8.1正弦定理第一课时课件（共54张PPT）-湘教版数学必修4

正弦定理
二、解三角形
1．解三角形时常用的结论
(1)在△ABC中，A>B?⑤________?⑥________；(即在一个三角形中大边对大角)
(2)a＋b>c，b＋c>a，⑦________；(即在一个三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)
(3)内角和定理：△ABC中，A＋B＋C＝⑧________.
2．正弦定理的应用
利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：
(1)已知两角和任意一边，求其他⑨________和⑩________；
(2)已知两边和其中一边的对角，求?________，从而进一步求出其他的边和角．
对于第(1)类，其解是唯一确定的，一般先由三角形内角和为180°求得?________，再利用正弦定理求其余两边；
对于第(2)类，其解不一定唯一，由于三角形的形状不能唯一确定，因而会出现?________三种情况．
友情提示：在△ABC中，如果已知边a，b和角A，解的情况讨论如下：
一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解和无解三种情况．
①A为锐角，如下图：
a?________解　?________解　?________解　?________解
②A为直角或钝角，如下图．
?________解　?________解　?________解　________解
归纳列表如下：
1.正弦定理的推导方法
对正弦定理的推导，我们可以从几何的角度进行推导．如图，以△ABC的顶点A为原点，边AC所在的射线为x轴的正半轴，建立直角坐标系．
另外，我们也可以从△ABC的外接圆来进行推导，如图．
当△ABC为直角三角形时，如图①所示，其外接圆的圆心O位于Rt△ABC的斜边AB上，R为外接圆的半径．
2．已知两边与其中一边的对角时，怎样确定三角形解的个数？
利用数形结合和三角函数知识来分析．例如：已知△ABC的两边a，b和角A解三角形时，有以下方法：
方法一：可以作图，利用数形结合加以说明．如下表所示：
具体解题时，作出已知角A，边长b，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，与射线AB的公共点(除去顶点A)的个数即为三角形解的个数．
分析：从方程的观点看，正弦定理有三个等式，可视为三个方程，每个方程都含有四个量，知其三个量，便可求得第四个量．本题已知△ABC的两边和其中一边的对角，运用正弦定理可求出角A，然后再利用三角形内角和公式求得角C，进而求出边c.
[变式训练1]　在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.
[例2]　△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知b＝5，∠B＝30°，若c＝ ，解此三角形．
分析：主要考查用正、余弦定理解三角形及三角形中三角变形的技巧．
[例3]　在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，试判断三角形的形状．
分析：已知条件中有边和角的混合关系，可考虑利用边化角，从角的关系判断，也可考虑角化边，从边的关系判断．
[变式训练3]　在△ABC中，若acosA＝bcosB，求证：△ABC是等腰三角形或直角三角形．
分析：判断三角形形状通常从三角形内角的关系确定，也可以从三角形三边关系确定．本题可考虑把边化为角，寻找三角形角与角之间的关系，然后予以判定．
[例4]　如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β.
(1)证明sinα＋cos2β＝0；
(2)若AC＝ DC，求β的值．
分析：根据等腰三角形的性质，内角和定理，结合三角公式，正、余弦定理即可解决．
解三角形的应用问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形的边和角的大小，从而得出实际问题的解．
[例5]　(2009·辽宁卷)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km，
≈1.414， ≈2.449)．
分析：本题考查了应用三角形知识求解实际问题的能力．求解此类解三角形问题首先要能够读懂题意，分析清楚题意，要能够将实际问题转化为数学问题，即解三角形问题．在具体求解过程中要能够明确三角形中的边角关系，同时要注意多解情况和计算的准确性．
解析：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，
所以CD＝AC＝0.1，
又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.
[变式训练5]　如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.