9.2等差数列_课件(2)-湘教版数学必修4（20张PPT）

【课标要求】
掌握数列的前n项和的概念，会根据前n项和求通项．理解并掌握等差数列的前n项和公式，掌握公式的推证方法——倒序相加法，掌握等差数列前n项和公式的简单应用．
等差数列(三)
答案　S1　Sn－Sn－1
等差数列的前n项和公式Sn＝________＝________．
自学导引
1．
2．
推导等差数列的前n项和公式用了什么方法？应用了等差数列的什么性质？
提示　倒序相加法．推导公式时用了等差数列的一重要性质：当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，有am＋an＝ap＋aq.
提示　不一定，若d＝0，则有Sn＝na1.
自主探究
2．
1．
答案　B
预习测评
1．
1＋4＋7＋10＋…＋(3n＋4)＋(3n＋7)等于 (　　)．
解析　本题的项数为n＋3项，这一点很关键．
答案　C
2．
答案　D
答案　D
3．
4．
名师点睛
1．
2．
(3)由等差数列的前n项和公式及通项公式可知，若已知a1、d、n、an、Sn中三个便可求出其余的两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程或方程组求解．
解　∵Sn＝3＋2n，
∴Sn－1＝3＋2n－1，an＝Sn－Sn－1
＝2n－1(n≥2)，而a1＝S1＝5，
题型一　利用Sn求an
【例1】
典例剖析
方法点评　a1＝S1是求数列通项的必经之路，an＝Sn－Sn－1，一般是针对n≥2时的自然数n而言的，因此，要注意验证n＝1时是否也适合，若不适合时，则应分段写出通项公式．
解　a1＝S1＝5，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝n2＋5n－1－[(n－1)2＋5(n－1)－1]
＝2n＋4
而当n＝1时，2n＋4＝6≠a1，
1．
(1)已知d＝3，an＝20，Sn＝65，求n；
(2)已知a11＝－1，求S21；
(3)已知an＝11－3n，求Sn.
题型二　等差数列前n项和公式的应用
【例2】
方法点评　等差数列的通项公式，求和公式要掌握并能熟练运用，特别是有关性质的灵活运用，可以提高运算速度．
(2)等差数列－16，－12，－8，…，前几项的和为72?
解　(1)a1＋a2＋…＋a5＝5a3＝25，∴a3＝5，∵a8＝15，
∴d＝2，∴an＝2n－1，∴a21＝41.
2．
＝－3n＋104.
∵n＝1也适合上式，
∴数列通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*)．
由an＝－3n＋104≥0，得n≤34.7.
题型三 　
【例3】
即当n≤34时，an＞0；当n≥35时，an＜0.
(1)当n≤34时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
(2)当n≥35时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2S34－Sn
方法点评　此类求和问题先由an的正负去掉绝对值符号，然后分类讨论转化为an求和问题，另外，本题在利用前n项和Sn求an时，易忽视分n＝1和n≥2两种情况讨论，应引起注意．
解　由Sn＝－n2＋10n得an＝Sn－Sn－1＝11－2n，n∈N*.验证a1＝9成立．
∴当n≤5时，an＞0，此时Tn＝Sn＝－n2＋10n；
当n＞5时，an＜0，此时Tn＝2S5－Sn＝n2－10n＋50.
3．
错因分析　已知数列的前n项和Sn，求数列的通项an时，需分类讨论，即分n≥2与n＝1两种情况．
误区警示　对定义把握不准而致误
【例4】
[正解]　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n；
课堂总结