9.4分期付款问题中的有关计算_课件-湘教版数学必修4（34张PPT）

分期付款问题中的有关计算
【课标要求】
1．通过探究“分期付款”等日常生活中的实际问题，体会
等差数列、等比数列知识在现实生活中的应用．
2．通过具体问题情境，主动思考，互相交流，共同讨
论，总结概括，发现并建立等差、等比数列这个数学
模型，会利用它解决一些存款问题，感受等差、等比
数列的广泛应用．
3．通过本节学习，让学生感受生活中处处有数学，从而
激发学生的积极性，提高数学学习的兴趣和信心．
等差数列{an}的通项公式________，前n项和公式____________或____________．
自学导引
1．
答案　an＝a1qn－1　Sn＝na1
有关储蓄的计算
储蓄与人们的日常生活密切相关，计算储蓄所得利息的基本公式是：利息＝本金×存期×利率．
根据国家规定，个人取得储蓄存款利息，应依法纳税，计算公式为：应纳税额＝利息全额×税率．
(1)整存整取定期储蓄
2．
3．
一次存入本金金额为A，存期为n，每期利率为p，税率为q，则到期时，所得利息为：______，应纳税为______，实际取出金额为：________．
(2)定期存入零存整取储蓄
每期初存入金额A，连存n次，每期利率为p，税率为q，则到第n期末时，应得到全部利息为：________，应纳税为：________，实际受益金额为________
分期付款问题
贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那么每月付款款额为：________．
4．
在分期付款问题中，贷款a元，分m个月付清，月利率为r，每月付x元，想一想，每月付金额x元应如何计算，试给出推导过程．
提示　一方面货款a元，m个月后本息和为a(1＋r)m；另一方面每月付款x元，从第一个月开始每次付款x元，m个月后本息和见下表所示.
自主探究
期数
1
2
3
…
本息和
x(1＋r)m－1
x(1＋r)m－2
x(1＋r)m－3
…
某人从2000年起，每年1月1日到银行存入a元(一年定期)，若年利率r保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2004年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数(单位为元)是 (　　)．
答案　B
预习测评
1．
某地区农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2008年该地区农民人均收入为4 150元(其中工资性收入为2 800元，其他收入为1 350元)，预计该地区自2009年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于 (　　)．
A．5 200元～5 400元 B．5 400元～5 600元
C．5 600元～5 800元 D．5 800元～6 000元
答案　D
2．
某种产品三次调价，单价由原来的每克512元降到216元，则这种产品平均每次降价的百分率为________．
答案　25%
某地今年产值为a，若今后每年平均比上一年增长10%，则从今年起到第五年底该地总产值为________．
答案　10(1.15－1)a
3．
4．
解答数列应用题的基本步骤
(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．
(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征，要求什么．
(3)求解——求出该问题的数学解．
(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．
具体解题步骤如下框图所示：
名师点睛
1．
数列应用问题的常见模型
(1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常数)．
例如：银行储蓄单利公式
2．
利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋xr)．
例如：①银行储蓄复利公式
按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋r)x.
②产值模型
原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y＝N(1＋p)x.
③分期付款模型
(3)混合模型：在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数列的模型．
(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)，称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．
(5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推数列的知识求解问题．
某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需
1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
解　因购房时先付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款数额顺次构成数列{an}．
题型一　　等差数列模型的应用
【例1】
典例剖析
a1＝50＋1 000×1%＝60，
a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，
a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，
a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，
∴实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．
所以第10个月应付55.5万元，实际共付1 255万元．
方法点评　与等差数列有关的实际应用题，要抓住其反映等差数列特征，仔细审题，用心联想，如本例中，每月比上一月都少付了50万元的月息，即0.5万元，所以每月付款成等差数列．
一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min可注满水池．如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？
解　设共有n个水龙头，每个水龙头放水时间从小到大依次为x1，x2，…，xn.
由已知可知x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1，
∴数列{xn}成等差数列，
1．
某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2011年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2021年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？
解　从2011年年初到2012年年初有存款b1＝a(1＋p)元，设第n年年初本息有bn元，第n＋1年年初有bn＋1元，则有bn＋1＝(bn＋a)(1＋p)．将之变形为
题型二　等比数列模型的应用
【例2】
方法点评　根据问题建立数列关系式是解决问题的关键，依据关系式转化为等差(比)数列求解．
银行按规定每经过一定时间结算存(贷)款的利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利，现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.110≈2.594，1.310≈13.79)
解　甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为1＋30%的等比数列，其和为
2．
1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9
到期时银行贷款的本息为
10(1＋0.1)10≈10×2.594＝25.94(万元)，
∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为
42．63－25.94≈16.7(万元)．
乙方案10年中逐年获利数组成等差数列
∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为
32．50－17.53≈15.0(万元)，
比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利．
某林场去年年底森林中木材存量为3 300万立方米，从今年起每年以25%的增长率生长，同时每年冬季要砍伐的木材量为b，为了实现经过20年达到木材存量至少翻两番的目标，每年冬季木材的砍伐量不能超过多少？(取lg 2＝0.3)
解　设a1，a2，…，a20表示今年开始的各年木材存量，且
a0＝3 300，则an＝an－1(1＋25%)－b.
题型三　递推数列型应用题
【例3】
方法点评　有些实际应用题，虽然是数列问题，但是既不是等差数列问题，也不是等比数列问题．如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推数列的知识求解问题．
某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an表示n年后该地区森林木材存量．
(1)求an的表达式；
3．
要在一段公路上每隔100米竖一块路程牌，共需竖60块路程牌，并依次将它们编号为1，2，3，…，60，为完成竖牌的任务，要求先用一辆汽车把60块路程牌全部集中到n(1≤n≤60，n∈N＋)号牌处，再由一个工人从n号牌处出发，用自行车每次运一块路程牌到规定地点竖牌，n应取多少时，才能使工人竖牌时所行的路程最少？最少路程是多少？
[错解]　找不到解决问题的思路．
错因分析　一些学生被应用题长长的文字所吓倒，不能从文字中提取有用信息，转化为数学模型，造成应用题不会做的局面．
误区警示　找不到应用题对应的数列模型
【例4】
[正解]　路程牌集中到n号牌处时，该工人所行路程为Sn＝2×100×(n－1)＋2×100×(n－2)＋…＋2×100×1＋2×100×1＋2×100×2＋…＋2×100×(60－n)
因为n∈N＋，所以当n＝30或n＝31时，(Sn)最小＝200(302－61×30＋1 830)＝180 000(米)．
即n取30或31时，才能使工人竖牌时所行的路程最少，最少路程是180 000米．
纠错心得　树立解应用题的自信心，应用所学知识进行解决．本例运用数列的知识求出从n号到每一号所行路程，它们分别组成两个等差数列，之后运用等差数列前n项和公式求出所行的路程，再用二次函数的有关知识计算出最少路程．
银行存款的计息方式，银行储蓄业务的种类及三种模型：零存整取模型，定期自动转存模型，分期付款模型．熟悉教育储蓄的计息方法．
等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型．要把学习知识，应用知识，探索发现，使用计算机工具及培养良好的科学态度与思维品质很好地结合起来．在归纳整合探究实际问题的过程中，进一步加深对数学问题的理解．
课堂总结
1．
2．