9.2等差数列_课件(3)-湘教版数学必修4（22张PPT）

【课标要求】
　了解等差数列前n项和公式的函数特征，掌握等差数列
前n项和的性质，灵活运用等差数列前n项和公式及有
关性质解题．
　等差数列 (四)
答案　充要
答案　等差
自学导引
1．
2．
答案　(2n－1)
3．
提示　Sm＋p＝0.
自主探究
已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 (　　)．
A．2 B．24 C．3 D．25
解析　a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30 ①
a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15 ②
①－②得：5d＝15.∴d＝3.选C.
答案　C
预习测评
1．
答案　10
2．
解析　因为数列a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8为等差数列，所以a7＋a8＝4.
答案　4
3．
现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩下的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( 　　)．
A．9 B．10 C．19 D．29
答案　B
4．
等差数列前n项和公式
(1)性质1：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)，an＝pn＋q(p、q为常数)．
(2)性质2：①在等差数列中，间隔相等，连续等长的片段和序列仍成等差数列．
如：a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8，…，公差为4d.
a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，…，公差为3d.
a1＋a3＋a5，a2＋a4＋a6，a3＋a5＋a7，…公差为3d.
名师点睛
1．
②等差数列依次k项之和仍是等差数列．
即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k，…成等差数列，且公差为k2d.
等差数列的前n项和的最值的求法
(1)符号转折点法
2．
题型一　等差数列前n项和公式性质的应用
【例1】
典例剖析
方法点评　本题解法较多，解答一是此类题目的基本解法，但显得较烦琐，解答二、三、四主要运用了等差数列及其前n项和的性质，由此可见，灵活运用性质能给解题带来很大方便．
解析　法一　依据题设和前n项和公式有
1．
①
②
法二　在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
∴30，70，S3m－100成等差数列，
∴2×70＝30＋S3m－100.
∴S3m＝210.
答案　210
(1)从第几项开始有an＜0；
(2)求此数列前n项和的最大值．
解　(1)∵a1＝50，d＝－0.6，
∴an＝50－0.6(n－1)＝－0.6n＋50.6＜0.
由于n∈N*，故当n≥85时，an＜0，即从第85项起以后各项均小于0.
(2)法一　∵d＝－0.6＜0，a1＝50＞0，
由(1)知a84＞0，a85＜0，
题型二　等差数列前n项和的最值问题
【例2】
∴S1＜S2＜S3<…＜S84＞S85＞S86>…
方法点评　等差数列中，d＞0，数列递增；d＜0，数列递减，因而若有连续两项ak，ak＋1异号，则Sk必为Sn的最大值或最小值．
令an≥0，得n≤7.5，即数列的前7项为正数，从第8项起，以后各项为负数，∴当n＝7时，Sn最大，且S7＝49.
2．
误区警示　分析问题不严密致误
【例3】
∴当n＝12时，Sn有最大值S12＝130.
错因分析　解中仅解不等式an＞0是不正确的，事实上应解an≥0，an＋1≤0.
∵S10＝S15，∴S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，
∵a11＋a15＝a12＋a14＝2a13＝0，∴a13＝0.
∵公差d＜0，a1＞0，
∴a1，a2，…，a11，a12均为正数，而a14及以后各项均为负数．
∴当n＝12或13时，Sn有最大值为S12＝S13＝130.
利用Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差的关系，直接应用于解题中，使较为复杂的问题得以简化．
课堂总结
1．
3．
2．