9.2等差数列_课件-湘教版数学必修4（20张PPT）

【课标要求】
1．理解等差数列的概念．
2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认
识并能运用．
等差数列(一)
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这样的数列称为________数列，这个常数叫作等差数列的________，公差通常用字母d表示．
答案　等差　公差
自学导引
1．
若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的________，并且A＝________．
若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝________．
答案　a1＋(n－1)d
2．
3．
自主探究
1．
如何理解等差数列的自然语言与符号语言的关系？
可见，等差数列的意义用符号语言表示，即a1＝a，an＝an－1＋d(n≥2)，其本质是等差数列的递推公式．
2．
等差数列a－2d，a，a＋2d，…的通项公式是 (　　)．
A．an＝a＋(n－1)d B．an＝a＋(n－3)d
C．an＝a＋2(n－2)d D．an＝a＋2nd
解析　an＝(a－2d)＋(n－1)·2d＝a＋2(n－2)d.
答案　C
△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于
(　　)．
A．30° B．60° C．90° D．120°
答案　B
预习测评
2．
1．
等差数列1，3，5，7…的通项公式是________．
解析　因为a1＝1，公差d＝3－1＝2，
所以其通项公式为an＝1＋(n－1)×2，
即an＝2n－1.
答案　an＝2n－1
3与15的等差中项是________．
答案　9
3．
4．
等差数列的定义
(1)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
名师点睛
1．
特别提示　(1)注意定义中“同一常数”这一要求， 这一要求可理解为：每一项与前一项的差是常数且是同一常数，否则这个数列不能称为等差数列．
(2)注意定义中“从第2项起”这一要求，这一要求可理解为：首先是因为首项没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起，每一项与前一项的差是同一个常数(即an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个等差数列．
等差数列的通项公式
公式an＝a1＋(n－1)d也可以用以下方法(累差法)导出：
将以上n－1个等式两边分别相加，可得an－a1＝(n－1)d，移项得通项公式an＝a1＋(n－1)d.“累差法”是推导给出形如an＋1－an＝f(n)(n∈N*)递推公式的数列的通项公式的一种重要方法．
2．
由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以写出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．
等差中项及等差数列的判定
判断一个数列为等差数列的常见方法有：
3．
特别提示　(1)在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
(3)等差中项经常作为数列题目中的题设或结论出现，所以要引起重视．
方法点评　关于a1，an，n，d之间的运算称为基本量的运算，这是等差数列中最简单、最重要、必须熟练掌握的问题．
题型一　等差数列的通项公式
【例1】
典例剖析
已知数列－5，－3，－1，1，…是等差数列，判断52，2n＋7(n∈N*)是否为该数列的某项？若是，是第几项？
1．
已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，
c2(a＋b)是否成等差数列？
解　∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，
a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)
＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)
＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0，
∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)，
∴a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列．
题型二　等差数列的判断
【例2】
方法点评　如果a，b，c成等差数列，常转化成a＋c＝2b的形式去运用；反之，如果求证a，b，c成等差数列，常改证a＋c＝2b.有时应用概念解题，需要运用一些等价变形技巧，才能获得成功．
2．
错因分析　以特殊代替一般，用验证几个特例作为证明是不正确的，必须用定义或与定义等价的命题来证明．
误区警示　对等差数列的定义理解不透彻
【例3】
纠错心得　要说明一个数列为等差数列，必须说明从第二项起所有的项与其前一项之差为同一常数，即an－an－1＝d(n≥2)恒成立，而不能只验证有限个相邻两项之差相等．
(1)公差是从第二项起，每一项减去它前一项的差，即d＝an－an－1(n≥2)，或d＝an＋1－an(n∈N*)；
(2)要证明一个数列是等差数列，必须对任意n∈N*，an＋1－an＝d，或an－an－1＝d(n≥2)都成立；
(3)an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，表明d≠0时，an是关于n的一次函数．
如果已知等差数列的某两项，常把这两项都用首项和公差表示，这样可以求出首项、公差和通项公式．
课堂总结
2．