8.1正弦定理第二课时课件（共25张PPT）-湘教版数学必修4

【课标要求】
理解正弦定理的推导过程，会初步运用正弦定理解斜三角形．
正弦定理
自学导引
1．
2．
锐角△ABC的外接圆O的半径为R，能否用R和角A表示a？在钝角△ABC中呢？
提示　能；均有a＝2Rsin A
在△ABC中，为什么说A>B等价于sin A>sin B?
提示　A>B?a>b?2Rsin A>2Rsin B?sin A>sin B
自主探究
1．
2．
答案　7
答案　4
预习测评
△ABC中，p：sin AA．p?q B．q?p
C．q?p D．p q，q p
答案　C
3．
在△ABC中，下列关系中一定成立的是 (　　)．
A．a>bsin A B．a＝bsin A
C．a答案　D
4．
几何法证明正弦定理
教材中，用三角函数的定义给出正弦定理的证明，下面我们给出几何法证明，且引入三角形的外接圆半径，对以后解三角形非常有益．
证明　设BD为△ABC外接圆⊙O的直径，则BD＝2R，下面按∠A为直角、锐角、钝角三种情况加以证明．
名师点睛
1．
正弦定理　在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径．
特别提示　在用正弦定理解三角形时，经常用到以下三角关系式，请牢记并灵活地加以运用．
①A＋B＋C＝π(在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，下同)；
②sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C；
(1)已知两角和任意一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角．
2．
已知两边和其中一边的对角，不能唯一确定三角形的形状，解这类三角形问题将出现无解、一解或两解三种情况，应分情况给予讨论．
下面为已知a，b和A，用正弦定理求解三角形时的各种情况：
①列表如下：
A为锐角
A为直角或钝角
图形
关系
式
a＝bsin A
absin Aa≥b
a>b
解的
个数
一解
无解
两解
一解
一解
如果sin B>1，则问题无解；
如果sin B＝1，则问题有一解；
如果求出sin B<1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．
在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.
解　由三角形内角和定理知A＋B＋C＝180°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.
题型一　已知三角形的两角及一边解三角形
【例1】
典例剖析
方法点评　已知三角形的任意两角和任一边，均可解该三角形．本例中要注意在△ABC中，A＋B＋C＝180°的运用．
已知三角形的两角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边的长．
解　设△ABC三内角A＝45°，B＝60°，则C＝75°.
∵C>B>A，
∴最小边的长为a.
1．
A．45°或135° B．135° C．45° D．60°
答案　C
方法点评　利用正弦定理解三角形时，需注意“三角形”这个前提，如题目中根据“内角和为180°”，对求得的解进行检验．
题型二　已知两边及其一边的对角解三角形
【例2】
满足a＝4，b＝3和A＝45°的△ABC的个数为 (　　)．
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数多个
解析　因为A＝45°<90°，a＝4>3＝b，所以△ABC解的个数为一解，故选B.
答案　B
2．
在△ABC中，若acos A＝bcos B，试判断△ABC的形状．
解　由正弦定理得，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
∴由acos A＝bcos B得：sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，
∵2A、2B∈(0，2π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
方法点评　判断三角形的形状，一般方法就是“边角统一”，即化边为角或化角为边．

题型三　利用正弦定理判断三角形的形状
【例3】
∴b2－a2＝ab ①
又2sin Asin B＝2sin2C，由正弦定理得：
2ab＝2c2 ②
由①②得b2＝a2＋c2.
所以该三角形是以B为直角顶点的直角三角形．
3．
误区警示　易出现丢解或多解的错误
【例4】
由研究特殊三角形到一般三角形，得出任意三角形的边、角之间的数量关系，即正弦定理的过程，是探讨数学问题常用的“从特殊到一般”的思想方法．
已知两角和任意一边，利用正弦定理解三角形，结果惟一；而已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理解三角形，结果往往不确定，此时要根据图形或“大边对大角”作出判断．
课堂总结
2．
1．
3．