平行四边形的判定

(共21张PPT)
有两组对边分别平行的四边形
叫做
平行四边形
A
B
C
D
四边形ABCD
如果
AB∥CD AD∥BC
B
D
ABCD
A
C
B
D
A
C
O
平行四边形的性质：
边
平行四边形的对边平行
平行四边形的对边相等
角
平行四边形的对角相等
平行四边形的邻角互补
对角线
平行四边形的对角线互相平分
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD
AD=BC
∴AB∥CD
AD∥BC
平行 四边形的两组对边分别相等；
平行 四边形的两组对角分别相等；
我们得到的这些逆命题都成立吗？我们一起探讨一下吧：
平行 四边形的对角线互相 平 分。
思考：我们已经学 行 四边形的这些性质，那么它们的逆命题各是什么呢？
两组对角分别相等的四边形是平 行 四边形；
对角线互相平 分的四边形是平 行 四边形。
两组对边分别相等的四边形是平 行 四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形这个判定方法，我们如何证明？
A
B
C
D
证明：连接AC，
所以AB∥DC，AD∥BC。
4
1
2
3
所以∠1=∠2， ∠3=∠4。
AC=CA(公共边)，
所以△ABC ≌ △CDA (SSS)。
AD=BC(已知)，
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，求证：四边形ABCD是平行四边形 .
AB=CD(已知)，
在△ABC 和△CDA中，
所以四边形ABCD是平行四边形。
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
已知，如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，求证：四边形ABCD是平行四边形。
A
B
C
D
1
2
3
4
O
同理可证AB=DC
△ADO ≌△CBO
AD=CB
OA=OC
证明：
平行四边形的这个判定方法，又该如何证明呢？
OB=OD
∠AOD=∠COB
四边形ABCD是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形这个判定方法，又怎么证明呢？
A
B
C
D
证明：
所以AB∥DC，AD∥BC。
∠A+∠B+∠C+∠D=360°。
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C， ∠ B=∠D ，求证：四边形ABCD是平行四边形 .
在四边形ABCD中，
所以四边形ABCD是平行四边形。
因为∠A=∠C， ∠B=∠D，
所以∠A+∠D=180°，
∠A+∠B=180°。
2
1
已知：AB=CD且AB∥CD。
求证：四边形ABCD是平行四边形
判定定理：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
命题：一组对边平行，另一组对边相等
的四边形是平行四边形。
显然，这是个假命题，可以举反例来论证。
A
B
C
D
已知：如图，在四边形ABCD中， AD∥BC，AB=CD。
显然，四边形ABCD等腰梯形,它不是平行四边形。
这样的假命题还可以举出一些,
希望同学们课后再作探讨。
从边来判定
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
从角来判定
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
从对角线来判定
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
四、理一理
平行四边形的判定方法
1、请你识别下列四边形哪些是平行四边形 为什么？
A
D
C
B
110°
70°
110°
⑴
⑷
⑶
A
B
C
D
120°
60°
5㎝
5㎝
A
B
C
D
O
5㎝
5㎝
4㎝
4㎝
B
A
D
C
4.8㎝
4.8㎝
⑵
7.6㎝
7.6㎝
巩固练习
2、在下列条件中,不能判定四边形是平行四边形的是( )
AB∥CD,AD∥BC
AB=CD,AD=BC
(C)AB∥CD,AB=CD
(D) AB∥CD,AD=BC
(E) AB∥CD, ∠A=∠C
D
B
D
A
C
（两组对边分别平行）
（两组对边分别相等）
（一组对边平行且相等）
（两组对角分别相等）
A
B
D
C
3、如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF，图中有哪些互相平行的线段？
F
A
B
C
D
E
解：图中互相平行的线段有：AB//DC//EF， AD//BC， DE//CF
AD∥BC
AB=DC
AD=BC
四边形ABCD是平行四边形
AB∥DC
DC∥EF
DC=EF
DE=CF
四边形CDEF是平行四边形
DE∥CF
AB∥ DC∥EF
理由如下：
大显身手
D
A
B
C
E
F
证明：
四边形ABCD是平行四边形
AD ∥ BC且AD =BC
EAD= FCB
AE=CF
EAD= FCB
AD=BC
AED ≌ CFB(SAS)
DE=BF
四边形BFDE是平行四边形
在 AED和 CFB中
同理可证：BE=DF
3、已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF。
求证：四边形BFDE是平行四边形
大显身手
3、已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF。
求证：四边形BFDE是平行四边形
D
O
A
B
C
E
F
证明：作对角线BD，交AC于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AO=CO，BO=DO
∵AE=CF
∴AO-AE=CO-CF
∴EO=FO
又 BO=DO
∴ 四边形BFDE是平行四边形
4、已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形
D
A
B
C
E
F
改一改，证一证
BE∥DF
5、如图，在 ABCD中，已知两条对角线相交于
点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，
以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形。
A
D
C
B
E
F
G
H
O
5.已知：如图，E,F分别是平行四边形ABCD 的边AD,BC的中点。
求证：BE=DF.
D
F
E
C
B
A
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD (平行四边形的定义)
AD=BC(平行四边形的对边分别相等)，
∵E,F分别是AD,BC的中点，
∴ED=BF,即ED BF.
∥
﹦
∴四边形EBFD是平行四边形（一组对边 平行并且相等的四边形是平行四边形）。
∴BE=DF(平行四边形的对边分别相等)。
6.已知：如图，AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD.
求证：AB∥CD.
D
C
A
B
证明：
∵AD⊥AC, BC⊥AC,
∴AD∥BC, ∠BCA=∠DAC=90O,
又∵AB=CD, AC=CA,
∴Rt⊿ACB≌Rt⊿CAD.
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∴AB∥CD(平行四边形的定义)。
练习：
6、如图，在□ABCD中，延长AD到F，使
DF＝AD，连结BF交CD于点E .
求证：点E平分CD与BF.
如图，l1 // l2 ， 线段AB//CD//EF, 且点A、C、E在l1上，B、D、F在l2上，则AB、CD、EF的长短相等吗？为什么？
l
1
l
2
E
F
C
D
A
B
夹在两平行线间的平行线段相等。
l
1
l
2
E
F
C
D
A
B
∟
∟
∟
如图，l1 // l2 ，点A、C、E在l1上，线段AB、CD、EF都垂直与l2 ，垂足分别为B、D、F，则AB、CD、EF的长短相等吗？为什么？
一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。
平行线间的距离处处相等
它与点与点的距离、点到直线的距离的联系与区别