(共32张PPT)
人教版
九年级上册
22.1.4二次函数
y=ax2+bx+c的图象和性质
新知导入
学习目标：
1.会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象；
2.熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式；
3.会用公式法和配方法求二次函数一般式
y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
新知导入
1.说出二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质？
2.平移规律？
上加下减，左加右减
a，k的符号
a>0，k>0
a>0，k<0
a<0，k>0
a<0，k<0
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
向上
向下
直线
x=h
（h，k）
当
x时，y
随
x
增大而减小；当
x>h
时，y
随
x
增大而增大.
当
x时，y
随
x
增大而增大；当
x>
h时，y
随
x
增大而减小.
x=h时，y最小值=k
x=h时，y最大值=k
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
抛物线
新知导入
我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数
图象和性质?怎样将
转换成y=a(x-h)2+k形式？
新知讲解
配方
新知讲解
如何配方？
1、“提”：提出二次项系数；
2、“配”：括号内配成完全平方；
3、“化”：化成顶点式.
顶点式
一般式
练习：将下面的函数解析式改为顶点式
(1)y=x2-6x+10
(2)y=-4x2-16x+1
解：(1)y=x2-6x+10
=x2-6x+9-9+10
=(x-3)2+1
解：
(2)y=-4x2-16x+1
=-4(x2+4x)+1
=-4(x2+4x+4-4)+1
=-4(x+2)2+16+1
=-4(x+2)2+17
新知讲解
由配方的结果可知，
的顶点是(6,3)，对称轴是x=6.
新知讲解
因此，
的顶点是(6,3)，对称轴是x=6.
根据前面的知识，我们可以先画出二次函数
的图象，然后把这个图象向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数
的图象.
新知讲解
还有其他平移方法吗？
先画出二次函数
的图象，然后把这个图象向上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度，得到二次函数
的图象.
新知讲解
图象如下：
除了平移的函数图象，还可以用描点法画图象.
新知讲解
x
…
3
4
5
6
7
8
9
…
解:(1)
列表
…
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
…
用描点法画二次函数
的图象.
新知讲解
(2)
描点
(3)
连线
(6,3)
新知讲解
性质：
(1)
开口向上
(6,3)
(2)
对称轴：x=6
(3)
顶点坐标(6,3)
(4)
增减性：对称轴左侧，从左向右下降，y随x增大而减小；对称轴右侧，从左向右上升，y随x增大而增大.
新知讲解
思考：不画图象，用上面的方法讨论二次函数y=x2-6x+10和y=-4x2-16x+1的性质.
∵y=x2-6x+10=(x-3)2+1
∴y=x2-6x+10的性质为：(1)开口向上；(2)对称轴：直线x=3；(3)顶点坐标（3,1）；(4)增减性：对称轴左侧，从左向右下降，y随x增大而减小；对称轴右侧，从左向右上升，y随x增大而增大.
新知讲解
思考：不画图象，用上面的方法讨论二次函数y=x2-6x+10和y=-4x2-16x+1的性质.
∵y=-4x2-16x+1=-4(x+2)2+17
∴y=-4x2-16x+1的性质为：(1)开口向下；(2)对称轴：直线x=-2；(3)顶点坐标（-2,17）；(4)增减性：对称轴左侧，从左向右上升，y随x增大而增大；对称轴右侧，从左向右下降，y随x增大而减小.
新知讲解
探究：将二次函数
y＝ax2＋bx＋c配成顶点式，并画出它的图象，说出它的性质.
新知讲解
因此，二次函数
y＝ax2＋bx＋c的对称轴为
，顶点是
.
如果a>0，当
时，y随x增大而减小，当
时，y随x增大而增大
；
如果a<0，当
时，y随x增大而增大，当
时，y随x增大而减小.
新知讲解
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
的图象
x
y
o
x
y
o
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
抛物线
分析：两点可以确定一次函数，即求出这个一次函数的解析式.
由几点的坐标可以确定二次函数？这几个点满足什么条件？
例1
一个二次函数的图象经过(-1,10)、(1,4)、(2,7)三点，
求这个二次函数的解析式.
合作探究
二次函数的解析式
y＝ax2＋bx＋c中需要确定a、b、c的值，
由不在同一直线的三点（任意两点的连线不与y轴平行）的坐标，
列出关于a、b、c的三元一次方程组就可求出a、b、c的值.
