第三章 3.2 3.2.2
1．函数f(x)＝－x的图象关于( )
A．y轴对称
B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称
D．直线y＝x对称
2．函数f(x)＝|x|＋1是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
3．函数f(x)＝(x－1)，x∈(－1,1)( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．是非奇非偶函数
4．函数f(x)＝x2－2mx＋4是偶函数，则实数m＝____.
5．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
(2)比较f(1)与f(3)的大小．
第三章 3.2 3.2.2
1．函数f(x)＝－x的图象关于( C )
A．y轴对称
B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称
D．直线y＝x对称
[解析] 因为x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对定义域内每一个x，都有f(－x)＝－＋x＝－f(x)，所以函数f(x)＝－x是奇函数，其图象关于坐标原点对称．
2．函数f(x)＝|x|＋1是( B )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
[解析] f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
3．函数f(x)＝(x－1)，x∈(－1,1)( B )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．是非奇非偶函数
[解析] ∵x∈(－1,1)，∴x－1<0，
∴f(x)＝(x－1)＝－，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，选B．
4．函数f(x)＝x2－2mx＋4是偶函数，则实数m＝__0__.
[解析] f(x)为偶函数，则对称轴为x＝m＝0.
5．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
(2)比较f(1)与f(3)的大小．
[解析] (1)因为f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示．
(2)观察图象，知f(3)＜f(1)．第三章 3.2 3.2.2
A组·素养自测
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．偶函数的图象一定与y轴相交
B．奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0
C．奇函数y＝f(x)的图象一定过原点
D．图象过原点的奇函数必是单调函数
2．对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有( )
A．f(x)－f(－x)>0
B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·f(－x)≤0
D．f(x)·f(－x)>0
3．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下面坐标表示的点一定在函数y＝f(x)的图象上的是( )
A．(a，－f(a))
B．(－a，f(a))
C．(－a，－f(a))
D．(a，f(－a))
4．下列函数中既是奇函数又是偶函数的是( )
A．f(x)＝－
B．f(x)＝＋
C．f(x)＝
D．f(x)＝
5．若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是( )
A．对任意实数a，f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．对任意实数a，f(x)在(0，＋∞)上是减函数
C．存在实数a，使f(x)是偶函数
D．存在实数a，使f(x)是奇函数
6．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1，则当x<0时，f(x)的解析式为f(x)＝( )
A．x2－|x|＋1
B．－x2＋|x|＋1
C．－x2－|x|－1
D．－x2－|x|＋1
二、填空题
7．设f(x)为奇函数，且f(0)存在，则f(0)＝____.
8．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝____.
9．若f(x)为偶函数，则f(＋1)－f＝____.
三、解答题
10．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．
11．已知f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1,3]时，f(x)的最大值为m，最小值为n，求m－n的值．
B组·素养提升
一、选择题
1．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝( )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
2．如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上单调递减且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3,7]上( )
A．单调递增且最小值为－5
B．单调递增且最大值为－5
C．单调递减且最小值为－5
D．单调递减且最大值为－5
3．(多选题)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋2)＝f(x)，若f(x)在[－1,0]上单调递减，则f(x)在( )
A．[0,1]上单调递增
B．[0,1]上先增后减
C．[2,3]上单调递增
D．[2,3]上先减后增
4．(多选题)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．|f(x)g(x)|是奇函数
B．f(x)|g(x)|是奇函数
C．f(x)＋|g(x)|是偶函数
D．
|f(x)|＋g(x)是偶函数
二、填空题
5．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝____.
6．已知f(x)＝(k－2)x2＋(k－3)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间为____.
7．已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a－1)＋f(1)>0，则实数a的取值范围是____.
三、解答题
8．判断函数f(x)＝的奇偶性．
9．已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)解不等式f(2x－1)<2.
第三章 3.2 3.2.2
A组·素养自测
一、选择题
1．下列说法正确的是( B )
A．偶函数的图象一定与y轴相交
B．奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0
C．奇函数y＝f(x)的图象一定过原点
D．图象过原点的奇函数必是单调函数
[解析] A项中若定义域不含0，则图象与y轴不相交，C项中定义域不含0，则图象不过原点，D项中奇函数不一定单调，故选B．
2．对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有( C )
A．f(x)－f(－x)>0
B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·f(－x)≤0
D．f(x)·f(－x)>0
[解析] ∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0，
∴f(x)·f(－x)＝－f
2(x)≤0，故选C．
3．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下面坐标表示的点一定在函数y＝f(x)的图象上的是( C )
A．(a，－f(a))
B．(－a，f(a))
C．(－a，－f(a))
D．(a，f(－a))
[解析] ∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－a)＝－f(a)，
∴(－a，－f(a))在y＝f(x)图象上．
4．下列函数中既是奇函数又是偶函数的是( A )
A．f(x)＝－
B．f(x)＝＋
C．f(x)＝
D．f(x)＝
[解析] 选项A中定义域为{－1,1}，函数解析式为y＝0，所以函数既是奇函数又是偶函数，选项B为偶函数，选项C为偶函数，选项D为非奇非偶函数，故选A．
5．若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是( C )
A．对任意实数a，f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．对任意实数a，f(x)在(0，＋∞)上是减函数
C．存在实数a，使f(x)是偶函数
D．存在实数a，使f(x)是奇函数
[解析] 对于A，取a＝4.5，则f(1)＝5.5，f(1.5)＝1.52＋＝5.25，f(1)>f(1.5)，A错；对于B，取a＝0，则f(x)＝x2在(0，＋∞)上为增函数，B错；对于C，取a＝0，则f(x)＝x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝f(x)＝x2，C对；对于D，假设存在实数a使f(x)为奇函数，则f(－1)＝－f(1)，又f(－1)＝1－a，f(1)＝1＋a，－f(1)＝－1－a，显然f(－1)≠－f(1)，即假设不成立，D错．
6．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1，则当x<0时，f(x)的解析式为f(x)＝( D )
A．x2－|x|＋1
B．－x2＋|x|＋1
C．－x2－|x|－1
D．－x2－|x|＋1
[解析] 若x<0，则－x>0，f(－x)＝x2＋|x|－1，
∵f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝x2＋|x|－1，f(x)＝－x2－|x|＋1.
