9.3等比数列_课件(3)-湘教版数学必修4（18张PPT）

【课标要求】
　理解等比数列前n项和的性质，并能用它解决等比数列
的求和问题．掌握数列求和的重要方法——分组法与并
项法．
等比数列(四)
若数列{an}为等比数列(公比q≠－1)，Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍构成________数列．
答案　等比
若某数列前n项和公式为Sn＝an－1(a≠0，a≠±1，n∈N*)，则{an}成________．
答案　等比数列
答案　q
自学导引
1．
2．
3．
　实际应用题是高考中的重要内容，那么关于解等比数列的应用题的基本步骤是什么呢？
提示　解答等比数列应用题的基本步骤：
(1)阅读理解材料，且对材料作适当处理；
(2)建立等比数列模型；
(3)解数列模型．
(4)回到实际问题．
自主探究
?
等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝30，则S30＝ (　　)．
A．70 B．90 C．100 D．120
解析　由于S10，S20－S10，S30－S20成等比数列．
∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，又∵S10＝10，S20＝30，
∴可得S30＝70.
答案　A
预习测评
1．
A．4 B．5 C．6 D．7
答案　B

2．
已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－1，则此数列为 (　　)．
A．等差数列 B．等比数列
C．常数数列 D．递减数列
解析　a1＝S1＝31－1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－3n－1＋1＝2·3n－1.所以对任意的正整数n，an＝2×3n－1成立，因此数列为等比数列．
答案　B
若等比数列的前n项和Sn＝5n＋m，则m＝(　　)．
A．－1 B．1 C．－5 D．5
解析　a1＝5＋m，当n≥2时，an＝5n－5n－1＝4·5n－1，所以5＋m＝4，m＝－1.
答案　A
3．
4．
等比数列前n项和性质
(1)若某数列前n项和公式为Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则数列{an}成等比数列．
(2)若数列{an}是公比为q的等比数列，则
①Sn＋m＝Sn＋qn·Sm；
③当q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
注意　利用等比数列前n项和性质解题，可以简化计算量，提高解题速度．
名师点睛
等比数列{an}的前n项和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为 (　　)．
解析　设等比数列{an}的前3n项的和为S，∵S2n＝60，∴q≠－1.则54，60－54，S－60成等比数列，所以54(S－60)＝36，
答案　D
　　　　　　　　
题型一　等比数列前n项和的性质
【例1】
典例剖析
方法点评　以上解法是根据“若{an}是等比数列且q≠－1，则“Sn，S2n－Sn，S3n－S2n”成等比数列进行的，本题还可以列方程组，求出基本量a1，q，再求S3n，显然这种解法不如运用性质解好．
已知一个等比数列的首项为1，项数为偶数，奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．
解　设该等比数列为{an}．公比为q，项数为n，由题意得：
1．
某地现有居民住房的总面积为a m2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．
(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少？(可取1.110≈2.6)
(2)过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少？(保留到小数点后第1位)
解　(1)根据题意，可知
1年后住房总面积为：1.1a－x；
2年后住房总面积为：1.1(1.1a－x)－x＝1.12a－1.1x－x；
题型二　等比数列的实际应用
【例2】
3年后住房总面积为：1.1(1.12a－1.1x－x)－x＝1.13a－1.12x－1.1x－x；
……
10年后住房总面积为：
1．110a－1.19x－1.18x－…－1.1x－x
方法点评　本题主要考查阅读能力、分析能力，解题思维障碍主要是对“10%的住房增长率”搞不清楚，要知道，它实际上是上一年住房的增长率．
某林场原有木材量为a，木材每年以25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x，为了实现经过20年达到木材总存量翻两番，求每年砍伐量的最大值(1g 2＝0.3)．
2．
设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，若S3＋S6＝2S9，求数列{an}的公比q.
　误区警示 考虑不全面，导致错误
【例3】
错因分析　在使用等比数列前n项和公式表示S3，S6，S9时未考虑q＝1的情况．
纠错心得　在解题时要认真思考，培养细心的良好习惯．
灵活应用等比数列前n项和的性质解题，往往能达到事半功倍的效果．
课堂总结