合作探究
解:
设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c
将(-1,10)、(1,4)、(2,7)代入解析式
得
解得
答：所求二次函数为
y＝2x2-3x＋5
合作探究
归纳：求二次函数的解析式
y＝ax2＋bx＋c，需要确定a、b、
c的值.
由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于a、
b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值，就可以写出二次
函数的解析式.
课堂练习
1.
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．（用顶点公式）
(1)y＝3x2＋2x；
（2）y＝－x2－2x
；
(3)y＝－2x2＋8x－8
（4）y＝0.5x2－4x+3
课堂练习
(2)开口向下，对称轴是x=-1，顶点坐标是（-1，1）
(3)开口向下，对称轴是x=2，顶点坐标是（2，0）
(4)开口向上，对称轴是x=4，顶点坐标是（4，-5）
(1)开口向上，对称轴是x=
，顶点坐标是（
，
）
课堂练习
2.二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝______.
3.二次函数y＝mx2＋2mx＋3(m＞0)的图象的对称轴
.
x=-1
-1
4.抛物线y＝ax2＋2x＋c的顶点是(－1，2)，则a=
，c=
.
1
-3
课堂练习
5.
(1)已知函数y=2(x+1)2+1，当x<
时，y随x增大而减小，当x>
时，y随x增大而增大
；
(2)已知函数y=-2x2+x-4，当x<
时，y随x增大而增大，当x>
时，y随x增大而减小.
-1
-1
课堂练习
6.
一个二次函数的图象经过(0,0)、(-1,-1)、(1,9)三点，
求这个二次函数的解析式.
合作探究
解:
设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c
将(0,0)、(-1,-1)、(1,9)代入解析式
得
解得
答：所求二次函数为
y＝4x2+5x
课堂总结
图象
性质
解析式
开口方向
抛物线
顶点
对称轴
增减性
待定系数法
顶点式与一般式的联系
y=ax2+bx+c
的图象和性质
板书设计
22.1.2
二次函数y=ax2的图象和性质
图象：
抛物线
解析式：
例1
性质：
练习
开口方向
顶点
对称轴
增减性
作业布置
1.必做题：教材P41
第
6、10
题
2.选做题：教材P42
第
11
题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
教学设计
课题
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
单元
第22章
学科
数学
年级
九年级
学习目标
1.会画二次函数一般式y=ax2+bx+c的图象；2.熟记二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式；3.会用公式法和配方法求二次函数一般式y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴.
重点
1.熟记二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式.2.会用公式法和配方法求二次函数一般式y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴．
难点
理解一般式与顶点式的联系.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
复习回顾：1.说出二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质？抛物线y=a(x-h)2+ka、k符号a>0、k>0a>0、k<0a<0、k>0a<0、k<0图象开口方向向上向下对称轴x=h顶点坐标(h,k)最值最小值最大值增减性当
x时，y
随
x
增大而减小；当
x>h
时，y
随
x
增大而增大.当
x时，y
随
x
增大而增大；当
x>h
时，y
随
x
增大而减小.2.平移规律？
上加下减，左加右减
学生回忆并回答问题.
回顾二次函数顶点式的图象和性质以及平移的规律.
