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22.1.2
二次函数y=ax2的图象和性质
教学设计
课题
22.1.2
二次函数y=ax2的图象和性质
单元
第22章
学科
数学
年级
九年级
学习目标
1.会画二次函数y=ax2的图象；2.理解并掌握二次函数y=ax2的性质（开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性、对称性）；3.理解并掌握二次项系数a的作用.
重点
1.理解并掌握二次函数y=ax2的性质.2.掌握二次项系数a的作用．
难点
理解并掌握二次函数y=ax2的性质.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
复习回顾：1.画函数图象的方法和步骤？方法：描点法；步骤：列表——描点——连线；列表：注意自变量的取值范围；描点：先建系，根据表格确定点的坐标；连线：用光滑的曲线连接.2.正比例函数的图象和性质？一次函数？正比例函数
y=kx(k≠0)k的符号图象经过象限k>0一、三象限k<0二、四象限一次函数
y=kx+b(k≠0)k、b的符号图象经过象限k>0，b>0二、三象限k>0，b<0一、三、四象限k<0，b>0一、二、四象限K<0，b<0二、三、四象限
学生回忆并回答问题.
回顾一次函数、正比例函数的图象和性质以及画函数图象的方法及步骤.
讲授新课
环节一：探究二次函数y
=
x2的图象和性质用描点法画二次函数
y
=
x2
的图象解:(1)
列表(2)
描点(3)
连线x...-2-1012...y...41014...
y
y=x2
o
x观察二次函数
y=x2
的图象，回答下面问题：二次函数y=x2
的图象是抛物线；开口向上；轴对称图形，对称轴为y轴抛物线与对称轴的交点叫做顶点，y=x2的顶点为(0，0)，顶点是最低点；有最小函数值，当x=0时，y最小=0在对称轴y轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴y轴的左侧，y随x的增大而增大.以上（2）—（6）是函数y=x2的性质.
环节二：探究二次函数y
=
ax2的图象和性质例1
在同一直角坐标系中画出函数和y=2x2的图象解:(1)
列表x...-2-1012......20.500.52...y=2x2...82028...(2)
描点(3)
连线
y
y=x2
y=2x2
0
x观察上面的图象，类比
y=x2的图象和性质，说一说和
y=2x2的图象和性质？和y=2x2的图象都是抛物线.
性质：（1）开口向上；（2）对称轴是y轴；（3）顶点是（0，0）；（4）顶点是抛物线的最低点；（5）当x=0时，抛物线有最小函数值y=0；（6）在对称轴y轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴y轴右侧，y随x的增大而增大.思考：
y=x2，和y=2x2的图象和性质有什么相同点和不同点?相同点：图象都是抛物线，开口方向、对称轴、顶点、最小值、增减性、对称性都相同；不同点：解析式中的a值不同，图象的开口大小不同.小结：a>0，a越大，抛物线的开口越小.小结：a>0时，二次函数y=ax2的图象和性质：图象都是抛物线，性质：（1）开口方向：开口向上；.
（2）开口大小：a越大，抛物线的开口越小；
（3）轴对称图形，对称轴为y轴；（4）顶点(0、0)；
（5）当x=0时二次函数的函数值有最小值为y=0；
（6）增减性：在对称轴y轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴y轴右侧，y随x的增大而增大.探究：画出
y=
-x2，和
y=
-2x2的图象，并说出它们的性质.
y
0
x
y=
-2x2
y=
-x2
图象都是抛物线，性质：（1）开口向下；.
（2）对称轴为y轴；
（3）顶点(0、0)；
（4）函数值有最大值；
（5）增减性：在对称轴y轴左侧，y随x的增大而增大，在y轴右侧，y随x的增大而减小.不同点：解析式中的a值不同，图象的开口大小不同.小结：a<0，|a|越大，抛物线的开口越小.归纳总结：a>0，开口向上，对称轴为y轴；顶点(0、0)；函数值有最小值；增减性：在对称轴y轴左侧，y随x的增大而减小，在y轴右侧，y随x的增大而增大.a<0，开口向下，对称轴为y轴；顶点(0、0)；函数值有最大值；增减性：在对称轴y轴左侧，y随x的增大而增大，在y轴右侧，y随x的增大而减小.|a|越大，抛物线的开口越小.a>0图象
a<0图象思考：对比抛物线，y=x2和y=
-x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=
-ax2呢？小结：在同一坐标系内,抛物线y=ax2
与抛物线y=
-ax2是关于x轴对称的.
环节三：课堂练习1.
函数的图象的开口向上，对称轴是y轴；顶点(0、0)；在对称轴y轴左侧，y随x的增大而减小，在y轴右侧，y随x的增大而增大；函数有最小值.2.
函数的图象开口向下，对称轴为y轴；顶点(0、0)；在对称轴y轴左侧，y随x的增大而增大，在y轴右侧，y随x的增大而减小；函数值有最大值.3.
