8.3解三角形的应用举例_课件(2)-湘教版数学必修4（20张PPT）

【课标要求】
1．了解有关测量中的名词、术语，可以帮助我们理解题
意，有些术语易混，同学们需要细心．
2．利用正弦定理，余弦定理解实际应用题是本节重点，
要在解题中总结应用定理的方法、技巧、规律．
解三角形的应用举例(二)
仰角和俯角：与目标视线在同一铅锤平面内的水平视线和目标视线的夹角，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．如图
自学导引
1．
高度问题
测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用________计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
答案　正弦定理
角度问题
测量角度就是在三角形中，利用正弦定理和余弦定理，求角的________然后求角，再根据需要求所求的角．
答案　三角函数值
2．
3．
在湖面上高h m处，测得天空中一朵云的仰角为α，测得云在湖中之影的俯角为β，试求云距湖面的高度．
自主探究
1．
在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求a边用正弦定理简单，还是用余弦定理简单？有什么技巧？
提示　用余弦定理简单．
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得
整理得a2－9a＋18＝0，∴a＝3或a＝6.
技巧：当三角形中已知两边和其中一边的对角时，
(1)若由已知只求内角，则用正弦定理合适；
(2)若由已知只求边，则用余弦定理合适．
2．
如右图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于 (　　)．
答案　D
　　　　　　　　　　　　　　　　
预习测评
1．
答案　A
2．
在△ABC中，若a＝4，c＝3，B＝45°，则△ABC的面积为________．
3．
如图，已知一小山的高度CD＝100米，从山顶看A点的俯角为30°，看B点的俯角为45°，A、B、D三点在一条直线上，则AB＝________米．
4．
三角形中的计算
三角形中的计算、证明问题用到的公式除正弦定理、余弦定理外，常见的公式还有：
(1)P＝a＋b＋c(P为三角形的周长)；
(2)A＋B＋C＝π；
名师点睛
1．
此外还需熟悉两角和差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式．
特别提示　利用正、余弦定理解三角形时要弄清已知条件是什么，从而选取三角形求未知元素，并恰当地选用正弦定理或余弦定理，同时要注意三角形面积公式的应用．
求高度及角度
求高度和夹角一般是构造三角形(最好构造一些特殊的三角形，如直角三角形、等腰三角形等)，通过解三角形求出高度或夹角．
2．
在某一山顶观测山下两村庄A、B，测得A的俯角为30°，B为俯角为40°，观测A、B两村庄的视角为50°，已知A、B在同一海平面上且相距1 000米，求山的高度．(精确到1米)
题型一　高度问题
【例1】
典例剖析
方法点评　把问题抽象概括为在空间解三角形问题，画出直观图是解题的关键，设出未知量可把已知量转移到同一个三角形中，由正、余弦定理列出方程可解决问题．
甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1、d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有 (　　)．
A．d1>d2　　　　　　　　B．d1C．d1>20 m D．d2<20 m
答案　B
1．
某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(＋1)小时后开始影响基地持续2小时．求台风移动的方向．
题型二　角度问题
【例2】
解　如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B、C、D在一直线上，且AD＝20、AC＝20.
∴∠BAC＝30°，又∵B位于A南偏东60°，
60°＋30°＋90°＝180°，∴D位于A的正北方向，
又∵∠ADC＝45°，
即北偏西45°方向．
所以台风向北偏西45°方向移动．
方法点评　在充分理解题意的基础上画出大致图形，由问题中的有关量提炼出三角形中的元素，用余弦定理、勾股定理解三角形．
2．
∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．
题型三　三角形中的综合计算问题
【例3】
方法点评　正、余弦定理与三角形的面积公式有机结合，在解决三角形问题中给人以赏心悦目之感．
?
3．
△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60°，
∠ADC＝150°，求AC的长及△ABC的面积．
误区警示　因忽视定理中边角的对应关系而出错
【例4】
[正解]　在△ABC中，∠BAD＝150°－60°＝90°，
测量底部不可到达的建筑物的高度问题时，由于底部不能到达，所以这类问题不能直接测量出建筑物的高度，也不能直接用解直角三角形的方法去解决，但可考虑构造直角三角形求该建筑物的高，或者利用地面上的三角形求出直角三角形中的一条边长．
一般地，正、余弦定理不仅是解三角形的依据，也是分析几何量之间关系的重要公式，要时刻结合条件联想两个定理，设出未知数利用正弦定理或余弦定理列方程是方程思想的具体体现，是解决实际问题常用的方法．
课堂总结
1．
2．