吉林省白山市2021届高三上学期期末考试数学试题 Word版含解析

2020～2021学年白山市上学期期末考试
高三数学试卷（理科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：必修1～5，选修2-1，2-2，2-3．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．设集合false，false，则false（ ）．
A．false B．false C．false D．false
2．复数false在复平面内对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．双曲线false的渐近线方程为（ ）．
A．false B．false C．false D．false
4．若false，则false（ ）．
A．false B．false C．false D．false
5．已知向量false，false，若false，则false（ ）．
A．8 B．12 C．false D．false
6．函数false的零点所在的区间为（ ）．
A．false B．false C．false D．false
7．已知false，false满足约束条件false，则false的最大值是（ ）．
A．4 B．10 C．8 D．6
8．函数false的图象大致为（ ）．
A．B．C．D．
9．执行如图所示的程序框图，若输出的false的值为false号，则中应填写（ ）．
A．false B．false C．false D．false
10．函数false，其图象相邻两条对称轴间的距离为false，将其图象向右平移false个单位长度后所得图象关于false轴对称，则下列点是false图象的对称中心的是（ ）．
A．false B．false C．false D．false
11．有两个质地均匀的正方体玩具，每个正方体的六个面分别标有数字1，2，3，…，6．随机抛掷两个这样的正方体玩具，得到面朝上的两个数字，则这两个数字的乘积能被3整除的概率为（ ）．
A．false B．false C．false D．false
12．如图，在四面体false中，false，false，false，false的重心为false，则false（ ）．
A．2 B．false C．false D．3
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
13．已知函数false，则false______．
14．已知直线false与直线false平行，且与曲线false相切，则直线false的方程是______．
15．false的展开式中的常数项为______．
16．已知直线false与椭圆false相交于false，false两点，椭圆的两个焦点分别是false，false，线段false的中点为false，则false的面积为______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在false中，内角false，false，false所对的边分别为false，false，false，且false．
（1）求false；
（2）若false，且false的面积为false，求false的周长．
18．（12分）
已知数列false是公差为2的等差数列，它的前false项和为false，且false，false，false成等比数列．
（1）求false的通项公式；
（2）求数列false的前false项和false．
19．（12分）
我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风投公司准备投资芯片领域．若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为30％的概率为false，收益率为false％的概率为false；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为30％的概率为false，收益率为false％的概率为false，收益率为零的概率为false．
（1）已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你为该风投公司选择一个合理的项目，并说明理由；
（2）若该风投公司准备对以上你认为比较合理的的项目进行投资，4年累计投资数据如下表：
年份false
2016
2017
2018
2019
false
1
2
3
4
累计投资金额false（单位：亿元）
2
3
5
6
请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出false关于false的线性回归方程false，并预测到哪一年年末，该公司在芯片领域的投资收益预期能达到0．75亿元．
附：收益＝投入的资金×获利期望；
线性回归方程false中，false，false．
20．（12分）
如图，在四棱锥false中，底面false是正方形，侧面false是边长为2的正三角形，false，点false为线段false的中点，点false是false上的点．
（1）当false为false中点时，证明：平面false平面false．
（2）当false时，求二面角false的余弦值．
21．（12分）
已知函数false．
（1）求false的最值；
（2）若false对false恒成立，求false的取值范围．
22．（12分）
已知抛物线false的焦点为false，圆false，false，false分别是抛物线false和圆false上的动点，当点false在第一象限且false轴时，false的最大值为4．
（1）求抛物线false的方程；
（2）已知过点false的直线false交抛物线false于false，false两点，且直线false，设直线false与抛物线false的另一个交点为false，求false的最小值．
2020～2021学年白山市上学期期末考试
高三数学试卷参考答案（理科）
1．D
因为false，false，
所以false．
2．C
false，其在复平面内对应的点位于第三象限．
3．A
因为false，所以false，故双曲线的渐近线方程为false．
4．B false．
5．C
因为false，所以false，false，
所以false，故false．
6．B
易知false是false上的减函数，
且false，false，
所以函数false的零点所在的区间为false．
7．D
作出可行域（图略），当直线false经过点false时，false取得最大值，最大值为6．
8．A
∵false，∴false为奇函数．