已知是二次函数，且当x>0时，y随x增大而增大，则k=2.4.
在二次函数y=
-5x2的图象上取两点A(-2，y1)，B(-3，y2)，
则y1>y2.
（填”>”或”<”或“=”）变式1：
在二次函数y=
-5x2的图象上取两点A(2，y1)，B(3，y2)，
则y1>
y2.
（填”>”或”<”或“=”）变式2.
在二次函数y=
-5x2的图象上取两点A(-2，y1)，B(3，y2)，
则y1>y2.
（填”>”或”<”或“=”）变式3：
在二次函数y=
-5x2的图象上取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
且x1>x2，则y1与
y2的大小关系不确定.判断两点函数值大小的方法：若两点在对称轴同侧，根据增减性判断函数值大小；若两点在对称轴两侧，根据点与对称轴的水平距离判断大小.（a>0，开口向上，距离越大，函数值越大；a<0，开口向下，距离越大，函数值越小）
；除此之外，还可以运用图象法或特殊值法.5.已知函数
是二次函数，
且开口向上.(1)求m的值；(2)求出二次函数的解析式？(3)写出此函数的增减性？解：(1)由题意知
解得
∵开口向上∴m-1>0.∴m=2.(2)解析式为
y=
-x2(3)此函数的对称轴为y轴，在y轴左侧，y随x增大而减小；在y轴右侧，y随x增大而增大.
通过画二次函数y
=
x2的图象，探究其性质.通过自学、交流完成例题和探究，总结规律.运用二次函数的性质求解未知字母的值以及解决相关问题.
学生练习、板演解题过程，师生互评，进行订正.
体会数形结合的数学思想，结合图形探究性质，为下面探究y
=
ax2的图象和性质奠定基础.从具体问题到一般规律获得二次函数y
=a
x2的性质.深刻理解二次函数的性质，初步理解问题
(?http:?/??/?zk.?/?"
\o
"欢迎登陆全品中考网?)并能用所学的知识解决问题
(?http:?/??/?zk.?/?"
\o
"欢迎登陆全品中考网?).培养学生运用数学知识解决问题的能力和对知识的应用意识.
课堂小结
师生共同梳理本节课的知识点.
强化本节课的知识点.
板书
22.1.2
二次函数y=ax2的图象和性质图象：抛物线
性质：开口方向
对称轴顶点最值增减性对称性例1
练习
教师展示本节课的内容.
展示本节课的内容.
y
x
O
x
y
O
y=ax2的图象和性质
抛物线
图象
开口方向
对称轴
性质
顶点
最值
增减性
对称性
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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人教版
九年级上
22.1.2
二次函数y=ax2
的图象和性质
新知导入
学习目标：
1.会画二次函数y=ax2的图象；
2.理解并掌握二次函数y=ax2的性质（开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性、对称性）；
3.理解并掌握二次项系数a的作用.
新知导入
1.画函数图象的方法和步骤？
列表：注意自变量的取值范围；
描点：先建系，根据表格确定点的坐标；
连线：用光滑的曲线连接.
方法：描点法
步骤：列表——描点——连线
新知导入
2.正比例函数的图象和性质？一次函数？
k的符号
图象
经过象限
k>0
k<0
一、三象限
二、四象限
正比例函数
y=kx(k≠0)
新知导入
k、b的符号
图象
经过象限
k>0
b>0
b<0
k<0
b>0
b<0
一次函数
y=kx+b(k≠0)
一、二、三
象限
一、三、四
象限
一、二、四
象限
二、三、四
象限
新知讲解
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
解:(1)
列表
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(2)
描点
(3)
连线
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y=x2
用描点法画二次函数
y
=
x2
的图象.
新知讲解
(2)
开口方向：
（填
“向上”或“向下”）
(1)
二次函数
y
=
x2
的图象是
.
抛物线
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y=x2
观察二次函数
y
=
x2
的图象，回答下面问题：
向上
(3)
抛物线是轴对称图形，
对称轴是
.
y轴
在抛物线上任取一点（m,m2）,它关于y轴的对称点（-m,m2）也在抛物线上，所以抛物线y=x2关于y轴对称.
新知讲解
(5)
二次函数
y
=
x2
的函数值有
最
值（填“大”或“小”），当x=0时，函数最小值是
.
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y=x2
观察二次函数
y
=
x2
的图象，回答下面问题：
小
(4)
抛物线与对称轴的交点叫做顶点，y
=
x2的顶点为
，
顶点是最
点（填“高”或
“低”）.
（0，0）
y=0
低
新知讲解
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y=x2
观察二次函数
y
=
x2
的图象，回答下面问题：
(6)
在对称轴y轴的左侧，y随x的增大而
，
在y轴的右侧，y随x的增大而
（填“增大”或“减小”）.
