9.3等比数列_课件1(1)-湘教版数学必修4（22张PPT）

【课标要求】
1．记住等比数列的前n项和公式，能够利用公式求等比数
列的前n项和．
2．掌握前n项和公式的推导方法．
等比数列(三)
答案　na1
自学导引
1．
2．
等比数列的前n项和公式与函数有哪些关系？
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．
自主探究
1．
(2)当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数y＝－Aqx＋A图象上的一群孤立的点．当q＝1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点．
数列a，a2，a3，…，an，…一定是等比数列吗？
提示　不一定，例如当a＝0时，数列就不是等比数列．
2．
等比数列1，a，a2，a3，…的前n项和为(　　)．
解析　要考虑到公比为1的情况，此时Sn＝n.
答案　D
预习测评
1．
数列{2n－1}的前99项和为 (　　)．
A．2100－1 B．1－2100 C．299－1 D．1－299
答案　C
2．
若等比数列{an}的前3项的和为13，首项为1，则其公比为__________．
答案　3或－4
答案　1
3．
4．
等比数列前n项和公式的推导
设等比数列a1，a2，a3，…，an，…它的前n项和是Sn＝a1＋a2＋…＋an.
由等比数列的通项公式可将Sn写成
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. ①
①式两边同乘以q得，
qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn. ②
①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，由此得q≠1时，
名师点睛
1．
以上的推导方法叫做“错位相减法”．这是中学数学里比较重要的一种求和方法，要多用心体会．
特别提示　(1)等比数列的前n项和的公式及通项公式涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，只要知道其中任意三个量，都可以通过建立方程(组)等手段求出其余两个量，俗称“知三求二”．
(2)在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件为q≠1，当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.在解含字母参数的等比数列求和问题时，应分别讨论q≠1与q＝1两种情况．
等比数列的判定方法
(1)an＋1＝anq(an≠0，q是不为0的常数，n∈N*)?{an}为等比数列．
(2)an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)?{an}是等比数列．
2．
在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
题型一　等比数列前n项和公式的基本应用
【例1】
典例剖析
方法点评　(1)这是一类基础题，要熟练应用等比数列的通项公式及前n项和公式，运用方程的思想，解决两个最基本的量：首项a1和公比q.在等比数列的求和问题中，经常使用整体代换的思想．
(2)在使用等比数列的前n项和公式时，要注意讨论公比q＝1和q≠1两种情况．
若本例(1)中的条件不变，如何求{an}的通项公式？
1．
题型二　 　错位相减法求和
【例2】
求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．
(2)当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
2．
已知数列{an}的前n项和Sn＝a2n－1(a≠0，±1；n∈N*)，试判断{an}是否为等比数列，为什么？
解　{an}是等比数列，理由如下：
a1＝S1＝a2－1，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(a2n－1)－(a2n－2－1)＝(a2－1)a2n－2，
此时，n＝1时，a1＝a2－1.
∴数列{an}的通项公式为an＝(a2－1)a2n－2(n∈N*)．
即数列{an}是首项为a2－1，公比为a2的等比数列．
题型三　判断等比数列
【例3】
方法点评　将已知条件Sn＝a2n－1与an＝Sn－Sn－1结合起来 ，得到n≥2时的通项公式an＝(a2－1)a2n－2，特别注意的是，n＝1时即a1＝a2－1能否统一到an＝(a2－1)·a2n－2中去，如果能统一起来，则数列{an}为等比数列，否则数列{an}不是等比数列．
3．
在数列{an}中，an＝a2n－an(a≠0)，求{an}的前n项和Sn.
错因分析　等比数列求和，一定要注意公比是否等于1，否则将导致错误．
误区警示　漏掉q＝1而导致错误
【例4】
在等比数列中的五个量Sn，n，a1，q，an中，由前n项和公式结合通项公式，知道三个量便可求其余的两个量，同时还可以利用前n项和公式解与之有关的实际问题．
错位相减法是数列求和的重要方法，必须理解数列特征并掌握求和方法．
课堂总结
1．
2．
3．