∵false，
∴false在定义域内为减函数，故选A．
9．B
应该填入false．false，false；false，false；false，
false，false；false．退出循环，输出的false的值为false，满足题意．
10．D
因为false图象的相邻两条对称轴间的距离为false，所以false，所以false．
因为false的图象向右平移false个单位长度后得到曲线false，其图象关于false轴对称，
所以false，false，即false，false．
因为false，所以false，
故false．
令false，false，得false，false．
当false时，false，所以点false是false图象的一个对称中心．
11．A
若这两个数字的乘积能被3整除，则这两个数字中至少有3，6中的一个，
则所求概率为false．
12．C
如图，将四面体false还原到长方体false中，
易知四面false的棱是长方体false的面对角线，
则false．
连接false交false于false，连接false，则false为false边的中线，
false的重心false为false靠近false的三等分点．
把长方体的对角面false单独画出，如图，
记false为false和false的交点．
因为false∽false，且false，
所以false为false靠近false的三等分点，即重心false与false点重合，
故false．
13．1 false．
14．false（或false），false，
令false，解得false或false（舍去），
所以切点的坐标为false．
故直线false的方程为false，即false．
15．false
展开式的通项为false，
令false，得false，
所以展开式中的常数项为false．
16．false
设false，false，
则false，两式相减，得false．
因为直线false的斜率为false，线段false的中点为false，
所以false，得false．
因为false，所以false，
故false的面积为false．
17．解：（1）∵false，
∴false，∴false．
∵false，∴false，
故false．
（2）∵false的面积为false，∴false．
∵false，∴false，false．
∵false，
∴false，即false．
故false的周长为false．
18．解：（1）由题意知，false，false，
因为false，false，false成等比数列，所以false，
即false，解得false，
所以false，即false．
（2）因为false，所以false，
则false．
又false，
所以false．
19．解：（1）若投资光刻机项目，设收益率为false，则false的分布列为
false
false
false
false
false
false
所以false．
若投资光刻胶项目，设收益率为false，则false的分布列为
false
false
false
0
false
false
false
false
所以false．
因为投资以上两个项目，获利的期望是一样的，所以false，
所以false．
因为false，
false，
所以false，false，
这说明虽然光刻机项目和光刻胶项目获利相等，但光刻胶项目更稳妥．
综上所述，建议该风投公司投资光刻胶项目．
（2）false，false，
false，
false，
则false，
false，
故线性回归方程为false．
设该公司在芯片领域的投资收益为false，
则false，解得false，
故在2020年年末该投资公司在芯片领域的投资收益可以超过false亿元．
20．（1）证明：取false的中点false，连接false，false．
∵点false为false的中点，∴false且false．
∵false为false的中点， ∴false．
∵四边形false是正方形，∴false且false，
∴四边形false为平行四边形，∴false．
∵false且false，false，
∴false平面false，∴false．
∵false为等边三角形，∴false．
∵false，∴false平面false，
∴false平面false．
∵false平面false，∴平面false平面false．
（2）解：取false的中点false，false的中点false，连接false和false，
则false且false．
由（1）知，false平面false，∴false平面false，
∴false且false．
以false为原点，以false，false，false所在直线分别为false，false，false轴，
建立如图所示的空间直角坐标系false，
则false，false，false，
false，false．
设平面false的法向量为false，
则false，
令false，则false．
取平面false的一个法向量false，
则false．
由图可知二面角false为锐角，
故二面角false的余弦值为false．
21．解：（1）false．
令false，得false;令false，得false．
所以false在false上单调递减，在false上单调递增，
所以false的最小值为false，无最大值．
（2）由题知，false在false上恒成立，
令false，则false，
因为false，所以false．
设false，易知false在false上单调递增．
因为false，false，
所以存在false，使得false，即false．
当false时，false，false在false上单调递减;
当false时，false， false在false上单调递增．
所以false，从而false，
故false的取值范围为false．
22．解：（1）当点false在第一象限且false轴时，点false的坐标为false．
因为圆false的圆心为false，半径false，
所以false，
所以false，解得false或false（舍去），
故抛物线false的方程为false．
（2）由题意知false，直线false的斜率false存在且不为0，
设false的方程为false，
由false可得false．
设false，false，则false，false．
因为直线false，所以直线false的斜率为false．
设false，false，同理可得false，false．
故false
false
false
false
false
false，
当且仅当false，即false时，false取得最小值16．