讲授新课
环节一：二次函数一般式转变为顶点式我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数图象和性质?怎样将
转换成y=a(x-h)2+k形式？配方：配方步骤：1、“提”：提出二次项系数；“配”：括号内配成完全平方；3、“化”：化成顶点式.称为一般式；称为顶点式.一般式通过配方得到顶点式.练习：将下面的函数解析式改为顶点式(1)y=x2-6x+10
(2)y=-4x2-16x+1解：(1)y=x2-6x+10
=x2-6x+9-9+10=(x-3)2+1解：
(2)y=-4x2-16x+1
=-4(x2+4x)+1
=-4(x2+4x+4-4)+1
=-4(x+2)2+16+1
=-4(x+2)2+17
环节二：探究二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴由配方的结果可知，
的顶点是(6,3)，对称轴是x=6.因此，的顶点是(6,3)，对称轴是x=6.根据前面的知识，我们可以先画出二次函数
的图象，然后把这个图象向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数
的图象.思考：还有其他平移方法吗？先画出二次函数的图象，然后把这个图象向上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度，得到二次函数的图象.图象如下：除了平移的函数图象，还可以用描点法画图象.用描点法画二次函数的图象(1)
列表x...3456789......7.553.533.557.5...(2)
描点(3)
连线二次函数的图象是抛物线；开口向上；轴对称图形，对称轴为直线x=6抛物线与对称轴的交点叫做顶点，y=x2的顶点为(0，0)，顶点是最低点；在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大.思考：不画图象，用上面的方法讨论二次函数y=x2-6x+10和y=-4x2-16x+1的性质.∵y=x2-6x+10
=(x-3)2+1∴y=x2-6x+10的性质为：(1)开口向上；(2)对称轴：直线x=3；(3)顶点坐标（3,1）；(4)增减性：对称轴左侧，从左向右下降，y随x增大而减小；对称轴右侧，从左向右上升，y随x增大而增大.∵y=-4x2-16x+1
=-4(x+2)2+17
∴y=-4x2-16x+1的性质为：(1)开口向下；(2)对称轴：直线x=-2；(3)顶点坐标（-2,17）；(4)增减性：对称轴左侧，从左向右上升，y随x增大而增大；对称轴右侧，从左向右下降，y随x增大而减小.探究：将二次函数y=ax2+bx+c配成顶点式，并画出它的图象，说出它的性质.因此，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为，顶点是如果a>0，当时，y随x增大而减小，当
时，y随x增大而增大
；
如果a<0，当时，y随x增大而增大，当
时，y随x增大而减小.a>0图象
a<0图象环节三：合作探究例1
一个二次函数的图象经过(-1,10)、(1,4)、(2,7)三点，求这个二次函数的解析式.分析：两点可以确定一次函数，即求出这个一次函数的解析式.
由几点的坐标可以确定二次函数？这几个点满足什么条件？
二次函数的解析式y=ax2+bx+c中需要确定a、b、c的值，由不在同一直线的三点（任意两点的连线不与y轴平行）的坐标，列出关于a、b、c的三元一次方程组就可求出a、b、c的值.解:
设所求二次函数为y=ax2+bx+c，将(-1,10)、(1,4)、(2,7)代入解析式得解得答：所求二次函数为y＝2x2-3x＋5归纳：求二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需要确定a、b、c的值.由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值，就可以写出二次函数的解析式.
环节四：课堂练习1.
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．（用顶点公式）(1)y＝3x2＋2x；
(2)y＝－x2－2x
；
(3)y＝－2x2＋8x－8
(4)y＝0.5x2－4x+3(1)开口向上，对称轴是x=，顶点坐标是（，）(2)开口向下，对称轴是x=-1，顶点坐标是（-1，1）(3)开口向下，对称轴是x=2，顶点坐标是（2，0）(4)开口向上，对称轴是x=4，顶点坐标是（4，-5）2.二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝-13.二次函数y＝mx2＋2mx＋3(m＞0)的图象的对称轴x=-1.4.抛物线y＝ax2＋2x＋c的顶点是(－1，2)，则a=1，c=-3.5.
(1)已知函数y=2(x+1)2+1，当x<-1时，y随x增大而减小，当x>-1时，y随x增大而增大
；(2)已知函数y=-2x2+x-4，当x<时，y随x增大而增大，当x>时，y随x增大而减小.6.
一个二次函数的图象经过(0,0)、(-1,-1)、(1,9)三点，求这个二次函数的解析式.解：设所求二次函数为y=ax2+bx+c，将(0,0)、(-1,-1)、(1,9)代入解析式得解得答：所求二次函数为y＝4x2+5x.
通过配方法将二次函数一般式转变为顶点式，并探究其性质.通过环节一的练习，总结规律，找出y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴.学会用三点坐标求二次函数解析式的一般式.学生练习、板演解题过程，师生互评，进行订正.
会用配方法求二次函数一般式y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴.从具体问题到一般规律获得二次函数y
=a
x2的性质.引导学生学会总结规律学会运用待定系数法求二次函数解析式.培养学生运用数学知识解决问题的能力和对知识的应用意识.
课堂小结
师生共同梳理本节课的知识点.
强化本节课的知识点.
板书
22.1.2
二次函数y=ax2的图象和性质图象：抛物线
性质：开口方向
对称轴顶点增减性对称性解析式（一般式、顶点式）：待定系数法例1
练习
教师展示本节课的内容.
展示本节课的内容.
x
y
O
y
x
O
y=ax2的图象和性质
抛物线
图象
开口方向
性质
对称轴
顶点
增减性
解析式
21世纪教育网
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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