第三章 3.3
1．在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝3x中，幂函数的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
2．幂函数y＝xα(α∈R)的图象一定不经过( )
A．第四象限
B．第三象限
C．第二象限
D．第一象限
3．(2019·山东金乡县高一期中测试)已知幂函数f(x)＝xα(α是常数)的图象过点(2，)，则函数f(x)的值域为( )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
4．幂函数f(x)的图象过点(2，)，那么f(9)的值是____.
5．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
(1)(－1.5)3，(－1.4)3；(2)，.
第三章 3.3
1．在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝3x中，幂函数的个数为( B )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 显然，根据幂函数定义可知，只有y＝＝x－2是幂函数．
2．幂函数y＝xα(α∈R)的图象一定不经过( A )
A．第四象限
B．第三象限
C．第二象限
D．第一象限
[解析] ∵α∈R，x>0，∴y＝xα>0，
∴图象不可能经过第四象限，故选A．
3．(2019·山东金乡县高一期中测试)已知幂函数f(x)＝xα(α是常数)的图象过点(2，)，则函数f(x)的值域为( C )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
[解析] 由题意得＝2α，∴α＝－1.
∴f(x)＝x－1＝≠0，
∴f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
4．幂函数f(x)的图象过点(2，)，那么f(9)的值是__3__.
[解析] 设f(x)＝xα，∴＝2α，∴2＝2α，
∴α＝，∴f(x)＝x，∴f(9)＝9＝3.
5．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
(1)(－1.5)3，(－1.4)3；(2)，.
[解析] (1)设f(x)＝x3，则f(x)在R上为增函数．
∵－1.5<－1.4，∴(－1.5)3<(－1.4)3.
(2)设g(x)＝，则g(x)在(－∞，0)上为减函数．
∵－1.5<－1.4<0，∴>.第三章 3.3
A组·素养自测
一、选择题
1．幂函数y＝xα(α是常数)的图象( )
A．一定经过点(0,0)
B．一定经过点(1,1)
C．一定经过点(－1,1)
D．一定经过点(1，－1)
2．下列函数中，定义域为R的是( )
A．y＝x－2
B．y＝x
C．y＝x2
D．y＝x－1
3．已知幂函数f(x)的图象过点(16,4)，则f(2
015)等于( )
A．2
0152
B．
C．
D．
4．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( )
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
5．函数y＝x－在区间[4,64]上的最大值为( )
A．
B．
C．2
D．8
6.如图所示，曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为( )
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
二、填空题
7．(2019·济南济钢中学高一期中测试)幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(x)＝____.
8．(2019·贵州遵义市高一期末测试)已知函数f(x)＝(m2＋3m＋1)xm2＋m－1是幂函数，且其图象过原点，则m＝____.
9．若幂函数f(x)的图象过点，则f(x)的值域为____.
三、解答题
10．函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值．
11．已知函数f(x)＝xm－且f(4)＝.
(1)求m的值；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．
B组·素养提升
一、选择题
1．下列6个函数：y＝x，y＝x，y＝x－，y＝x，y＝x－2，y＝x2中，定义域为R的函数有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
2．(2019·云南泸西县一中高一期中测试)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－1是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则m＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
3．(多选题)幂函数f(x)＝x3m－5(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于( )
A．0
B．1
C．－2
D．－3
4．(多选题)设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的α是( )
A．－1
B．1
C．
D．3
二、填空题
5．若函数f(x)是幂函数，且满足＝3，则f()的值为___.
6．幂函数f(x)＝xα的图象过点(3,9)，那么函数f(x)的单调递增区间是__.
7．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是___.
三、解答题
8．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，求函数f(x)的解析式．
9．点(，2)与点(－2，－)分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问：当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)？(2)f(x)＝g(x)？(3)f(x)第三章 3.3
A组·素养自测
一、选择题
1．幂函数y＝xα(α是常数)的图象( B )
A．一定经过点(0,0)
B．一定经过点(1,1)
C．一定经过点(－1,1)
D．一定经过点(1，－1)
[解析] x＝1时，y＝1，所过点(1,1)．
2．下列函数中，定义域为R的是( C )
A．y＝x－2
B．y＝x
C．y＝x2
D．y＝x－1
[解析] 对A，由y＝x－2＝，知x≠0；
对B，由y＝x＝，知x≥0；
对D，由y＝x－1＝，知x≠0.
故A，B，D中函数的定义域均不为R，从而选C．
3．已知幂函数f(x)的图象过点(16,4)，则f(2
015)等于( B )
A．2
0152
B．
C．
D．
[解析] 由题意，设f(x)＝xm，则由题意知16m＝4，
所以m＝，故f(x)＝x，所以f(2
015)＝2
015＝.故选B．
4．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( A )
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
[解析] 定义域为R的函数中，α可取1,3；若函数y＝xα为奇函数，α可取－1,1,3，故α取1,3.故选A．
5．函数y＝x－在区间[4,64]上的最大值为( A )
A．
B．
C．2
D．8
[解析] 因为函数y＝x－为(0，＋∞)上的减函数，所以该函数在[4,64]上单调递减，当x＝4时y取得最大值，最大值为4－＝，故选A．
6.如图所示，曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为( B )
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
[解析] 要确定一个幂函数y＝xα在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y＝xα随着α值的改变图象的变化规律．随着α的变大，幂函数y＝xα的图象在直线x＝1的右侧由低向高分布．从图中可以看出，直线x＝1右侧的图象，由高向低依次为C1，C2，C3，C4，所以C1，C2，C3，C4的指数α依次为2，，－，－2.