减小
增大
以上（2）—（6）是函数
y
=
x2的性质
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=
x2
8
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
4.5
1
2
x
y=2x2
8
…
…
…
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
解:(1)
列表
例1
在同一直角坐标系中，画出函数y=
x2和y=2x2的图象
合作探究
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
(3)
连线
(2)
描点
合作探究
观察上面的图象，类比y=x2的图象和性质，说一说y=
x2和y=2x2的图象和性质？
y=
x2和y=2x2的图象都是抛物线.
性质：（1）开口向上；（2）对称轴是y轴；（3）顶点是（0，0）；（4）顶点是抛物线的最低点；（5）当x=0时，抛物线有最小函数值y=0；（6）在对称轴y轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴y轴右侧，y随x的增大而增大.
合作探究
相同点：图象都是抛物线，开口方向、对称轴、顶点、最小值、增减性、对称性都相同；
不同点：解析式中的a值不同，图象的开口大小不同.
思考：y=x2，y=
x2和y=2x2的图象和性质有什么相同点和不同点?
小结：a>0，a越大，抛物线的开口越小.
合作探究
小结：a>0时，二次函数y=ax2的图象和性质：
图象都是抛物线，
性质：（1）开口方向：开口向上；
（2）开口大小：a越大，抛物线的开口越小；
（3）轴对称图形，对称轴为y轴；
（4）顶点(0，0)；
（5）当x=0时，二次函数的函数值有最小值为y=0；
（6）增减性：在对称轴y轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴y轴右侧，y随x的增大而增大.
合作探究
探究：画出y=-x2，y=
x2和y=-2x2的图象，并说出它们的性质.
x
1
y
-1
-2
-3
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-5
思考：它们的不同点？
图象都是抛物线，
性质：（1）开口向下；.
（2）对称轴为y轴；
（3）顶点(0，0)；
（4）函数值有最大值；
（5）增减性：在对称轴
y轴左侧，y随x的增大而增大，
在y轴右侧，y随x的增大而减小.
合作探究
不同点：解析式中的a值不同，图象的开口大小不同.
小结：a<0，|a|越大，抛物线的开口越小.
合作探究
y=ax2
(a≠0)
a>0
a<0
图
象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
最值
x
y
O
y
x
O
向上
向下
(0
,0)
(0
,0)
y轴
y轴
当x<0时，y随着x的增大而减小.当x>0时，y随着x的增大而增大.
当x<0时，y随着x的增大而增大.当x>0时，y随着x的增大而减小.
x=0时
,
y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2
(a≠0)的形状是由|a|来确定的,
|a|越大，开口越小.
合作探究
对比抛物线，y=x2和y=
-x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=－ax2呢？
小结：在同一坐标系内,抛物线
与
抛物线
是关于x轴对称的.
合作探究
课堂练习
向上
y轴
（0,0）
减小
增大
小
1.
函数y=
x2的图象的开口
，对称轴是
，顶点是
；在对称轴的左侧，y随x的增大而
，在对称轴的右侧，y随x的增大而
；函数有最
值.
2.
函数y=
x2的图象的开口
，对称轴是
，顶点是
；在对称轴的左侧，y随x的增大而
，在对称轴的右侧，y随x的增大而
；函数有最
值.
向下
y轴
（0,0）
增大
减小
大
课堂练习
2
3.
已知
是二次函数，且当x>0时，y随x增大而增大，则k=
.
4.
在二次函数
的图象上取两点A(-2，y1)，B(-3，y2)，
则y1
y2.
（填”>”或”<”或“=”）
变式1：
在二次函数
的图象上取两点A(2，y1)，B(3，y2)，
则y1
y2.
（填”>”或”<”或“=”）
>
>
课堂练习
变式2：
在二次函数
的图象上取两点A(-2，y1)，B(3，y2)，
则y1
y2.
（填”>”或”<”或“=”）
变式3：
在二次函数
的图象上取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
且x1>x2，则y1与
y2的大小关系
.
>
不确定
课堂练习
判断两点函数值大小的方法：
若两点在对称轴同侧，根据增减性判断函数值大小；
若两点在对称轴两侧，根据点与对称轴的水平距离判断大小.（a>0，开口向上，距离越大，函数值越大；a<0，开口向下，距离越大，函数值越小）
；
除此之外，还可以运用图象法或特殊值法.
课堂练习
5.
已知函数
是二次函数，
且开口向上.
(1)求m的值；
(2)求出二次函数的解析式？
(3)写出此函数的增减性？
课堂练习
解：
(1)由题意知
解得
∵开口向上
∴m-1>0.
∴m=2.
(2)解析式为
(3)此函数的对称轴为y轴，
在y轴左侧，y随x增大而减小；在y轴右侧，y随x增大而增大.
课堂总结
图象
性质
对称性
开口方向
抛物线
顶点
对称轴
最值
增减性
y=ax2
的图象
和性质
板书设计
22.1.2
二次函数y=ax2的图象和性质
图象：
抛物线
例1
练习
性质：
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
作业布置
1.必做题：教材P32
练习
2.选做题：教材P41
第
3、4
题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
