D、72
8、若将函数的图像上每个点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）， 再向右平移个单位后得到的图像关于点对称，则的最小值是 （ ）
A、 B、 C、 D、
9、若二项式的展开式中，的系数为，则常数的值为 （ ）
A、4 B、－2 C、 D、2
10、对实数和，定义运算“”：设函数， ．若函数的图象与轴恰有两个公共点，则的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题（共7题，每题4分，共28分）(请把填空题答案写在答题卷上)
11、已知数列满足，则该数列的前10项的和为
12、从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如右图，则该几何体的体积为___________
13、记当时，观察下列等式：
，
，
，
，
，.
可以推测
14、如右图所示的程序程图中，若则的值等于
15、某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作； 其中6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成，则甲考生能正确完成题数的数学期望为
16、已知双曲线的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为
17、已知，，，且，则的最小值是
三、解答题（共5题，共72分）
18、（本题14分）已知向量，，函数.
（1）若，求的值；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是，且满足，
求的取值范围.
19、（本题14分）已知数列的前n项和为，
（1）证明：数列是等差数列，并求；
（2）设，求证：.
20、（本题14分）直三棱柱中，，，，，点D在上．
（1）求证：；
（2）若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD；
（3）当时，求二面角的余弦值．
21、（本题15分）已知椭圆＞b＞的离心率为且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求m的取值范围；
（3）试用m表示△MPQ的面积S，并求面积S的最大值.
22、（本题15分）已知函数
（1）求函数的极值点；
（2）若直线过点（0，—1），并且与曲线相切，求直线的方程；
（3）设函数，其中，求函数在上的最小值.
（其中e为自然对数的底数）
2012年浙江省 高三三月联考
数学参考答案(理)
一、选择题：
1~5 ACACC 6~10 BCDDB
二、填空题：
11、 77 ；12、 ；13、 ；14、 9 ；
15、 2 ；16、 ；17、 。
三、解答题（共5题，共72分）
18、（本题14分）已知向量，，函数.
(1)若，求的值；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是，且满足，
求的取值范围.
锐角△ABC，所以，
. 所以f(2B)的取值范围是 ……………14分
19、（本题14分）已知数列的前n项和为，
（1）证明：数列是等差数列，并求；
（2）设，求证：.
19、（1）证明：（I)由知，
当时：， …………………………1分
即，
∴，对成立。 …………………………3分
又是首项为1，公差为1的等差数列。
……………………5分
∴ ……………………6分
（2） …………………… 8分
∴
=
20、（本题14分）直三棱柱ABC -A1B1C1中，AB=5，
AC=4，BC=3，AA1=4，点D在AB上．
（Ⅰ）求证：AC⊥B1C；
（Ⅱ）若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD；
（Ⅲ）当时，求二面角的余弦值．
20.（Ⅰ）证明：在△ABC中，因为 AB=5，AC=4，BC=3，
所以 AC2+ BC2= AB2， 所以 AC⊥BC．
因为 直三棱柱ABC-A1B1C1，所以 C C1⊥AC．
因为 BC∩AC =C，所以 AC⊥平面B B1C1C．
所以 AC⊥B1C． …………4分
（Ⅱ）证明：连结BC1，交B1C于E，连接DE．
因为 直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点，所以 侧面B B1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，
所以 DE// AC1．因为 DE平面B1CD， AC1平面B1CD，所以 AC1∥平面B1CD．........8分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知AC⊥BC，如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A1 (0, 4, 4)，B1 (3, 0, 4)．
设D (a, b, 0)（，），
因为 点D在线段AB上，且，即．
所以，，，, ,．
平面BCD的法向量为． 设平面B1 CD的法向量为，
由 ，， 得 ，
所以 ，，.所以 ．
所以二面角的余弦值为． ……………12分
21、（本题15分）已知椭圆＞b＞的离心率为且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求m的取值范围.
（3）试用m表示△MPQ的面积S，并求面积S的最大值.
21.解：（1）依题意可得
从而所求椭圆方程为…………………4分
（2）直线的方程为
由可得
该方程的判别式△=＞0恒成立.
设则………………5分
可得
设线段PQ中点为N，则点N的坐标为………………6分
线段PQ的垂直平分线方程为
令，由题意………………………………………………7分
又，所以0＜＜…………………………………………………8分
（3）点M到直线的距离
于是
由可得代入上式，得
即＜＜.…………………………………………11分
设则
而＞00＜m＜＜0＜m＜
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，有最大值……………………13分
所以当时，△MPQ的面积S有最大值…………………14分
22、（本题15分）已知函数
（1）求函数的极值点；
（2）若直线过点（0，—1），并且与曲线相切，求直线的方程；
（3）设函数，其中，求函数在上的最小值.（其中e为自然对数的底数）
22. 解：（1）＞0.………………………………………………………1分
而＞0lnx+1＞0＞＜0＜00＜＜
所以在上单调递减，在上单调递增.………………3分
所以是函数的极小值点，极大值点不存在.…………………4分
（2）设切点坐标为，则切线的斜率为
所以切线的方程为……………………6分
又切线过点，所以有
解得
所以直线的方程为………………………………………………8分
（3），则
＜0＜00＜＜＞0＞
所以在上单调递减，在上单调递增.………………10分
①当即时，在上单调递增，
所以在上的最小值为………………………………………11分
②当1＜＜e，即1＜a＜2时，在上单调递减，在上单调递增.
在上的最小值为……………………………………12分
③当即时，在上单调递减，
所以在上的最小值为………………………………13分
综上，当时，的最小值为0；当1＜a＜2时，的最小值为；
当时，的最小值为…………………………………………15分
A
A1
B
C
D
B1
C1
牌头中学
大田中学
A
A1
B
C
D
B1
C1
A
A1
B
C
D
B1
C1
x
y
z
A
A1
B
C
D
B1
C1
E