8.3解三角形的应用举例_课件1(1)-湘教版数学必修4（20张PPT）

【课标要求】
会利用数学建模的思想，结合解三角形的知识，解决生产实践中的有关距离的问题．
解三角形的应用举例（一）
方位角：从指正北方向线按________方向旋转到目标方向线所成的水平角，叫做________．
答案　顺时针　方位角
方向角：指北或指南的方向线与目标线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，它是方位角的另一种表示形式．
计算不可直接测量的两点间的距离，是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．
自学导引
1．
2．
3．
测量地面上两个不能到达的两地之间的距离的方法有哪些？
提示　测量地面上两个不能到达的两地A、B之间的距离问题包括以下两种情况：
(1)A、B两地只能到达其中一地；(2)A、B两地都不能到达．
(1)的解决办法是：过可到达的一地(如A)确定一基线，在此基线上找一点C，测出AC的长、∠BAC和∠ACB的大小，通过解三角形ABC即可求出A、B之间的距离．如左下图所示．
自主探究
(2)的解决办法是：在A、B两地的一侧适当处选择一基线CD，(C、D为两个测量点，CD长可测)，分别在C、D两点测出∠ACB，∠ACD，∠ADB，∠BDC，在△ADC和△BDC中，利用正弦定理，求出AC，BC，然后在△ABC中，由余弦定理可求得AB的长．如右上图所示．
在某次测量中，设点A在点B的南偏东34°27′，则点B在点A的 (　　)．
A．北偏西34°27′ B．北偏东55°33′
C．北偏西55°33′ D．南偏西55°33′
解析　方向角主要注意方向问题，两点的相对位置在说明以一点为基点时另一点的位置就被确定，若反过来，则只需改变相对方向即可(如A在B的北面，则B在A的南面，其他亦如此．)
答案　A
预习测评
1．
已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为________km.
2．
解析　如图，由题意可得∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.设BC＝x，
则由余弦定理可得：
AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos 120°，
即32＝22＋x2－2×2xcos 120°，整理得x2＋2x＝5，
3．
如图，一客轮以速率2v由A至B再到C匀速航行，一货船从AC的中点D出发，以速率v沿直线匀速航行，将货物送达客轮，已知AB⊥BC，AB＝BC＝50海里，若两船同时出发，则两船相遇之处M距C点的距离为________海里．
4．
应用解三角形知识解实际问题的解题步骤：
(1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词、术语所表示的量；
(2)根据题意作出示意图；
(3)确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知元素与未知元素；
(4)选用正弦定理、余弦定理进行求解；
(5)给出答案．
名师点睛
1．
上述过程可简化为：
解三角形应用题常见的几种情况
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解．
(3)实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理．
2．
如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若CD＝1 000 m，∠ACB＝30°，∠BCD＝30°，∠BDA＝30°，∠ADC＝60°，求A、B两点之间的距离．
题型一　隔河测量两点间的距离
【例1】
典例剖析
解　由题意知△ACD为正三角形，所以AC＝CD＝1 000.在△BCD中，∠BDC＝90°，
方法点评　测量不能到达的两点间的距离，利用解斜三角形是一个重要的方法，解决这类问题的关键是构造一个或几个三角形，测出有关边长和角，用正、余弦定理进行计算．
如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离．测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，求A、B两点间的距离．
1．
如图，求AB.
题型二　隔山测量两点间的距离
【例2】
方法点评　因为A、B两点不可通视，可任取一点C，使得点C与A、B均可通视，构造△ABC，可求AB.
如图所示，A、B两点间有小山和小河，试设计一种方案，不过河而求出A、B两点间的距离，并说明计算方法．
解　在点B所在岸边任选一点C，使B、C两点可通视，测得BC＝m，∠BCA＝α，再在BC上取一点D，使A、D两点可通视，测得BD＝n，∠BDA＝β.
2．
学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4米，∠A＝30°，则其跨度AB的长为
误区警示　不能正确理解题意而导致错误
【例3】
(　　)．
[错解]　A或B或C
错因分析　一是不能正确理解题意，把实际问题转化为三角形中的问题求解而导致错误，二是找不到解三角形的正确思路．
答案　D
2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍
物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际
需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确
度．
课堂总结
1．