二、填空题
7．设f(x)为奇函数，且f(0)存在，则f(0)＝__0__.
[解析] 由奇函数定义，得f(－0)＝－f(0)．
即f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.
8．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝__－5__.
[解析] 由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，
∴f(－2)＋f(0)＝－5.
9．若f(x)为偶函数，则f(＋1)－f＝__0__.
[解析] 因为f(x)为偶函数，
所以f＝f[－(1＋)]＝f(1＋)，
故f(＋1)－f＝0.
三、解答题
10．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．
[解析] f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2
又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得：
f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
11．已知f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1,3]时，f(x)的最大值为m，最小值为n，求m－n的值．
[解析] ∵当x<0时，f(x)＝x2＋3x＋2，
且f(x)是奇函数，∴当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝x2－3x＋2.
故当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝3x－x2－2.
∴当x∈时，f(x)是增函数；
当x∈时，f(x)是减函数．因此当x∈[1,3]时，f(x)max＝f＝，f(x)min＝f(3)＝－2.
∴m＝，n＝－2，从而m－n＝.
B组·素养提升
一、选择题
1．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝( C )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
[解析] ∵y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a，且函数是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，∴1－a＝0，∴a＝1.
2．如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上单调递减且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3,7]上( C )
A．单调递增且最小值为－5
B．单调递增且最大值为－5
C．单调递减且最小值为－5
D．单调递减且最大值为－5
[解析] f(x)为奇函数，所以f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，且f(7)为最小值．
又已知f(－7)＝5，
所以f(7)＝－f(－7)＝－5.
3．(多选题)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋2)＝f(x)，若f(x)在[－1,0]上单调递减，则f(x)在( AC )
A．[0,1]上单调递增
B．[0,1]上先增后减
C．[2,3]上单调递增
D．[2,3]上先减后增
[解析] 因为f(x)在[－1,0]上单调递减，又f(x)为偶函数，所以f(x)在[0,1]上单调递增．
由f(x＋2)＝f(x)，得f(x－2)＝f(x)，设x∈[2,3]，则x－2∈[0,1]，又f(x－2)＝f(x)，从而f(x)在[2,3]上单调递增．故选AC．
4．(多选题)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( BD )
A．|f(x)g(x)|是奇函数
B．f(x)|g(x)|是奇函数
C．f(x)＋|g(x)|是偶函数
D．
|f(x)|＋g(x)是偶函数
[解析] A中，令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴A中函数是偶函数，A错误；B中，令h(x)＝f(x)·|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴B中函数是奇函数，B正确；C中，由f(x)是奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，由g(x)是偶函数可得g(－x)＝g(x)，由f(－x)＋|g(－x)|＝－f(x)＋|g(x)|知C错误；D中，由|f(－x)|＋g(x)＝|－f(x)|＋g(x)＝|f(x)|＋g(x)，知D正确，故选BD．
二、填空题
5．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝__3__.
[解析] ∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)．
又f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f(1)＝f(3)．∴f(－1)＝3.
6．已知f(x)＝(k－2)x2＋(k－3)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间为__(－∞，0]__.
[解析] 由偶函数的定义知k＝3，所以f(x)＝x2＋3，其图象开口向上，所以f(x)的递减区间是(－∞，0]．
7．已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a－1)＋f(1)>0，则实数a的取值范围是__(－∞，0)__.
[解析] ∵f(a－1)＋f(1)>0，∴f(a－1)>－f(1)．
∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．
∴f(a－1)>f(－1)．
又f(x)在R上是减函数，∴a－1<－1，即a<0.
三、解答题
8．判断函数f(x)＝的奇偶性．
[解析] 本题是求分段函数的奇偶性，则只需分段讨论即可．
∵函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，并且当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)(x>0)；当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)(x<0)．
综上可得，f(x)为奇函数．
9．已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)解不等式f(2x－1)<2.
[解析] (1)证明：设x2>x1>0，
则f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)
＝f(x1)＋f－f(x1)＝f.
∵x2>x1>0，∴>1.
∴f>0，即f(x2)－f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)∵f(2)＝1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝2.
∵f(x)是偶函数，∴不等式f(2x－1)<2可化为f(|2x－1|)又∵函数在(0，＋∞)上是增函数，
∴|2x－1|<4，且2x－1≠0，
解得－∴不等式解集为.