二、填空题
7．(2019·济南济钢中学高一期中测试)幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(x)＝__x__.
[解析] 设f(x)＝xα，
由题意得＝3α，
∴3＝3α，∴α＝，∴f(x)＝x.
8．(2019·贵州遵义市高一期末测试)已知函数f(x)＝(m2＋3m＋1)xm2＋m－1是幂函数，且其图象过原点，则m＝__－3__.
[解析] 由题意得m2＋3m＋1＝1，
∴m2＋3m＝0，
∴m＝0或m＝－3.当m＝0时，f(x)＝x－1＝，
其图象不过原点，∴m＝－3.
9．若幂函数f(x)的图象过点，则f(x)的值域为__(0，＋∞)__.
[解析] 由题意设f(x)＝xm，由点在函数图象上得4m＝，解得m＝－2.
所以f(x)＝x－2＝，故其值域为(0，＋∞)．
三、解答题
10．函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值．
[解析] 根据幂函数的定义，得m2－m－5＝1，
解得m＝3或m＝－2.
当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数；
当m＝－2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求，故m＝3.
11．已知函数f(x)＝xm－且f(4)＝.
(1)求m的值；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．
[解析] (1)因为f(4)＝，所以4m－＝，所以m＝1.
(2)由(1)知f(x)＝x－，
因为f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称
又f(－x)＝－x－＝－(x－)＝－f(x)．
所以f(x)是奇函数．
(3)f(x)在(0，＋∞)上单调递增，证明：设x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝x1－－(x2－)＝(x1－x2)(1＋)，
因为x1＞x2＞0，所以x1－x2＞0,1＋＞0，
所以f(x1)＞f(x2)，
所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数．
B组·素养提升
一、选择题
1．下列6个函数：y＝x，y＝x，y＝x－，y＝x，y＝x－2，y＝x2中，定义域为R的函数有( B )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
[解析] 函数y＝x，y＝x，y＝x2的定义域为R，函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，函数y＝x－及y＝x－2的定义域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以定义域为R的函数有3个，应选择B．
2．(2019·云南泸西县一中高一期中测试)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－1是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则m＝( D )
A．－1
B．0
C．1
D．2
[解析] 由题意得m2－m－1＝1，
∴m2－m－2＝0，∴m＝－1或m＝2.
当m＝－1时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数，∴m≠－1；
当m＝2时，f(x)＝x－1＝在(0，＋∞)上是减函数，∴m＝2.
3．(多选题)幂函数f(x)＝x3m－5(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于( BD )
A．0
B．1
C．－2
D．－3
[解析] 因为f(x)＝x3m－5(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，
所以3m－5＜0，故m＜.
又因为m∈Z，所以m＝1,0，－1，－2，－3，….当m＝0时，
f(x)＝x－5，f(－x)≠f(x)，不符合题意；当m＝1时，
f(x)＝x－2，f(－x)＝f(x)，符合题意；
当m＝－2时，f(x)＝x－11，f(x)≠f(－x)不符合题意，当m＝－3时，f(x)＝x－14，f(x)＝f(－x)，符合题意，故选BD．
4．(多选题)设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的α是( BCD )
A．－1
B．1
C．
D．3
[解析] α依次取值时，y＝x－1＝，y＝x，y＝x＝，y＝x3，显然除α＝－1外，其他函数的定义域都是R且都为奇函数．
二、填空题
5．若函数f(x)是幂函数，且满足＝3，则f()的值为____.
[解析] 由题意可设f(x)＝xα，则由＝3，得＝3，即2α＝3，所以f()＝()α＝2－α＝3－1＝.
6．幂函数f(x)＝xα的图象过点(3,9)，那么函数f(x)的单调递增区间是__[0，＋∞)__.
[解析] 由题设知f(3)＝9，
即3α＝9，所以α＝2.
所以f(x)＝x2，其单调递增区间为[0，＋∞)．
7．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是__9__.
[解析] 由题意可知函数y＝xα中，当x＝4时，y＝2，
∴2＝4α，∴α＝.∴y＝x.
∴当y＝3时，x＝3，∴x＝9.
三、解答题
8．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，求函数f(x)的解析式．
[解析] ∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，
∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，解得－1数，m＝1时，f(x)＝x4是偶函数．∴f(x)＝x4.
9．点(，2)与点(－2，－)分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问：当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)？(2)f(x)＝g(x)？(3)f(x)[解析] 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ，
因为点(，2)与点(－2，－)分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，所以()α＝2，(－2)β＝－，
所以α＝2，β＝－1.
所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
分别作出它们的图象，如图所示．
由图象知当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
当x＝1时，f(x)＝g(x)；
当x∈(0,1)时，f(x)
